100所名校甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学文试卷

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1

2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学（文）试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合A ={x ?|?

2x?1x?2<1 },B ={x ?|?y =log 2(x 2?3x +2) },则A ∩B =

A ．(?∞,?1)

B ．(1

2,1) C ．(2,+∞) D ．(?1,1) 2．设p:b

a <1

b ，则p 是q 成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知{a n }是等比数列，a 7=?4,a 11=?16，则a 9= A ．?4√2 B ．±4√2 C ．?8 D ．±8

4．已知实数x ，y 满足{x ?y +1≥0

x +y ?1≥0x ≤3 ，则y+3

x+1的最小值是

A ．1

4 B ．4 C ．?14 D ．?4

5．若将函数f(x)=sin (2x +π

3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得图象关于原点对称，则φ

最小时，tan φ=

A ．?

√33

B ．√3

3 C ．?√3 D ．√3

6．已知数列{a n }满足a n =1

4n 2?1，S n =a 1+a 2+?+a n ，若m >S n 恒成立，则m 的最小值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．1

2

7．设M 是ΔABC 边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN ?????? =λAB ????? +μAC ????? ，则λ+μ的值为 A ．1

2

B ．1

3

C ．1

4

D ．1

8．已知非零向量a ?，b ??，满足|?a ??|=2|?b ???|，若函数f(x)=13x 3+12|a ?|x 2+a ??b ??x +1在R 上存在极值，则a ?和b

??夹角的取值范围为 A ．[0,π

3) B ．(π

3,π] C ．[0,π

3] D ．[π

3,π]

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为

A ．6+6√2

B ．8+4√2

C ．6+4√2+2√3

D ．6+2√2+4√3 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 5?1)3+2018(a 5?1)=1， (a 2014?1)3+2018(a 2014?1)=?1，则下列结论正确的是 A ．S 2018=?2018,a 2014>a 5 B ．S 2018=2018,a 2014>a 5 C ．S 2018=?2018,a 2014

11．已知锐角ΔABC 的一边BC 在平面α内，A ?α，点A 在平面内的射影为点P ，则∠ABC 与∠BPC 的大小关系为

A ．∠BAC <∠BPC

B ．∠BA

C >∠BPC C ．∠BAC =∠BPC

D ．以上情况都有可能

12．已知函数f(x)={e x ,?x <06x 3?9x 2

+1,?x ≥0? ，则函数g(x)=2[f(x)]2?3f(x)?2的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

二、填空题

13．在ΔABC 中，AB=3，AC=4，BC=3，D 为BC 的中点，则AD=__________．

14．若曲线f(x)=4lnx ?x 2在点(1,-1)处的切线与曲线y =x 2?3x +m 相切，则m 的值是_________.

此

卷只装订

不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

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2

15．已知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，AB =2，则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为__________．

16．已知OA ????? =(1,0),?OB ????? =(1,1),?(x,y)=λOA ????? +μOB ????? .若0≤λ≤1≤μ≤2,z =x m +y

n ?(m >0,?n >0)的最大值为2，则m+n 的最小值为____________.

三、解答题

17．已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a n

2

n }的前n 项和．

18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：

（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程y ?=b ?t +a ?； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.

附:对于一组数据(t 1，y 1)，(t 2，y 2)，...，(t n ，y n )，其回归直线y ?=b ?t +a ?的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ?=∑(t i ?t )(y i ?y ?)

n

i=1∑(t i ?t )2n

i=1，a ?=y ??b ?t .(参考数据:∑(t i ?t )(y i ?y ?)6

i=1

=2.8，计算结果保留小数点后两位）

19．如图，在长方形ABCD 中，AB=π ,AD=2,E,F 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．

（Ⅰ）证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；

（Ⅱ）若P 为DC 的中点，求三棱锥H —AGP 的体积． 20．已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M 过点F ，且与直线相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C 于异于点D 的两点P,Q ，试证明直线PQ 的斜率为定值，并求出该定值.

21．设函数f(x)=x ?2

x ?a(lnx ?

1x 2

)?(a >0)．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)<1． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ

（φ为参数）.以原点O 为极点，x 轴

非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.

(I )求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0<α<π)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，AB =4√2，求α的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 f(x)=|2x ?1|?|x +2| （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；

（Ⅱ）若关于x 的不等式|2m +1|≥f(x +3)+3|x +5|有解，求实数m 的取值范围.

