理论力学总结

总 结

一、理论力学

理论力学是中级物理课程（四大力学及数学物理方法）中的第一门课程，除了内容在牛顿力学基础上有所深化之外，在认识论和方法论上与牛顿力学又有着显著地差别。

理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学，根据不同的研究对象，分为质点力学和刚体力学，从研究内容来看包含运动学和动力学（研究运动不同层次即运动表象和动因），动力学分为静力学和动力学。

? 理论物理与基础物理暨理论力学的认识论和方法论

理论力学是物理系同学接触到的第一门侧重于培养理性思维能力的物理课程，是一门全新的课程。

基础物理：从物理现象出发，通过分析、归纳的方法得出物质运动的经验规律，强调从感性到理性的认识过程。

理论物理：从物理学的经验规律出发，创建一个理性的物理世界，然后通过逻辑演绎的方法推理出这个理性世界应该具有的各种各样的性质，在与现实的经验事实作比较，以检验其真伪，并探讨其实际应用的可能性，重点在于培养理性思维能力。

二、分析力学 1 分析力学的特点

分析力学与牛顿力学均是理论力学分支。

分析力学是建立在虚功（位移）原理和达朗贝尔原理基础上，注重质点和质点系的具有广泛意义的能量（其中涉及的物理量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等，动能和势能是最关键的量），同时扩大了坐标的概念，由此探讨物体机械运动规律。

分析力学是用新观点新方法来处理力学问题，具有更高的概括性，是力学理论发展的更高阶段，这一发展是与充分利用数学分析这一有力的数学工具分不开的。分析力学注重的物理量是功和能，从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法； 从应用来讲由于不同的领域都有能量的概念，因此它的思想方法可推广到其他领域；另外在处理一些较复杂的问题时分析力学较牛顿力学有更大的优越性。由于分析力学更加注重具有广义意义的能量及坐标思想，故它更便于推广于其它非机械运动领域。

1

2 分析力学与牛顿力学

比较分析力学与牛顿力学可知：

第一、分析力学较牛顿力学具有更大的普适性。

二者出发点不同（牛顿力学为力、加速度等矢量；分析力学为功、能量等标量）。由于能量是一个广义的概念，力仅是力学范围内的一个物理量，所以分析力学思想方法（即从能量出发的一整套思想方法）向其它领域推广从而用分析力学的方法研究其它非力学领域的问题成为可能。

第二、从解题的方便程度上看分析力学较牛顿力学有以下几方面优势。 标量计算较矢量计算方便，而且不需要进行加速度分析；由于使用独立坐标描述体系位形而使要求解得方程个数达到最少；遵循统一有效的、易于掌握的解题步骤，使得复杂的物理问题的内在本质分析变成了简单的求解数学方程的问题，大大简化了复杂质点系动力学问题的分析和求解过程。

第三、分析力学较牛顿力学也有缺陷。

分析力学在求解简单问题是有时并不方便，而且由于应用了“广义化”的思想，故有些量的物理意义不太清晰。

由于分析力学中数学推理较多，在历史上也曾发生过一些不良的影响，有时容易使人忘记力学的物理实质。

牛顿力学与分析力学虽有各自的特点，但并非是独立的，它们具有同样的研究目标、同样的适用范围，因此它们统称为经典力学。

3 分析力学的基本要求

（1）分析力学的基本问题：机械运动的静力学问题和动力学问题。 （2）分析力学的基本内容

基本概念：力学体系、主动力、约束力、约束条件、约束的各种分类（几何约束与运动约束、稳定约束与不稳定约束、可解约束与不可解约束）、完整的力学体系、自由度、广义坐标、广义速度、广义动量。

虚功原理：虚位移及其与实位移比较、虚功、理想约束、虚功原理及应用。 拉格朗日方程：广义力及其求法、达朗贝尔惯性力及其与牛顿惯性力的关系、质点与质点系的达朗贝尔原理、达朗贝尔原理的意义、动静法、达朗贝尔-拉格朗日方程、拉格朗日函数、拉格朗日方程、保守体系的拉格朗日方程、拉格朗日方程的优缺点。

