2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析

2014年全国高考数学卷文科卷1

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释）

1．已知集合M x| 1 x 3 ,N x| 2 x 1 ，则M N （ ） A. ( 2,1) B. ( 1,1) C. (1,3) D. ( 2,3) 2．若tan 0，则

A. sin 0 B. cos 0 C. sin2 0 D. cos2 0 3．设z

12

1

i，则|z| 1 i

A. B.

22

C.

3

D. 2 2

x2y2

4．已知双曲线2 1(a 0)的离心率为

a3

2，则a

A. 2 B.

6

2

C.

5

D. 1 2

5．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是

A.f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 6．设D,E,F分别为 ABC的三边BC,CA,AB的中点，则 A. B.

11AD C. BC22

D. BC

6

),④y tan(2x

7．在函数①y cos|2x|，②y |cosx| ，③y cos(2x 正周期为 的所有函数为

4

)中，最小

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

9．执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M ( )

A.20 B.7 C.16 D.15

AF10．已知抛物线C：y2 x的焦点为F,A x0,y0 是C3

2

5

8

5

，则x0 （ ） 4x0

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

11．已知函数f(x) ax3 3x2 1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0 0，则a的取值范围是

（A） 2, （B） 1, （C） , 2 （D） , 1

二、填空题（题型注释） 12．设x，y满足约束条件

x y a,

且z x ay的最小值为

x y 1,

7，则a

（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3

13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. 15．设函数

ex 1,x 1, f x 1则使得f x 2成立的x的取值范围是________.

3 x,x 1,

16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角 MAN 60 ，C点的仰角 CAB 45 以及 MAC 75 ；从C点测得

MCA 60 .已知山高BC 100m，则山高MN ________m.

三、解答题（题型注释）

17．已知 an 是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根。 （I）求 an 的通项公式；

an

（II）求数列 n 的前n项和.

2

18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：

（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

19．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO 平面BB1C1C.

（1）证明：B1C AB;

（2）若AC AB1, CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱ABC A1B1C1的高.

20．已知点P(2,2)，圆C:x2 y2 8y 0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程； (2)当OP

OM

时，求l的方程及 POM的面积

2

21．设函数f x alnx 1 ax2 bx a 1 ，曲线y f x 在点 1，f 1 处的切线斜率为0

求b;若存在x0 1,使得f x0 22．如图，四边形ABCD是

E，且CB CE.

a

，求a 1

a的取值范围。

的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点

（I）证明： D E； （II）设AD不是三角形.

x 2 tx2y2

23．已知曲线C: 1，直线l: （t为参数）

49 y 2 2t

的直径，AD的中点为M，且MB MC，证明： ADE为等边

写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值.

24．若a 0,b 0,且1 1

a

b

ab

（I）求a3 b3的最小值；

（II）是否存在a,b，使得2a 3b 6？并说明理由.

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：根据集合的运算法则可得：M N x| 1 x 1 ，即选B．

考点：集合的运算 2．C 【解析】

试题分析：由tan sin

cos

0，可得：sin ,cos 同正或同负，即可

排除A和B，又由sin2 2sin cos ，故sin2 0. 考点：同角三角函数的关系 3．B 【解析】

试题分析：根据复数运算法则可得：

z

11 i1 i11 i i i i1 i(1 i)(1 i)222

，由模的运算可得

：

|z| .