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2019届甘肃省兰州第一中学高三12月月考数学（文）试题

数学答案

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可. 【详解】

解：由A中不等式变形得：2x?1

x?2?1<0，即为2x?1?(x?2)

x?2

<0变形可得：(x?2)(x+1)<0，

解得?1

故选:D.

【点睛】

本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．

2．A

【解析】

【分析】

根据条件，分析是否成立即可。

【详解】

若b

a <1

b

成立，所以是充分性

若1

a <1

b

，则当0所以p是q的充分不必要条件

所以选A

【点睛】

本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题。3．C

【解析】

【分析】

由等比数列性质知a92=a7?a11，且a9=a7q2=?4q2<0由此能求出a9的值．

【详解】

解：∵数列{a n}为等比数列，且a11=?16,a7=?4,∴a92=a7?a11=（﹣4）?（﹣16）=64，且a9=a7q2=?4q2<0，∴a9=﹣8．

故选：C．

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．4．A

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

【详解】

解：作出不等式组{

x?y+1≥0

x+y?1≥0

x≤3

对应的平面区域，

y+3

x+1

的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，-3）的斜率，

令：k=y+3

x+1

，由图象知：CD的斜率最小，BD的斜率最大，

{

x=3

x+y?1=0C（3，﹣2），{

x=3

x?y+1=0可得B（3，4），

此时BD的斜率k=?3?4

?1?3

=7

4

，

CD的斜率k=?3?(?2)

?1?3

=1

4

，则y+3

x+1

的最小值是1

4

.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．5．B

【解析】

函数向左平移后得到y=cos(2x+2φ+π

6

)，其图像关于原点对称为奇函数，故2φ+π

6

=kπ+π

2

，

即φ=kπ

2

+π

6

，φmin=π

6

,tanπ

6

=√3

3

.

6．D

【解析】

【分析】

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2

由a n =

14n 2?1

=1

(

2n?1)(2n+1)

=12(1(2n?1)?1(2n+1)

)进行列项相消求和得S n =n

2n+1再求出S n 的最大值即可得到的范围.

【详解】 解:∵a n =

14n 2?1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=12(1(2n?1)?1

(2n+1)

) ∴S n =1

2(1?1

3+1

3?1

5+?+1

(2n?1)?1

(2n+1))=1

2(1?1

3+1

3?1

5+?+1

(2n?1)?1

(2n+1)) =1

2(1?1

(2n+1)

)=n

2n+1，又∵S n =n

2n+1=12(2n+1)?1

2

2n+1

=1

2?

1

2

2n+1

在n ∈N ?上单调递增，故当n →

+∞时S n →12

，若m >S n 恒成立，则m ≥12

则m 的最小值为12

.

故选：D. 【点睛】

本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是正确求出S n 的最大值.

7．A 【解析】

分析：因为M 为边BC 上任意一点，故将AN ?????? =λAB ????? +μAC ????? 中的AN ?????? 化为AM ?????? 得1

2AM ?????? =λAB

????? +μAC ????? 变形得AM ?????? =2λAB ????? +2μAC ????? 。则2λ+2μ=1，可得λ+μ=12

。 详解：因为N 为AM 的中点，AN ?????? =λAB ????? +μAC ????? ， 所以1

2AM ?????? =λAB ????? +μAC ????? ， 即 AM ?????? =2λAB ????? +2μAC ????? 因为M 为边BC 上任意一点， 所以2λ+2μ=1， 所以λ+μ=1

2。 故选A 。

点睛：由AN ?????? =λAB ????? +μAC ????? ，求λ+μ的值。注意结论的运用：若O,A,B,C 是一平面内四点，若OA ????? =λOB

????? +μOC ????? ，则λ+μ=1。反之成立。 8．B 【解析】 【分析】

先求导数f ′(

x )=x 2+|a →|x +a →

?b →

,而根据f （x ）在R 上存在极值便有f′（x ）=0有两个不同实数根，从而△=|a →|2

?4a →

?b →

>0 这样即可得到cos

><1

2 这样由余弦函数的图象便可得出<

a →,

b →

>的范围，即得出结果.