哈密顿正则方程：拉格朗日方程出发的勒让德变换、哈密顿函数、哈密顿

2

正则方程。

（3）分析力学的基本要求

深刻理解分析力学所涉及到的基本概念；掌握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法；牢固掌握虚功原理、各种形式的拉格朗日方程和哈密顿正则方程，并能熟练应用它们解决简单的力学问题，能将分析力学的思想方法推广应用于非机械运动领域。

分析力学的学习应注重理性思维的训练、方法的学习，知道如何从能量出发来研究不同领域的问题。

下面是分析力学的基本理论概述。分析力学内容分四个部分，即基本概念、虚功原理、拉格朗日方程和哈密顿正则方程。

第一部分：基本概念

一、概念（每一个基本概念都应该注重其内在本质）

1 力学体系—有相互作用质点组成的质点体系；或一群质点集合，若其中有相互作用以致某一质点运动都与其它质点的位置和运动有关，则这种集合称为力学体系。

关键点：质点体系；质点之间的运动相互影响

问题：质点间无相互作用体系是什么体系？确定其所有质点位置需要多少个量? 2 主动力—能够引起质点运动的力。 关键点：一般是已知的

问题：质点抛体运动中所受的主动力是什么力？ 3、约束

（1）约束力（约束反力、被动力）

凡是对质点系在运动中的位置坐标（直角、极、柱、球、其他）、位置对时间的导 数及时间之间存在某种关系，则我们说这个质点系受到约束，这个关系称之为约束方 程。约束力一般是未知的。

问题：约束对运动的限制是通过什么实现的？

问题：约束力取决于什么？什么是质点的自由运动？什么是质点的约束运动？ （2）约束条件

力学体系中限制各质点自由运动条件为约束条件，这些对质点自由运动的限制条 件称为该质点系的约束。n 个质点组成力学体系受到k个约束时，这些约束既要限制

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质点位置、速度，同时这些约束还会随时间变化，则约束方程普遍形式为

?1,y?1,z?2,y?2,z?n,y?n,z?1,x?2,?,x?n,t)?0f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn;x??1,2,?,k

（3）分类（依据不同可将约束分为不同的类别） 关键点：分类依据

? 几何约束和运动约束（约束是否限制质点的速度） 几何约束：f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn,t)?0 根据此约束是否随时间变化又分为稳定约束和不稳定约束。

ⅰ 稳定约束（定常约束）：f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn)?0 ⅱ 不稳定约束（非定常约束）：f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn,t)?0 问题：下面的几个约束属于什么约束？

质点m 的限制于一个倾角为 ? 斜面上运动，斜面分别固定于水平面和以加速度a在水平面上运动；理想气体的物态方程；一个质点在椭球面上运动，椭球中心以恒定速度v 沿x 轴移动，其长短轴随时间成比例的增加。

运动约束—不仅限制质点的位置还限制质点的速度的约束，也叫微分约束。

?1,y?1,z?2,y?2,z?n,y?n,z?1,x?2,?,x?n,t)?0f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn;x问题：运动约束有无可转化成几何约束的情况？

有，称为可积分的微分约束。这是运动约束中的一类特殊情况，积分后变为几何约束，此约束仍为完整约束。（见后面关于纯滚动题目）

? 可解约束与不可解约束（质点是否可脱离约束）

可解约束—质点虽被约束，但在某个方向可脱离原来约束，也叫单面约束。 不可解约束—虽然约束允许质点作一定的运动，但不允许质点从任何方向脱离这

种约束，也叫双面约束。

问题：稳定与不稳定约束是否有可解的和不可解的约束？可解与不可解约束是否也有稳定的和不稳定的约束？

问题：可解与不可解约束的约束方程是什么形式？判断下面各个约束的特点。

f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn)?0

f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn,t)?0

f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn)?0 f?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,?,xn,yn,zn，t)?04、完整的力学体系（关注于研究对象的特点）