2

考点：复数的运算 4．D 【解析】

a2 3c2

试题分析：由离心率e 可得:e 2 22，解得：a 1．

aa

考点：复数的运算

5．C 【解析】

试题分析：由函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，可得：|

f(x)|和|g(x)|均为偶函数，根据一奇一偶函数

相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C． 考点：函数的奇偶性 6．A 【解析】

试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在

1 1

BEF中，EB EF FB EF AB，同理FC FE EC FE AC，则

22

1 1 1 1 1

EB FC (EF AB) (FE ) ( ) AC) AD

． 22222

考点：向量的运算 7．A 【解析】

试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与y cos2x相同，

T

2

2

;②中函数y |cosx|的周期是函数y cosx周期的一半，即

2

2

T

; ③T ; ④T ，则选A．

2

考点：三角函数的图象和性质 8．B 【解析】

试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．

考点：三视图的考查 9．D 【解析】

试题分析：根据题意由

1 3

成立，则循环，即

133

M 1,a 2 n,; 2由2 3成立，则循环，即又

2222838

M 2 ,a ,b ,n 3;又由3 3成立，则循环，即

33233315815

4 3不成立，则出循环，输出M ,a ,b ,n;4 又由

2883815M ．

8

考点：算法的循环结构 10．A 【解析】

试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：

x0

15

x0，可解得x0 1． 44

x

14

，则有：|AF| x0 ，即有

14

考点：抛物线的方程和定义 11．C 【解析】

试题分析：根据题中函数特征，当a 0时，函数f(x) 3x2 1显然有两个零点且一正一负; 当

a 0

时，求导可得：

f'(x) 3ax2 6x 3x(ax 2)，利用导数的正负与函数单调性的关系可

2

)时函数单调递得：x ( ,0)和x (2, )时函数单调递增; x (0a

a

减，显然存在负零点; 当

a 0

时，求导可得：

f'(x) 3ax2 6x 3x(ax 2)，利用导数的正负与函数单调性的关系可

0)时函数单调递得：x ( ,2)和x (0, )时函数单调递减; x (2，

a

a

2

f() 0

增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足： ，即 a

f(0) 022

a ()3 3()2 1 0

,a 2． 得：，可解得：a2 4，则a 2(舍去）aa

考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用 12．B 【解析】

试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：A(

a 1a 1

,)，又由题中z x ay可知，当a 0时，z22

a 1a 1a2 2a 1a2 2a 1 a 7，有最小值：z ，则解得：a 3;2222

当a 0时，z无最小值．故选B

考点：线性规划的应用 13． 【解析】

2

3

试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：P 4 2．

6

3

考点：古典概率的计算 14．A 【解析】

试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：

可以得出结论乙去过的城市为：A． 考点：命题的逻辑分析 15．( ,8] 【解析】

试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当x 1时，由ex 1 2，可解得：x 1 ln2，则此时：x 1;当x 1时，由x

1

3

2，可解得：

x 23 8，则此时：1 x 8，综合上述两种情况可得：x ( ,8]

考点：1.分段函数;2.解不等式

16．150 【解析】

试题分析：根据题意，在

ABC

中，已知

CAB 450, ABC 900,BC

100，易得：AC ;在 AMC中，已

知 MAC 750, MCA 600,AC AMC 450，由正弦定理可解得：

ACAM

，即：AM ;在

sin AMCsin

ACM2 AMN

中，

已知 MAN 600, MNA 900,AM 易得：MN 150m.

考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用

4

17．（1）an 1n 1;（2）Sn 2 n . n 1

2

2

【解析】

试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程x2 5x 6 0，可运用因式分解的方法求出它的两根为2,3，即可得出等差数列中的

a2 2,a4 3，运用等差数列的定义求出公差为

d

d，则a4 a2 2d，故

13

，从而a1 .即可求出通项公式;（2）由第（1）小题中已22

an 2 求出通项，易求出：n，写出它的前n项的形式：nn 122

34n 1n 2Sn 2 3 n n 1，观察此式特征，发现它是一个差比数列，

2222

1

故可采用错位相减的方法进行数列求和，即两边同乘，即：

2

134n 1n 2

Sn 3 4 n 1 n 2，将两式相减可得：2222213111n 2311n 2Sn 2 (3 4 n 1) n 2 (1 n 1) n 2，所以2222224422

n 4

Sn 2 n 1.

2

试题解析：（1）方程

x2 5x 6 0的两根为2,3，由题意得

a2 2,a4 3.

设数列{an}的公差为d，则a4 a2 2d，故d 1，从而a1 3.

2

2

所以{an}的通项公式为an 1n 1.