【详解】

解：f ′(x )=x 2+|a →|x +a →

?b →

， ∵f （x ）在R 上存在极值； ∴f′（x ）=0有两个不同实数根；

△=|a →|2?4a →?b →>0;即|a →|2?4|a →|?|b →|cos

,b →

>>0，因为|?a ??|=2|?b

???|， ∴cos

><

|a →

|4|b →

|

=

2|b →|4|b →

|

=1

2

；

>∈(π

3

,π]；

∴a →

与b →

夹角的取值范围为(π

3,π] . 故选：B ． 【点睛】

考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象． 9．C 【解析】

所以棱锥P-ABCD 的表面积为2√2×2+√3

4

×(2√2)2+3×1

2

×2×2=6+4√2+2√3

选C.

点睛:空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 10．

D

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3

【解析】 【分析】

由题意构造函数f （x ）=x 3+2018x ，求出f′（x ），判断出函数f （x ）为单调递增函数且为奇函数，由已知的两等式得到f （a 5﹣1）=1及f （a 2014﹣1）=﹣1，由f （x ）为奇函数得到f （1﹣a 2014）=1，由函数的单调性得到a 5﹣1与1﹣a 2014相等即a 5+a 2014=2，然后根据等差数列的前n 项和的公式表示出S 2018，根据等差数列的性质化简后，将a 5+a 2014=2代入即可求出值，再根据单调性判断出a 5＞a 2014．

【详解】

解：令f （x ）=x 3+2018x ，则f′（x ）=3x 2+2018＞0， 得到f （x ）在R 上单调递增，且f （x ）为奇函数．

由条件，有f （a 5﹣1）=1，f （a 2014﹣1）=﹣1，即f （1﹣a 2014）=1． ∴a 5﹣1=1﹣a 2014，从而a 5+a 2014=2， 则S n =

2018(a 1+a 2018)

2

=

2018(a 5+a 2014)

2

=2018

∵f （a 5﹣1）=1，f （a 2014﹣1）=﹣1，f （x ）在R 上单调递增， ∴a 5﹣1＞a 2014﹣1，即a 5＞a 2014， 故选：D ． 【点睛】

本题考查灵活运用等差数列的性质及前n 项和的公式化简求值，函数的单调性与导数的关系，考查了构造函数、利用函数思想解决实际问题的能力,是一道中档题． 11．A 【解析】 【分析】

过点p 作PD ⊥BC 于点D ，连接AD.在RtΔACD 和RtΔPCD 中分别计算tan∠CAD 和tan∠CPD 就可以比较∠CAD 和∠CPD 的大小，进而比较∠BAC 和∠BPC 大小.

【详解】

解：过点p 作PD ⊥BC 于点D ，连接AD 如下图.则BD ⊥面APD , 在RtΔACD 中，tan∠CAD =CD

AD ， 在RtΔPCD 中，tan∠CPD =CD PD ,

在RtΔAPD 中，AD >PD ,所以CD

AD

PD 也即tan∠CAD

同理可得∠BAD <∠BPD ;

所以∠CAD +∠BAD <∠CPD +∠BPD 即∠BAC <∠BPC .

【点睛】

解决本题的关键作出辅助线，通过直角三角形中正切值可比出角的大小，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】

根据x <0，x ≥0时f （x ）的单调性和最值，作出y=f （x ）的图象，设m=f （x ），则g(x)=2[f(x)]2?3f(x)?2变形为2m 2﹣3m-2=0，解得m=2或-1

2 ，再由图像f （x ）=2或f （x ）=-1

2得交点个数即为零点个数.

【详解】

解：由题意，当x ≥0，f (x )=6x 3?9x 2+1,? f ′(x )=18x 2?18x =18x (x ?1) ,故当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0且f (1)=?2 ，作出f (x )的大致图像，令g(x)=2[f(x)]2?3f(x)?2中m=f (x )变形为2m 2﹣3m-2=0，解得m=2或-1

2 ，再由图像f （x ）=2或f （x ）=-1

2，观察可知，函数g(x) 的零点个数为3.

【点睛】

本题函数与方程的应用，函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查学生分析解决问题的能力，函数的性质等基础知识．

13．

√41

2

. 【解析】 【分析】

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4

首先应用余弦定理，利用三角形的边长，求得cosB 的值，之后在ΔABD 中，根据余弦定理，从而求得AD 的长.