5、自由度—描述一个物体在空间的位置所需要的独立坐标，或在力学体系只受几

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oror?0

?0

何约束的情形下的独立坐标的数目。

6、广义坐标—确定完整力学体系位形的一组独立参数，或用来表示自由度概念中所述的独立变量的参数（也叫拉格朗日广义坐标），完整力学体系的自由度数等于独立坐标数。

问题：广义坐标的特点是什么？

广义坐标以隐含的方式包括了约束方程的要求；

广义坐标对应于不同的系统是用于确定其处于什么样的状态，此性质不仅仅指其位形性质，含同一态的所有性质，因此广义坐标还可以是除长度以外的其它描述物性的物理量，如力矩、面积、体积、电荷量、电极化强度、磁化强度等。

广义坐标的选择不止一种，视具体情况而定。

问题：为什么叫广义坐标？（对比于功的广义化的过程） 问题：辨析广义坐标与直角坐标。

一个力学体系由 n 个质点所形成 ，受 k 个几何约束，其自由度为 s = 3n – k ，把3n个不独立的坐标用 s 个独立参数及 t 表出 ，即 ：

二、习题

1、看下面两个问题，哪个是关于质点问题，哪个是关于力学体系问题。 将地球和太阳看成质点，忽略其它行星对地球的作用和太阳本身运动，则地球的运动是为我们所熟悉的质点运动。同样近似的条件下，讨论太阳系中其它行星的运动。

质点 m 被束于光滑水平平台上运动，质点上系一长为 l 的轻绳，绳穿过平台上小孔 o 另一端系一质点 m? ，讨论各质点运动情况。

2、用长为l的直杆将质点M1,M2联结起来构成一个力学体系，两质点在直角坐标系中的坐标为M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)，分析其自由度并写出其约束方程。

s?5;(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2?l2xi?xi(q1,q2,?,qs,t)??yi?yi(q1,q2,?,qs,t)?zi?zi(q1,q2,?,qs,t)??ri?ri(q1,q2,?,qs,t)(i?1,2,?,n,s?3n)(i?1,2,?,n,s?3n)（06光信第1组）

问题：若M1点接于坐标原点O ，该约束称为球面摆约束。上述约束方程形式是什么？若O点不静止，而是沿x方向有一恒定速率v ，约束方程是什么？

问题：若将细杆换成长为 l 的不可伸长的轻绳，在O 点固定和不固定时的约束方程是什么？是什么约束？

3、将上面问题中的 M1,M2 限制在oxy平面内运动，并用刚性杆将 M1 点与

5

???W=?Fi??ri?0

即所有作用于体系上的主动力在任意虚位移中所做的虚功之和为零。 ? 分量表达式之直角坐标分量表达式

n?? n?W?Fi??ri?(Fix?xi?Fiy?yi?Fiz?zi)?0 i?1i?1??? 分量表达式之广义坐标表达式

?n??r iQ???Fi??0?q i?1?问题：上述关系如何得到的？

,??1,2,?,s对于力学体系，3n个坐标是不独立的，它们可用广义坐标表示出来，即直角 坐标是广义坐标的函数，ri?ri(q1,q2,?,qs,t)。对此函数求变分可得虚位移，代入虚功原理的直角坐标表达式后可得上述关系。

问题：Q?对应一个什么性质的物理量？ （2）证明

要求能够证明虚功原理作为力学体系处于静力平衡条件的充分性和必要性（光 信第一组的讲义中只对其必要性进行了证明）。

?????Fi??ri?0 ； ????充分性：已知 ?W= ?Fi??ri?0 ，求证 Fi?Ri?0 ，反证法。

??必要性：已知 Fi?Ri?0 ，求证 ?W=

（3）虚功原理的意义—静力平衡的牛顿力学与分析力学比较

静力学主要研究质点及质点系的平衡问题，静力学的研究应该给出物体平衡的 充要条件。下面通过牛顿力学中静力学与虚功原理的比较来加深对虚功原理的理解。

ⅰ牛顿力学在静力学中给出的静力平衡条件对任意质点系的平衡来说只是必要 的，但不总是充分的。而虚功原理则给出了任意质点系平衡的充要条件，是质点系 静力平衡的普遍原理。

