人教版七年级数学下册《命题、定理、证明》拓展练习

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《命题、定理、证明》拓展练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，已知AC∥BD，∠A＝∠C，则下列结论不一定成立的是（）

A．∠B＝∠D B．OA＝OC C．OA＝OD D．AD＝BC 2．（5分）甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（）A．甲的车是白色的，乙的车是银色的

B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的

C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的

D．丁的车是银色的，甲的车是红色的

3．（5分）如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且GF∥DE，已知∠ACD＝90°，若∠AGD＝α，∠GFE＝β，则下列等式中成立的是（）

A．α＝βB．2α+β＝90°C．3α+β＝90°D．α+2β＝90°4．（5分）下列命题是真命题的是（）

A．三角形的一个外角大于它的任何一个内角

B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

C．分式的分子与分母都乘同一个整式，所得分式与原分式相等

D．相等的角是对顶角

5．（5分）下列命题正确的个数为（）

①圆心角相等，所对的弦也相等

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②等弧所对的弦相等

③平分弦的直径垂直弦

④矩形都相似

⑤三点确定一个圆

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三个小朋友．根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球？

（1）小春说：“我分到的不是蓝气球．”

（2）小宇说：“我分到的不是白气球．”

（3）小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了．”

则小春、小宇、小华分别分到颜色的气球．

7．（5分）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c：这是一个命题．（填“真或假”）

8．（5分）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的是（填序号）

9．（5分）命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是，该逆命题是（填“真”

或“假”）命题．

10．（5分）把命题“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么……”

的形式为：两条直线被第三条直线所截，如果，那么．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）

如图，已知AB∥CD，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE∥CF．

证明：∵AB∥CD（已知）

∴∠＝∠．（）

∵．（已知）

∴∠EBC＝∠ABC，（角平分线的定义）

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同理，∠FCB

＝

∴∠EBC＝∠FCB．（）

∴BE∥CF．（）

12．（10分）阅读理解

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作ED∥BC

∴∠B＝∠，∠C＝∠．

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°（平角定义）

∴∠B+∠BAC+∠C＝180°

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．

小明受到启发，过点C作CF∥AB如图所示，请你帮助小明完成解答：

（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．BE平分∠ABC，DE 平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．

①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为°．

②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，则∠

BED的度数为°（用含n的代数式表示）

13．（10分）综合与探究

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如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

【发现】

（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠

；

（2）求∠ABN、∠CBD的度数；

解：∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠ABN＝，

∴∠ABP+∠PBN＝120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝，（）

∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝．

【操作】

（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．【探究】

（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是．

14．（10分）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．

（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．

（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．

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15．（10分）已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．

（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；

（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；

（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．

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《命题、定理、证明》拓展练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，已知AC∥BD，∠A＝∠C，则下列结论不一定成立的是（）

A．∠B＝∠D B．OA＝OC C．OA＝OD D．AD＝BC

【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定逐个判断即可．

【解答】解：A、∵AC∥BD，

∴∠A＝∠D，∠C＝∠B，

∵∠A＝∠C，

∴∠B＝∠D，正确，故本选项不符合题意；

B、∵∠A＝∠C，

∴OA＝OC，正确，故本选项不符合题意；

C、根据已知不能推出OA＝OD，错误，故本选项符合题意；

D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∴OA＝OC，OD＝OB，

∴OA+OD＝OC+OB，

即AD＝BC，正确，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

2．（5分）甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（）A．甲的车是白色的，乙的车是银色的

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B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的

C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的

D．丁的车是银色的，甲的车是红色的

【分析】先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁的车是蓝色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色．

【解答】解：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，

假设乙的车是红色，

∴乙的说法是实话，

∴丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，

假设丙的车是红色，

∴丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”，

∴乙的说法是实话，

∴有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，

∴只有甲的车是红色，

∴甲的说法是实话，

∴丙的说法不是实话，

∵丙说：“丁的车不是蓝色的．”

∴丁的车是蓝色，

∴乙和丙的车一个是白色，一个是银色，

∵甲说：“乙的车不是白色．”且甲的说法是实话，

∴丙的车是白色，乙的车是银色，

即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，

故选：C．

【点评】此题是推理与论证题目，解决此类题目先假设某个说法正确，然后根据题意进行分析推理，看是否有矛盾，进而得出结论，

3．（5分）如图，AB∥EF，∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，且GF∥DE，已知∠ACD＝90°，若∠AGD＝α，∠GFE＝β，则下列等式中成立的是（）

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A．α＝βB．2α+β＝90°C．3α+β＝90°D．α+2β＝90°【分析】过D作DP∥EF，连接GC并延长，依据平行线的性质以及三角形的外角性质，即可得到∠CAG+∠CDG＝90°﹣α，∠EDP＝∠F＝β，进而得出2α+β＝90°．