【详解】

在ΔABC 中，根据余弦定理，可得cosB =

32+32?422×3×3

=1

9，

在ΔABD 中，根据余弦定理，可得AD 2=32+(3

2)2?2×3×3

2×1

9=414

，

所以AD =√412，故答案是√41

2

. 【点睛】

该题考查的是三角形中有关边长的求解问题，涉及到的知识点有余弦定理，一步是应用余弦定理求内角的余弦值，第二步是借助于所求的余弦值求边长，正确应用公式是解题的关键.

14．13

4 【解析】 【分析】

利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到m 的值. 【详解】

因为f(x)=4lnx ?x 2，所以f ′(x)=4

x ?2x ，所以f ′(1)=2，

所以曲线f(x)在点(1,?1)处的切线方程为y +1=2(x ?1)，即y =2x ?3， 联立{y =2x ?3y =x 2

?5x +m +3 得x 2?5x +m +3=0， 为直线与曲线相切，

所以Δ=25?4(m +3)=0，解得m =134

. 故答案为：13

4

【点睛】

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x 0,y 0)及斜率，其求法为：设P(x 0,y 0)是曲线y =f(x)上的一点，则以P 的切点的切线方程为：y ?y 0=f′(x 0)(x ?x 0)．若曲线y =f(x)在点P(x 0,f(x 0))的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x =x 0．

15．π

6 【解析】

分析: 根据正四面体的性质，可得内切球半径，根据平面ACE 截球O 所得截面经过球心，可得答案．

详解: ∵球O 为正四面体ABCD 的内切球，AB=2，

所以正四面体的体积为1

3

×(

√3

4

×22)×2

3

√6.

设正四面体的内切球半径为r,

则4×1

3×(√3

4×22)×r =1

3×(√3

4×22)×2

3√6 故内切球半径r=√6

6，

平面ACE 截球O 所得截面经过球心，

故平面ACE 截球O 所得截面圆半径与球半径相等， 故S=πr 2=π

6，

点睛：本题主要考查几何体的内切球外接球问题，考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径，关键在于找到关于r 的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来，得到四个小的三棱锥，它们的体积的和等于正四面体的体积，本题就是根据体积相等列出关于r 的方程的.

16．5

2+√6 【解析】

试题分析：OA ??????=(1,0),OB ??????=(1,1),(x,y)=λOA ??????+μOB ?????? ?{λ=x ?y μ=y ，由0≤λ≤1≤μ≤2 ?

{0≤x ?y ≤11≤y ≤2 ，作出此可行域如图所示，当直线z =x m +y n 经过点A(3,2)时，有最大值2，所以3m +2n =2，则m +n =(m +n)?(3

2m +1

n )=5

2+3n

2m +m n

≥52+√6，当且仅当3m 2n =m n ，即m =

3+√62

,n =1+

√6

2

时取等号，故答案填5

2+√6.

考点：1、平面向量；2、线性规划；3、基本不等式.

【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据题目条件将λ,μ的限制范围转化为x,y

限制范围，也就

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5

是关于x,y 的可行域，然后再根据线性规划的知识得出m,n 的关系，最后再结合基本不等式，即可求出m +n 的最小值.不过在此过程中要特别注意不等式取等号的条件，即“一正、二定、三相等”，否则容易出错.

17．（1）a n =n ．（2）S n =2?n+22n

．

【解析】 【分析】

（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得a n 的通项公式。

（2）数列a

n

2n 可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n 项和可用错位相减法求解。

【详解】

（1）由题意得a 22

=a 1a 4，∴(a 1+1)2

=a 1(a 1+3)，故a 1=1， 所以{a n }的通项公式为a n =n ． （2）设数列C 的前n 项和为S n ，则 S n =1

2+2

22+3

23+?+n

2n ，

1

2S n

=

122+

223+

324

+?+

n 2n+1

，两式相减得12

S n =12

+(12

2+

123

+

124

+?+

12n

)?

n 2n+1

=1?

12

n ?

n

2n+1

， 所以S n =2?n+22n

．

【点睛】

本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题。

18．（1）y ?=0.16t +6.44．

（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨． 【解析】

【分析】

（1）先求得t,y ，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到b ?,a ?的值，从而求得线性回归方程.（2）将t =8代入（1）求得的回归直线方程，来求2019年产量的预测值.

