微积分知识点小结

第一章 函数

一、本章提要

基本概念

函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数

第二章 极限与连续

一、本章提要 1.基本概念

函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在

一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.

2.基本公式 (1) limsin口口1口口?0?1，

(2) lim(1?口?0)口?e(口代表同一变量).

3.基本方法

⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；

⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求

00形式的极限；

??⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；

⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限.

4.定理

左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，

极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

1

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

第四章 微分学的应用

一、 本章提要 1. 基本概念

未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．

2. 基本方法

⑴ 用洛必达法则求未定型的极限； ⑵ 函数单调性的判定； ⑶ 单调区间的求法；

⑷ 可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸ 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹ 求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺ 曲线的凹向及拐点的求法； ⑻ 曲线的渐近线的求法； ⑼ 一元函数图像的描绘方法． 3. 定理

柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则．

第五章 不定积分

一、 本章提要

1. 基本概念 原函数，不定积分． 2. 基本公式

2

不定积分的基本积分公式（20个）；分部积分公式． ３．基本方法

第一换元积分法（凑微分法）；第二换元积分法；分部积分法；简单有理函数的积分方法．

第六章 定积分

一、本章提要

1.基本概念

定积分，曲边梯形，定积分的几何意义，变上限的定积分，广义积分，无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷区间断点的广义积分.

2．基本公式 牛顿-莱布尼茨公式. 3．基本方法

积分上限函数的求导方法，直接应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的方法，借助于换元积分法及分部积分法计算定积分的方法，两类广义积分的计算方法.

4．定理

定积分的线性运算性质，定积分对积分区间的分割性质，定积分的比较性质，定积分的估值定理，定积分的中值定理，变上限积分对上限的求导定理.

第七章 定积分的应用

一、本章提要

1. 基本概念

微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法

(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，

(7) 求连续函数f(x)在?a,b?区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心．

3

第八章 常微分方程

一、

本章提要

1． 基本概念

微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．

2． 基本公式

一阶线性微分方程 y??P(x)y?Q( x)的通解公式:

y???P(x)dxdx?C?e??P(x)dx． Q(x)e?????3． 基本方法

分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理

齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构．

第九章 空间解析几何

一、本章提要

1．基本概念

空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分．

2．基本公式

两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公

式，平面与直线间的夹角公式． 3．方程

直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程．

第十章 多元函数微分学

一、

本章提要

１．基本概念

多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度．

２．基本方法

二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函

4

数求导法则求偏导数．

隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理

混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．

第十一章 多元函数积分学

一、本章提要

1． 基本概念

二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分，微元法，柱面坐标系，球面坐标系，积分与路径无关． 2． 基本公式

(1) 格林公式：??Pdx?Qdy?L??Q?P?????x??y?dxdy；

?D??R??dV??z?(2) 高斯公式：???????P??x??Q?y?????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy．

3． 基本方法

将二重积分化为二次积分，关键是确定积分的上下限：有直角坐标系下的计算方法和

极坐标系下的计算方法；计算三重积分，有直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系的计算方法；计算对坐标的曲线积分，有基本法，格林公式法，与路径无关法；计算对坐标的曲面积分，有对坐标的曲面积分法，高斯公式法．

4． 定理

格林公式定理，积分与路径无关定理，高斯公式定理．

第十二章 级数

一、本章提要

1．基本概念

正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域．

2．基本公式

(1)f(x)在x?x0处的泰勒级数系数：a0?f(x0)，ak?f(k)(x0)k!；

(2)傅里叶系数： an?1?ππ?πf(x)cosnxdx(n?0,1,2,?),bn?1?ππ?πf(x)sinnxdx(n?1,2,?)．

3．基本方法

比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法．

4．定理

比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．

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