【解答】解：如图，过D作DP∥EF，连接GC并延长，

∵AB∥EF，

∴AB∥DP，

∴∠ACD＝∠BAC+∠PDC＝90°，

又∵∠ACH是△ACG的外角，∠DCH是△DCG的外角，

∴∠ACD＝∠CAG+∠CDG+∠AGD，

∴∠CAG+∠CDG＝90°﹣α，

∵∠BAC与∠CDE的角平分线交于点G，

∴∠BAC＝2∠GAC，∠CDG＝∠EDG，

∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣∠EDP）＝90°，

又∵DP∥EF，DE∥GF，

∴∠EDP＝∠F＝β，

∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG﹣β）＝90°，

即2∠GAC+2∠CDG﹣β＝90°，

∴2（90°﹣α）﹣β＝90°，

∴2α+β＝90°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”

是解题的关键．

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4．（5分）下列命题是真命题的是（）

A．三角形的一个外角大于它的任何一个内角

B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

C．分式的分子与分母都乘同一个整式，所得分式与原分式相等

D．相等的角是对顶角

【分析】利用三角形的外角的性质、垂直平分线的判定、分式的基本性质及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、三角形的一个外角大于它的任何一个不相邻的内角，故错误，是假命题；

B、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；

C、分式的分子与分母都乘同一个不为零的整式，所得分式与原分式相等，故错

误，是假命题；

D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，

故选：B．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解三角形的外角的性质、垂直平分线的判定、分式的基本性质及对顶角的性质，难度不大．5．（5分）下列命题正确的个数为（）

①圆心角相等，所对的弦也相等

②等弧所对的弦相等

③平分弦的直径垂直弦

④矩形都相似

⑤三点确定一个圆

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】利用圆周角定理、垂径定理、矩形的性质及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：①同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等，故错误；

②等弧所对的弦相等，正确；

③平分弦（不是直径）的直径垂直弦，故错误；

④矩形的对应角都相等，但对应边不一定成比例，故错误；

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⑤不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，

正确的有1个，

故选：A．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解圆的有关的定义及性质，难度不大．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三个小朋友．根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球？

（1）小春说：“我分到的不是蓝气球．”

（2）小宇说：“我分到的不是白气球．”

（3）小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了．”

则小春、小宇、小华分别分到红、蓝、白颜色的气球．

【分析】首先根据小春和小华说的判断出分给小宇蓝色气球，分给小春红色气球，即可得出结论．

【解答】解：∵小春说：“我分到的不是蓝气球．”小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了．”

∴小宇分到达是蓝色气球，小春分到的是红色气球，

∴剩下的白色气球分给了小华，

即：小春分到红色气球，小宇分到蓝色气球，小华分到白色气球，

故答案为：红、蓝、白．

【点评】此题是推理与论证题目，审清题意，根据小春和小华的说法判断出小宇分到蓝色气球是解本题的关键．

7．（5分）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c：这是一个真命题．（填“真或假”）

【分析】根据平行线的性质定理判断即可．

【解答】解：∵a∥b，a⊥c，

∴b⊥c，

∴三条不同的直线a、b、c在同一平面内，如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c：这是一个真命题；

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故答案为：真．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断该命题的真假关键是要熟悉课本中与平行线有关的性质定理．8．（5分）下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的是①③（填序号）

【分析】分别根据平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论对各小题进行逐一分析即可．

【解答】解：①对顶角相等是真命题；

②两直线平行，内错角相等；故是假命题；

③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；

④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，

是假命题；

故答案为：①③

【点评】本题考查的是平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论，熟知以上各知识点是解答此题的关键．

9．（5分）命题“若a2＞b2，则a＞b”的逆命题是如a＞b，则a2＞b2，，该逆命题是（填“真”或“假”）假命题．

【分析】先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假．

【解答】解：如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如a＞b，则a2＞b2，

假设a＝1，b＝﹣2，此时a＞b，但a2＜b2，即此命题为假命题．

故答案为：如a＞b，则a2＞b2，假．

【点评】此题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．

10．（5分）把命题“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么……”

的形式为：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．

【分析】先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写

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在如果的后面，结论部分写在那么的后面．

【解答】解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．故答案为：两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等；这两条直线平行．【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设和结论两部分组成．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）

如图，已知AB∥CD，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE∥CF．

证明：∵AB∥CD（已知）

∴∠ABC＝∠DCB

．（两直线平行，内错角相等）

∵BE平分∠ABC．（已知）

∴∠EBC＝∠ABC，（角平分线的定义）

同理，∠FCB＝∠DCB

∴∠EBC＝∠FCB．（等量代换）

∴BE∥CF．（内错角相等，两直线平行）

【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠DCB，求出∠EBC＝∠FCB，根据平行线的判定得出即可．