【详解】

（1）由题意可知：t =1+2+3+4+5+6

6

=3.5， y ?=

6.6+6.7+7+

7.1+7.2+7.4

6

=7，

∑(t i ?t )2=(?2.5)2+(?1.5)2+(?0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.56

i=1， ∴b ?=∑(t i ?t )(y i ?y ?)n

i=1∑(t 1

?t )2n i=1

= 2.8

17.5

=0.16， 又a ?=y ??b ?t =7?0.16×3.5=6.44， ∴y 关于t 的线性回归方程为y ?=0.16t +6.44．

（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t =8，此时y ?=0.16×8+6.44=7.72， 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨． 【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的求法，并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程，只需要将题目所给的数据，代入回归直线方程的计算公式，即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错，并且，回归直线方程值y =bx +a ，不是y =ax +b ，这一点要特别注意.

19．（1）见解析（2）√3

6

【解析】 【分析】

(1)H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径,得到DH 垂直于HC ，DH ⊥FH 进而得到DH ⊥

平面BCFH ，最终根据面面垂直的判定定理得到面面垂直；(2) 三棱锥H ?AGP 的体积V =V A?PGH =

13

×S ΔPGH ×|AD |，因为G 、H 为DC

??????的三等分点结合题干条件得到ΔPDG,ΔPGH,ΔPHC 均为边长等于1的等边三角形，进而求得结果.

【详解】

（1）因为H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径 所以DH ⊥HC

又因为DH ⊥FH ，且CH ∩FH =H ，所以DH ⊥平面BCHF

又因为DH ?平面ADHF ，所以平面ADHF ⊥平面BCHF （2）设下底面半径为r ， 由题πr =π，所以r =1， 因为下底面半圆圆心为P ， 所以PD =PG =PH =PC =r =1

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6

又因为G 、H 为DC

??????的三等分点， ∴∠DPG =∠GPH =∠HPC =60°

所以ΔPDG,ΔPGH,ΔPHC 均为边 长等于1的等边三角形， 所以ΔPGH 的面积S ΔPGH =

√3

4

所以三棱锥H ?AGP 的体积V =V A?PGH =1

3×S ΔPGH ×|AD |=√36

【点睛】

这个题目考查了面面垂直的判定，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.

20．（Ⅰ）y 2=4x （Ⅱ）?1 【解析】 【分析】

（Ⅰ）设M(x ，y)，由√(x ?1)2+y 2=|x +1|化简即可得结论；

（Ⅱ）设直线DP 的斜率为k(k ≠0)，则直线DQ 的斜率为?k ，联立直线方程与抛物线方程求出P 、Q 两点坐标，继而求出斜率

【详解】

（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意|MF |=d 设M (x,y )，则有√(x ?1)2+y 2=|x +1|

化简得y 2=4x

所以点M 的轨迹C 的方程为y 2=4x

（Ⅱ）设直线DP 的斜率为k(k ≠0)，则直线DQ 的斜率为?k .令t =1

k ，

联立方程组：{x ?1=t(y ?2)y 2

=4x

，消去x 并整理得：y 2?4ty +8t ?4=0 设P(x p ，y p )，因为点D 的坐标为(1,2)，所以2y p =8t ?4，故y p =4t ?2，

从而点P 的坐标为(4t 2?4t +1，4t ?2)，用?t 去换点P 坐标中的t 可得点Q 的坐标为(4t 2+4t +1，?4t ?2)，所以直线PQ 的斜率为(?4t?2)?(4t?2)

(4t 2+4t+1)?(4t 2?4t+1)=?1

【点睛】

本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标(x ，y)，根据题意列出关于x ，y 的等式即可。在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标，结合斜率公式求出结果。

21．（Ⅰ）f(x)在(?0?,?a ?)上单调递减，在(?a ?,?+∞?)上单调递增．（Ⅱ）见解析

【解析】 【分析】

（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞），求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）要证g(a)<1，即证a ?alna ?1

a <1，即证明1?lna ?