ⅱ 牛顿静力学是利用主动力与约束力之间的关系来给出质点系平衡条件的，虚 位移原理则是通过主动力在约束许可的位移上的表现（通过功的形式）来给出质点 系的平衡条件的。

ⅲ 虚功方程中不反映全部理想约束的约束反力，这是应用虚功原理解决质点系 平衡问题的主要优点之一。

ⅳ 应用虚功原理也能简便的求出约束反力。此时只要解除约束，将相应的约束 反力作为主动力即可。对于具有摩擦和弹簧的非理想约束系统，则应将摩擦力和弹 性力作为主动力。通常一次解决一个未知量的约束，使体系增加一个自由度。

三、习题

1 用虚功原理解题步骤

（1）确定所要研究的物体系统，判别约束是否为理想约束

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（2）分析作用于此系统的主动力

（3）建立适当的坐标系，确定广义坐标数 ? 广义坐标必须是独立的

? 必须能位移的确定系统的位形，所选的广义坐标的每一组值应该能够确定

系统唯一的一个位形

（4）写出每个主动力做的虚功，列出用广义坐标表示的虚功原理的虚功方程 （5）找出虚位移间的关系 （6）解方程

2 确定各虚位移间关系的方法-几何法与解析法

应用虚功原理解题时列出虚功方程后关键是求出各虚位移间的关系，确定虚位 移间的关系方法主要有两种，即几何法和解析法。

ⅰ几何法：利用系统的几何关系或各点速度间关系来确定各虚位移间关系。 ⅱ 解析法：建立静止直角坐标系，把做虚功主动力作用点直角坐标（x，y，z） 表示为某些独立变量的函数，然后进行变分运算（类似于微分运算），求得各点虚位 移的投影?x、?y、?z后代入虚功方程即可。

3 习题 ? 例题

例1 有一个椭圆规结构如图（见课堂笔记），曲柄轴为O ，向滑块A给一竖 直向下的力P 使曲柄向右运动。要使图中成? 角时平衡，作用于OC上的力矩应 多大？假设机构处于水平面内，所有接触面光滑，OC = AC = CB = l 。

例2 （见06光信第一组计算题3） ? 学生题（06应物第1组） 简答题

（1）何谓完整的力学体系? （2）简述理想约束。

（3）试比较虚位移与实位移。

（4）在何种情况下一对大小相等、方向不一定相反的约束力所作虚功为零？ （5）简述虚功原理。

选择题

（1）如下图所示，刚性杆AB的A端用铰链固定，B端用铰链和刚性杆BC连接（两个杆均视为刚体），则该系统有几个自由度？

A 2 B 3 C 4 D 5

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（2）力系中所有的力都与某一直线相交，且垂直与该直线，则该力系最多有几个独立的平衡方程？

A 2个 B 3个 C 4个 D 5个

计算题1（06光信虚功原理计算题2与之同）

06光信题解

题目：图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。 作用线平分?ABC。设AB = BC ，?ABC?2?，各处摩擦及杆重不计，求对物体 的压缩力。

解：取机构为研究对象，受力如图，建立图示坐标系，以?角为自变量，如B 、

C两点有虚位移 ?xB 、?yB，由虚功原理有

Fx?xB?Qy?yc?0

期中力和虚位移都是代数值，故有

F?xB?Q?yC?0

写出B、C点的坐标并求变分

?xB??lcos? ?xB?lsin???

yC?2lsin? ?yC?2lcos???

代入虚功方程可求得

?Flsin????2Qlcos????0 Q?

计算题2

1Ftg? 2 13

计算题3

? 学生题（06光信第1组） 计算题1

题目：椭圆规机构连杆长为l，各处摩擦不计，在图示位置平衡。求主动力FA和FB之间的关系。

解：研究整个机构的平衡，设系统有虚位移 ?rA、?rB，如图所示。由虚功原理有

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因为

FA?rA?FB?rB?0vA??rAdt,vB??rBdt

则虚位移间有如下关系

?rBv?B?tg? 即 FA?tg??rAvAFB计算题2（此题即课堂例题）

题目：均匀杆OA，重P1 ，长为l1 ，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此

杆的A端用铰链连另一重P2 ，长为l2 的均匀杆AB， 在AB杆的B端加以水平力

F，求平衡时此二杆与水平线所成的角度? 及? ，如图所示。

解：经分析，此力学体系自由度为2 。选?和?为广义坐标，由虚功原理得

?W?P1?y1?P2?y2?F?x3?0 （1） 写出坐标及变分

y1?l1sin?2?y1?l1cos????2ll2sin? ?y2?l1cos?????2cos????