【解答】证明：∵AB∥CD（已知）

∴∠ABC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABC（角平分线的定义），

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同理：∠FCB ＝∠DCB，

∴∠FBC＝∠FCB（等量代换），

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），

故答案为：ABC，DCB，两直线平行，内错角相等，BE平分∠ABC ，∠DCB，等量代换，内错角相等，两直线平行．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．

12．（10分）阅读理解

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作ED∥BC

∴∠B ＝∠BAE，∠C

＝∠CAD．

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°（平角定义）

∴∠B+∠BAC+∠C＝180°

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．

小明受到启发，过点C作CF∥AB如图所示，请你帮助小明完成解答：

（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．BE平分∠ABC，DE 平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．

①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为65°．

②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC＝n°，则∠

BED的度数为（215﹣n）°（用含n的代数式表示）

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【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；

（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；

②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE

＝∠ABC ＝n°，∠CDE ＝∠ADC＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE ＝∠DEF＝35°，进而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+35°＝215°﹣n°．

【解答】解：（1）∵ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，

故答案为：∠EAB，∠DAC；

（2）如图2，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D＝∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，

∴∠B+∠BCD+∠D＝360°；

（3）①如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

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∴∠ABE ＝∠ABC＝30°，∠CDE ＝∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°；

故答案为：65；

②如图4，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°

∴∠ABE ＝∠ABC ＝n°，∠CDE ＝∠ADC＝35°

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣n°+35°＝215°﹣n°．

故答案为：215°﹣n．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．

13．（10分）综合与探究

如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

【发现】

（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN；

（2）求∠ABN、∠CBD的度数；

解：∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠ABN＝120°，

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∴∠ABP+∠PBN＝120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2

∠PBD，（角平分线的定义）

∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．

【操作】

（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．【探究】

（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是30°．

【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN＝120°，再根据角平分线的定义知∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP＝120°，即∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；

（3）由AM∥BN得∠APB＝∠PBN、∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN＝2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB＝2：1；

（4）由AM∥BN得∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时有∠CBN＝∠ABD，得∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，即∠ABC＝∠DBN，根据∠ABN＝120°，∠CBD＝60°可得答案．

【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN；

故答案为：CBN；

（2）：∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠ABN＝120°，

∴∠ABP+∠PBN＝120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

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∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义）

∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，

∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°，

故答案为：120°；2∠PBD；角平分线的定义；60°；

（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB＝2：1；

（4）∵AM∥BN，

∴∠ACB＝∠CBN，

当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC＝∠DBN，

由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，

∴∠ABC+∠DBN＝60°，

∴∠ABC＝30°，

故答案为：30°．

【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

14．（10分）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．

（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．

（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．

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人教版七年级数学下册

【分析】（1）过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠3+∠4＝∠1+∠2，进而得出∠BED＝∠1+∠2；

（2）分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，进而得到∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；

（3）分别过平行线间的折点作AB的平行线，依据平行线的性质，即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系．

【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，

∴∠3+∠4＝∠1+∠2，

即∠BED＝∠1+∠2；

（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，

理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥GH∥CD，

∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，

∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，

即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；

（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，

∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：

∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．

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【点评】此题考查了平行线的性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

15．（10分）已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．

（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；

（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；

（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．

【分析】（1）结论：∠ECD＝90°+∠ABE．如图1中，从BE交DC的延长线于H．利用三角形的外角的性质即可证明；

（2）只要证明∠CEF与∠CEM互余，∠BEM与∠CEM互余，可得∠CEF＝∠BEM即可解决问题；

（3）如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．想办法构建方程求出α即可解决问题；

【解答】解：（1）结论：∠ECD＝90°+∠ABE．

理由：如图1中，从BE交DC的延长线于H．

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∵AB∥CH，

∴∠ABE＝∠H，

∵BE⊥CE，

∴∠CEH＝90°，

∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，

∴∠ECD＝90°+∠ABE．

（2）如图2中，作EM∥CD，

∵EM∥CD，CD∥AB，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，

∵EF⊥CD，

∴∠F＝90°，

∴∠FEM＝90°，

∴∠CEF与∠CEM互余，

∵BE⊥CE，

∴∠BEC＝90°，

∴∠BEM与∠CEM互余，

∴∠CEF＝∠BEM，

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∴∠CEF＝∠ABE．

（3）如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．

∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，

∵EG平分∠CEF，

∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，

∴∠ABE＝∠CEF＝2α，

∵AB∥CD∥EM，

∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，

∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED＝∠FED＝2α+β，

∴∠DEC＝β，

∵∠BEC＝90°，

∴2α+2β＝90°，

∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，

∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，

∵∠ABK＝180°，

∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，

即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，

∴6α+（2α+2β）＝180°，

∴α＝15°，

∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．

【点评】本题考查平行线的性质、垂线的性质、三角形的内角和定理等知识，解

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