1a 2

<1

a

，构造函数，判断函数的单调

性，通过函数的最小值推出结果即可．

【详解】

解：（Ⅰ）显然f(x)的定义域为(?0?,?+∞?)． f ′

(x)=1+2

x 2?a(1

x +2

x 3)=x 2+2x 2

?a ?

x 2+2x 3

=

(x 2+2)(x?a)

x 3

．

∵x 2+2>0，x >0，

∴若x ∈(?0?,?a ?)，x ?a <0，此时f ′(x)<0，f(x)在(?0?,?a ?)上单调递减； 若x ∈(?a ?,?+∞?)，x ?a >0，此时f ′(x)>0，f(x)在(?a ?,?+∞?)上单调递增； 综上所述：f(x)在(?0?,?a ?)上单调递减，在(?a ?,?+∞?)上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)min =f(a)=a ?2

a ?a(lna ?1

a 2)=a ?alna ?1

a ， 即：g(a)=a ?alna ?1

a ．

要证g(a)<1，即证明a ?alna ?1a

<1，即证明1?lna ?

1a 2

<1

a

，

令?(a)=lna +1a

+

1a 2?1，则只需证明?(a)=lna +

1a

+1a 2

?1>0，

∵?′(a)=1

a ?1

a 2?2

a 3=

a 2?a?2a 3

=

(a?2)(a+1)

a 3

，且a >0，

∴当a ∈(?0?,?2?)，a ?2<0，此时?′(a)<0，?(a)在(?0?,?2?)上单调递减； 当a ∈(?2?,?+∞?)，a ?2>0，此时?′(a)>0，?(a)在(?2?,?+∞?)上单调递增， ∴?(a)min =?(2)=ln2+1

2

+1

4

?1=ln2?1

4

>0．

∴?(a)=lna +1a +1

a 2?1>0． ∴g(a)<1． 【点睛】

本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．

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7

22．（1）(x ?2)2+y 2=4,x 2+(y ?2)2=4；（2）3π

4

.

【解析】 【分析】

（1）由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2

＝4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．

（2）曲线C 1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），从而得到|AB |＝|ρ1

﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4√2|sin （α?π

4

）|＝4√2，进而sin （α?π

4

）＝±1，由此能求出结果．

【详解】

解：（1）由{x =2+2cosφy =2sinφ

消去参数φ，

得C 1的普通方程为(x ?2)2+y 2=4.

∵ρ=4sinθ?ρ2

=4ρsinθ，又{x =ρcosθy =ρsinθ

，

∴C 2的直角坐标方程为x 2+(y ?2)2=4.

（2）由（1）知曲线C 1的普通方程为(x ?2)2+y 2=4， ∴其极坐标方程为ρ=4cosθ，

∴|AB |=|ρA ?ρB |=4|sinα?cosα|=4√2|sin(α?π

4)|=4√2.

∴sin(α?π4)=±1?α?π4=kπ+π2?α=kπ+3π4

(k ∈Z)

又0<α<π，∴α=3π4

.

【点睛】

本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

23．（1）(?∞,?1

3)∪(3,+∞)；（2）(?∞,?3]∪[2,+∞) 【解析】

分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集； （2）f(x +3)+3|x +5|=|2x +5|+|2x +10|，利用绝对值的三角不等式求得|2x +5|+|2x +10|的最小值min ，然后解不等式|2m +1|≥min 即可．

详解：（1）f(x)={x ?3,x ≥1

2

?3x ?1,?2

?x +3,x ≤?2

，

当x ?3>0时，得x >3；当?3x ?1>0时，得?2

3；当?x +3>0时，得x ≤?2， 综上可得不等式f(x)>0的解集为(?∞,?1

3)∪(3,+∞). （2）依题意|2m +1|≥(f(x +3)+3|x +5|)min ，

令g(x)=f(x +3)+3|x +5|=|2x +5|+|2x +10| ≥|?2x ?5+2x +10|=5. ∴|2m +1|≥5，解得m ≥2或m ≤?3，即实数m 的取值范围是(?∞,?3]∪[2,+∞). 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：

（1）“能成立”：存在x 使不等式t ≥f(x)成立?t ≥f(x)min ，存在x 使不等式t ≤f(x)成立?t ≤f(x)max ；

（2）“恒成立”：对任意的x 不等式t ≥f(x)恒成立?t ≥f(x)max ，对任意的x 不等式t ≤f(x)恒成立?t ≤f(x)min ．

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