新课标九年级数学竞赛辅导讲座第一讲

新课标九年级数学竞赛辅导讲座第一讲 走进追问求根公式

形如ax2 bx c 0（a 0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式x1,2 b b2 4ac 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它2a

回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．

【例题求解】

【例1】满足(n2 n 1)n 2 1的整数n有

思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．

【例2】设x1、x2是二次方程x2 x 3 0的两个根，那么x13 4x22 19的值等于（ ）

A． 一4 B．8 C．6 D．0

思路点拨 求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12 3 x1，x22 3 x2．

【例3】 解关于x的方程(a 1)x2 2ax a 0．

思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分a 1 0及a 1 0两种情况讨论．

【例4】 设方程x2 2x 1 4 0，求满足该方程的所有根之和．

思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．

【例5】 已知实数a、b、c、d互不相等，且a 1111 b c d x， 试求x的值．bcda

思路点拨 运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值．

注： 一元二次方程常见的变形形式有：

(1)把方程ax2 bx c 0（a 0）直接作零值多项式代换；

(2)把方程ax2 bx c 0（a 0）变形为ax2 bx c，代换后降次；

(3)把方程ax2 bx c 0（a 0）变形为ax2 bx c或ax2 c bx，代换后使之转化关系或整体地消去x．

解合字母系数方程ax2 bx c 0时，在未指明方程类型时，应分a 0及a 0两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如x x2 x2．

学历训练

1．已知a、b是实数，且2a 6 b 2 0，那么关于x的方程(a 2)x2 b2x a 1的根为 ．

(x 1)3 x2 12．已知x 3x 2 0，那么代数式的值是 ． x 122

3．若x2 xy y 14，y2 xy x 28，则x y的值为．

4．若两个方程x2 ax b 0和x2 bx a 0只有一个公共根，则( )

A．a b B．a b 0 C．a b 1 D．a b 1

5．当分式有意义时，x的取值范围是( ) x2 3x 4

A．x 1 B．x 4 C． 1 x 4 D．x 1且x 4

6．方程(x 1)x xx 1 0的实根的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

7．解下列关于x的方程：

(1)(m 1)x2 (2m 1)x m 3 0；

(2)x2 x 1 0； (3)x2 4x 5 6 2x．

8．已知x2 2x 2 0，求代数式(x 1)2 (x 3)(x 3) (x 3)(x 1)的值． 1

9．是否存在某个实数m，使得方程x2 mx 2 0和x2 2x m 0有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．

注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．

10．若x2 5x 1 0，则2x2 9x 3 5

x2 1＝．

11．已知m、n是有理数，方程x2 mx n 0有一个根是5 2，则m n的值为．

12．已知a是方程x2 x 2000 0的一个正根。则代数式3 2000的值为 20001 20001 a

13．对于方程x2 2x 2 m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )

A．1 n．2 C． D．2．5

14．自然数n满足(n2 2n 2)n2 47 (n2 2n 2)16n 16，这样的n的个数是( )

A．2 B．1 C．3 D．4

15．已知a、b都是负实数，且

A．111b，那么的值是( ) aba b 0a 11 1 5 1 B． C． D． 2222

x4 6x3 2x2 18x 23

x2 8x 1516．已知x 83，求的值．

x 7 0的两个根，17．已知m、n是一元二次方程x2 2001求(m2 2000m 6)(m2 2002n 8)

的值．

18．在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的

各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为1，求n的值． 3281

19．已知方程x2 3x 1 0的两根 、 也是方程x4 px2 q 0的根，

求p、q的值．

20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：

BS需为无理数． AB

参考答案

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