22?x3??l1sin?????l2sin????x3?l1cos??l2cos?y2?l1sin??将上面结果代入（1）式有

l1l2P(cos????)?P(lcos?????cos????)?F(l1sin?????l2sin????)?0 12122l1l(Pcos??P2l1cos??Fl1sin?)???(P22cos??Fl2sin?)???0 122因为??、??是互相独立的，故有

l1cos??P2l1cos??Fl1sin??02 lQ??P22cos??Fl2sin??02Q??P1所以 tg??

07光信第二组

1.只要约束所允许，可任意假设虚位移的大小和方向。

2.因为实位移也是约束所允许的，因此在任何情况下，实位移都是虚位移中的一个。 3.所谓理想约束，是指在任何虚位移中，约束反力所作虚功之和等于零的约束。 4.所谓广义坐标是指确定质点系位置的参数。

P1?2P22Ftg??P2 2F 15

5.在完整约束条件下，质点系的自由度数等于确定质点系位置的独立参数的个数。 6.广义力一定具有力的量纲。

7.具有理想约束的质点系，在给定位置上平衡的充要条件是作用于质点系上的所有动力在该位置的一组虚位移中元功之和等于零。 8.静力学中平衡方程和虚功方程都可以用来求解平衡问题，且＿＿＿

（A）静力学平衡方程给出了质点系平衡的必要条件，而虚功方程给出了质点系平

衡的冲要条件。

（B）二者都给出了质点系平衡的充分必要条件。

（C）静力学平衡方程给出了质点系平衡的充分条件，虚功方程给出了质点系平衡

的必要条件。

（D）静力学平衡方程给出了质点系平衡的必要条件，虚功方程给出了质点系平衡

的充分条件。

9.有n个质点组成的质点系有k个定常约束，对于平面系统，其自由度数S=2n-k ; 于空间系统，其自由度数 S=3n-k 。则对图中平面机构，其自由度为

10.椭圆规如图（a）所示，滑块A和B于长度为l的杆AB铰接，略去摩擦和各物 体自重，求机构在图示位置平衡时主动力 之间的关系。

11.在图中所示系统中除去连接H点的二杆长度为l外，其余各杆长度均为2l，弹 簧的刚度系数为k的当未加水平力P时弹簧不受力，且

不考虑各干的重量与形变，求平衡于 角位置时水平力P的大小。

07材料第二组

⒈ 应用虚位移原理求解系统的平衡问题时，所列问题中将不会出现约束反力（ ） ⒉ 虚位移原理既能解决静态平衡问题又能解决动态非平衡问题（ ） ⒊ 虚位移原理适用于刚体但不适用于变形体系统（ ）

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4. 实位移的广义坐标表达式为_____，虚位移的广义坐标表达式为_____。

5. 如图所示，A,B,C为等边三角形，D,E,F分别为三边的中点，则CD杆的内力为_____。 6. 一轮滑组由一定滑轮A与n个动滑轮所组成，平衡时被举起的重物Q与作用于绳子一端的力P之比为_____。

7. 机构在图示位置平衡，不计各杆自重，求力F1和F2关系 。

8. 已知：BC=AB=L，BE=BD=b，弹簧刚度为k，当x=a时，弹簧拉力为零，该系统在力F作用下平衡，杆重不计，求平衡时x=? 9. 判断下列方程为何种约束:

10.下列约束是否为理想约束：

① 光滑表面； ② 带摩擦的铰链； ③ 刚体内部约束； ④ 可伸长的绳索

第三部分：拉格朗日方程—动力学

一、达朗贝尔原理 （一）基本概念 1 广义力

Q????ri??Fi??q?i?1n,??1,2,?,s（1） 广义功（力的功、表面张力功、力矩功、体积膨胀功、可逆电池电荷移动功等）

d W = Y i d y 其中y为广义坐标(generalized coordinates)；dy为广义位移 (generalized

displacement)；i为对应于不同种类的作用类型；Y为广义力(generalized force)；dW为广义功(generalized work)。

广义的思想是理论力学中应用最多的思想方法之一，例如广义力、广义功、广义 坐标、广义能量、广义速度、广义动量等，望同学们细细体会其中含义。

（2） 用广义坐标表示的虚功原理

由虚功原理的广义作标表示法引入了广义力的概念，它源于功的表示式中使广 义位移发生的作用的意义。

问题：主动力是否一定是广义力？

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（3） 广义力的求法 ? 定义法

? 虚位移变分求解广义位移系数对比法 ? 单一广义位移法

? 广义坐标表示的主动力的势函数对相应的广义坐标求偏导法 2 惯性力

问题：什么是惯性力？

为了在非惯性系中形式的应用牛顿定律而引入的虚拟力，它不是物体间相互作 用，而是由于非惯性系的非惯性运动产生的，无施力物体，无反作用力。我们见过

??的惯性力有平动惯性力、惯性离心力、克里奥利力等。F??ma

（二）达朗贝尔原理

???1 质点的达朗贝尔原理 F?R?F0?0

在质点运动任一瞬时，作用在一个质点上的主动力、约束力、虚拟的惯性力在

??0，也可表示为 F?R?F?0，形式上组成平衡力系，即 F?R?m? r0??? 称为达朗贝尔惯性力。 式中的 F0??m?r???2 质点系的达朗贝尔原理 Fi?Ri?F0i?0 I = 1,2,3.....

在质点系运动的任一瞬时，作用在质点系上每一个质点的主动力、约束力、虚 拟的惯性力在形式上组成平衡力系。

问题：质点系的达朗贝尔原理可否表示成 （三） 牛顿惯性力与达朗贝尔惯性力 相同点：本质上都是惯性力

不同点：达朗贝尔惯性力不存在统一的参考系，牛顿惯性力有统一参考系 （四） 达朗贝尔原理意义

达朗贝尔原理提供了一个处理非自由质点系动力学问题的普通方法，此方法的 特点是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，称为动静法。

惯性力是虚拟的，并不是真实的作用于质点或质点系上的力，因此达朗贝尔原 理只是提供了一种用静力学的方法写出动力学方程的简单方法。引入惯性力后，动 力学方程只形式的写成了平衡方程，实质仍然是动力学方程。

方程形式上的这种变换带来分析问题和列方程的便利，引出了新观点，即对于 作任何运动的质点或质点系，除真实作用的主动力和约束力外，只要在每个质点上 加上它的惯性力，就可直接应用静力学中的平衡理论来建立质点系的运动与作用于 质点系的力之间的关系从而求解动力学问题。

二、动力学的普遍方程-达朗贝尔·拉格朗日方程

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?????????，为什么？ (F?R?F?ii0i)?0ni?1受理想约束的质点在其运动的任一瞬时，作用在各质点的主动力和惯性力在系 统的任何虚位移上所做的虚功之和为零，即

n????)??r ?(Fi?mi? （1） rii?0i?1? 因不是真静力学问题，故不要求必须是稳定或完整约束，但必是理想约束。

?? 式中? r?i是对静参考系而言，若是对非惯性系需加入惯性力且归入主动力。

? 式中的各虚位移都要受到约束的限制，因而不是都独立的，只有用广义坐 标的虚位移时才能得到它们的系数分别为零，从而变为可利用的动力学方程。也只 有这样，才能利用达朗贝尔·拉格朗日方程求解动力学问题。