2

ann 2an

n 1，则 }的前n项和为，由（1）知Sn

2n22n

34n 1n 2Sn 2 3 n n 1，

2222134n 1n 2Sn 3 4 n 1 n 2. 22222

n 2) 两式相减得1Sn 32 (13 14 1

22222n 12n 2

311n 2 (1 n 1) n 2 4422

4

所以Sn 2 n . n 1

2

（2）设{

考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和 18．（1）

（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104

（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于

95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 【解析】

试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为

x 80 0.06 90 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08 100，进而由方差公

式可得：质量指标值的样本方差为

s2 ( 20)2 0.06 ( 10)2 0.26 0 0.38 102 0.22 202 0.08 104;（3）根

据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为

0.38 0.22 0.08 0.68，由于该估计值小于

0.8，故不能认为该企业

生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 试题解析：（1）

（2）质量指标值的样本平均数为

x 80 0.06 90 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08 100.

质量指标值的样本方差为

s2 ( 20)2 0.06 ( 10)2 0.26 0 0.38 102 0.22 202 0.08 104.

所以这种产品质量指标值

（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为

0.38 0.22 0.08 0.68，

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算 19．（1）详见解析;（2）三棱柱ABC

A1B1C1的高为【解析】

试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结BC1，则O为B1C与又因为侧面BB1C1C为菱形，对角线相互垂直B1C BC1;BC1的交点，

又AO 平面BB1C1C，所以B1C AO，根据线面垂直的判定定理可得：B1C 平面ABO，结合线面垂直的性质：由于AB 平面ABO，故B1C AB;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离，即：作OD BC，垂足为D，连结

HAD，作O

AD

. 7

，垂足为H，则由线面垂直的判定定理可得OH 平

面ABC，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA，可求出OH的长度，最后由三棱柱ABC A1B1C1的高为此距离的两倍即可确定出

高．

试题解析：（1）连结BC1，则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C BC1. 又AO 平面BB1C1C，所以B1C AO， 故B1C 平面ABO.

由于AB 平面ABO，故B1C AB.

（2）作OD BC，垂足为D，连结AD，作OH AD，垂足为H. 由于，BC OD，故BC 平面AOD，所以OH BC， 又OH AD，所以OH 平面ABC.

因为 CBB1 600，所以 CBB1为等边三角形，又BC 1，

可得OD 由于AC AB1，所以OA

11

B1C , 22

由OH AD OD

OA，且AD

，得OH

， 14. 7

又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC

的距离为故三棱柱ABC

A1B1C1. 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用

20．（1）(x 1)2 (y 3)2 2;（2）l的方程为y

18

x ; POM33

的面

积为16.

5

【解析】

试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为x2 (y 4)2 16，所以圆心为C(0,4)，半径为4，根据求曲线方程的方法可设M(x,y)，由向量的知识和几何关系：

运用向量数量积运算可得方程：（2）CM MP 0，(x 1)2 (y 3)2 2;

由第（1）中所求可知M的轨迹是以点N

(1,3)圆，加之题中条件|OP| |OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON PM，不难得出l的方程为y 1x 8;结

3

3

合面积公式可求又 POM的面积为16.

5

试题解析：（1）圆C的方程可化为x2 (y 4)2 16，所以圆心为

C(0,4)，半径为

4，

设M(x,y)，则CM (x,y 4)，MP (2 x,2 y)，

由题设知CM MP 0，故x2() x( 2(y)4 )0 y

，即(x 1)2 (y 3)2 2.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x 1)2 (y 3)2 2. （2）由（1）可知M的轨迹是以点N

(1,3). 由于|OP| |OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为 ，故l的方程为y 又|OP| |OM| O到l

的面积为

16

. 5

13

18x .