? 由表达式可见该方程正是静力学虚功原理在解动力学问题时应用，即动静法。 三、拉格朗日方程（以下各式中??1,2,3,?,s）

????ri?)?1 广义坐标表示的拉格朗日方程：?(Fi?mi?r?0 （2） i?q?i?1nd?T?T()??Q? （3）

??dt?q?q???是广义速度， Q?是对应于广义坐标的广义力。 式中T 是质点系的动能，qd?L?L()??O （4） 3 保守体系的拉格朗日方程1：

?dt?q??q?2 一般形式的拉格朗日方程：

式中 （L = T – V ） 称为拉格朗日函数，V 是势能。 4 保守体系的拉格朗日方程2：

d?L?L()??Q? （5）

?dt?q??q?式中Q?是非保守主动力的广义力。

问题：方程（1）是动力学的普遍方程，为什么会要用（2）？ 问题：方程（2）已可以求解，为什么还会再找出方程（3）？ 问题：说明方程（4）与（5）的区别。 四、拉格朗日方程与牛顿方程

1 应用拉格朗日方程可使系统的动力学方程的数目减少到最少（拉氏方程：3n –k 个，牛顿方程：3n + k个），可消去全部理想约束力。

2 拉氏方程本身不需进行加速度分析。

3 拉氏方程遵循统一有效的、容易掌握的步骤解题，从而大大简化了复杂质点系 动力学问题的分析和求解过程，提供了用广义坐标形式建立质点系动力学的普遍方程。

4 提供了广义坐标形式建立质点动力学方程的普遍方法，既便于掌握，又不易出 错，而且 因为是能量表达式，因而可以推广至其他学科。

5 值得指出的是拉氏方程中各项物理意义不如牛顿动力学方程那么明显；不能用 该方程求解理想约束反例；对于单个物体或简单系统的动力学问题有时不如牛顿力学 求解方便，因此到底怎样解决具体问题，由具体问题而定，不能一概而论。

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五、习题

1 用拉格朗日方程解题步骤

ⅰ一般取整个系统为研究对象，分析研究对象的约束性质，确定自由度数目，并 适当选取广义坐标

ii 运动分析，用广义坐标、广义速度等表示系统动能

iii 分析作用在系统上的主动力，并计算广义力。当主动力均为有势力时，应 以广义坐标表示系统动能有时还要计算非保守主动力的广义力

ⅳ 将动能、拉氏函数、广义力带入相应的拉氏方程 v 根据相应的拉格朗日方程建立质点系的运动微分方程

vi 有时还要求解微分方程或微分方程组建立辅助方程，求出所需运动和力讨论 和分析所得结果

2 用拉格朗日方程解题注意事项 ⅰ 分清楚系统与外界

ⅱ 体系的动能、拉氏函数必须用广义坐标表示法可求解 3 习题

例1：有一个质点在外力作用下在空间运动，用拉氏方程找出其运动规律。 例2：设一个质点在外力作用下作平面运动，其动能为 1m(x?2?y?2) ，用拉格

2朗日函数在极坐标分析其运动规律（作业变三维）。 例3：一个质量为m 的质点在平面上运动，不采用极坐标r 、而用r 、sin?? ，为广义坐标，写出此质点的动能（作业）。

例4：应用拉格朗日方程在球坐标中写出自由质点的运动微分方程。 例5：应用拉格朗日方程在柱坐标中写出自由质点的运动微分方程。

例6：用保守体系的拉格朗日方程求解一维谐振子的动力学规律（作业变三维）。 例7：利用保守体系的拉格朗日方程写出LC振荡电路的电磁振荡方程。 例8：一个质量为 m1 的滑块可于导轨上滑动，与滑轨连接一轻质杆b ，杆的另一端固定一质量为 m2 的质点，连杆可于竖直平面内转动，其位置用与竖直方向夹角 ? 表述。求 m2 做微小振动的运动微分方程和周期（作业）。

以下为06应物第二组题目 1.是非题（对画√，错画×）

? 质量相同的物体其惯性力也相同。（ ）

? 惯性力是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。（ ） ? 凡是运动的质点都具有惯性力。（ ） ? 惯性力是真实力。（ ）

? 平移刚体的惯性力为简化在质心上的一个力。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）

（1）如图所示的平面机构，AC∥BD ，且AC = BD = l，均质杆的AB 质量为m ， 杆长为l ，以角速度 ω和角加速度 α摆动，则杆AB的惯性力向其质心E 简化

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