33

，|PM| ，所以 POM

考点：1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的

位置关系

21．（1）b 1;（2

）(11) (1, ). 【解析】

试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：f'(x) a (1 a)x b，利

x

用上述关系不难求得f'(1) 0，即可得b 1;（2）由第（1）小题中所求b，则函数f(x)完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：

f'(x)

a1 aaa

(1 a)x 1 (x )(x 1)根据题意可得要对xx1 a1 a

与1的

2

大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（ⅰ）若a 1，则

a

1，故当x (1, )时，f'(x) 0，f(x)在(1, )单调递增，所以，1 a

存在x0 1，使得f(x0) a的充要条件为f(1) a，即

a 1a 1

1 aa

1 ，所以1 a 1.（ⅱ）若1 a 1，则a 1，2a

121 a

aa)时，f'(x) 0；当x (, )时，f'(x) 0，f(x)在故当x (1,1 a1 a

aa(1,)单调递减，在(, )单调递增.所以，存在x0 1，使得1 a1 a

aaa

f(x0) ) 的充要条件为f(，无解则不合题意.（ⅲ）若

a 11 aa 1

1 a a 1a

a 1，则f(1) 1 .综上，a的取值范围

是

22a 1

(11) (1, ).

试题解析：（1）f'(x)

a

(1 a)x b， x

由题设知f'(1) 0，解得b 1.

（2）f(x)的定义域为(0, )，由（1）知，f(x) alnx

f'(x)

1 a2

x x， 2

a1 aa (1 a)x 1 (x )(x 1) xx1 a

1a

1，（ⅰ）若a ，则故当x (1, )时，f'(x) 0，f(x)在(1, )

21 a

单调递增，

所以，存在x0 1，使得

1 aa

1 ，

2a 1

f(x0)

a

的充要条件为f(1) aa 1a 1

，即

所以1 a 1. （ⅱ）若1 a 1，则

aa

1，故当x (1,)时，f'(x) 0；

21 a1 a

当x (a, )时，f'(x) 0，f(x)在(1,a)单调递减，在(a, )单

1 a1 a1 a

调递增.

所以，存在x0 1，使得f(x0) 而

a

的充要条件为f(a) a， a 11 aa 1

aaa2aa

，所以不合题意. f() aln

1 a1 a2(1 a)a 1a 1

2

2

a

. a 1

（ⅲ）若a 1，则f(1) 1 a 1 a 1

综上，a

的取值范围是(11) (1, ).

考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用

22．（1）详见解析;（2）详见解析 【解析】

试题分析：（1）根据题意可知A，B，C，D四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得： D CBE，由已知得

CBE E，故 D E;（2）不妨设出

BC的中点为N，连结MN，

则由MB MC，由等腰三角形三线合一可得：MN BC，故O在直线MN上，又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故OM AD，

即MN AD，所以AD//BC，故 A

CBE

BE，又 C

E

，故 A E，

由（1）知， D E，所以 ADE为等边三角形.

试题解析：（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以 D CBE， 由已知得 CBE E，故 D E.

（2）设BC的中点为N，连结MN，则由MB MC知MN BC， 故O在直线MN上.

又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故OM AD， 即MN AD.

所以AD//BC，故 A CBE， 又 CBE E，故 A E.

由（1）知， D E，所以 ADE为等边三角形.

考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质 23．（1）曲线C的参数方程为 通方程为y 2x 6. （2

【解析】

试题分析：（1）根据题意易得：曲线C

x 2cos

的参数方程为 ，

y 3sin

x 2cos

，（ 为参数），直线l的普

y 3sin

（ 为参数），直线l的普通方程为y 2x 6;（2）由第（1）中设曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )，利用点到直线的距离公式可求

得

|PA|

：距离

为

d

|4cos 3sin 6|5

，

则

d 5sin( ) 6|，其中 sin300为锐角，且tan 4，当

3

sin( ) 时，1|PA|取得最大值，

|PA

|当sin( ) 1时， 试题解析：（1）曲线C

x 2cos

的参数方程为 ，（ 为参数），

y 3sin

直线l的普通方程为y 2x 6.

（2）曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为

d

|4cos 3sin 6|.

4dtan ，其中为锐角，且， |5sin( ) 6|

3sin300则|PA|

当sin( ) 1时，|PA

|取得最大值，最大值为当sin( ) 1时，|PA

|5

.

考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性

24．（1

）最小值为（2）不存在a，b，使得2a 3b 6. 【解析】

试题分析：（1

11 ab，

得ab

2，且当a b

时等号成立，则可得：a3 b3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e1pe.html