2017-2018学年北师大必修5数学《第一章数列》章末测试卷含试卷分析详解

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, [学生用书单独成册])

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )

A ．1，12，13，14

，… B ．－1，2，－3，4，…

C ．－1，－12，－14，－18

，… D ．1，2，3，…，n

解析：选C.A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．

2．有穷数列1，23，26，29，…，23n ＋6的项数是( )

A ．3n ＋7

B ．3n ＋6

C ．n ＋3

D ．n ＋2

解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.

3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…， 按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是

( )

A ．33个

B ．65个

C ．66个

D ．129个

解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．

则?

????a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. 所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.

4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )

A ．90

B ．100

C ．145

D ．190

解析：选B.设公差为d ，

所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，

因为d ≠0，

所以d ＝2，从而S 10＝100.

5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3

C. 3

D.32

解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1

(n ∈N ＋)， 得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，

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所以a 20＝a 2＝－ 3.

6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )

A ．n (2n ＋3)

B ．n (n ＋4)

C ．2n (2n ＋3)

D ．2n (n ＋4)

解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.

又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x ＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.

7．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的

数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )

A ．第5项

B ．第12项

C ．第13项

D ．第6项

解析：选C.162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．

8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ等于( )

A ．2

B ．5

C ．－12 D.12

解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ， 则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27

， 因为b 1＋b 3＝2b 2，

所以λ＝－12

. 9．近年来，我国最大的淡水湖鄱阳湖湖区面积逐年减少，江西省政府决定将原3万亩围垦区退垦还湖，计划2013年退垦还湖面积为3 000亩，以后每年退垦还湖面积比上一年增加20%，那么从2013年起到哪一年可以基本完成退垦还湖工作(参考数据：lg 3≈0.477 1，lg 1.2≈0.079 2)( )

A ．2015年

B ．2016年

C ．2017年

D ．2018年

解析：选D.由题意可知每年退垦还湖面积依次构成一个等比数列，记为{a n }，则首项a 1＝

3 000，公比q ＝1＋20%＝1.2，前n 项和S n ＝30 000，由3 000（1－1.2n ）1－1.2

＝30 000，得1.2n ＝3，所以n ＝log 1.23＝lg 3lg 1.2

≈6，即到2018年可以基本完成退垦还湖工作，故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )

A ．1 033

B ．1 034

C ．2 057

D ．2 058

解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，

于是ab n ＝b n ＋1，

因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21

＋…＋29＋10＝1－210

1－2

＋10＝1 033.

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二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．

解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项

公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2

＝255. 答案：16 255

12．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________． 解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，

所以a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，

a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.

将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n （n ＋1）2

＋1. 答案：n （n ＋1）2

＋1 13．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8

＝2，则a 1＝________． 解析：因为a n ＋1＝11－a n

， 所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1

＝1－a n －11－a n －1－1 ＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1

＝1－11

1－a n －2

＝1－(1－a n －2)＝a n －2， 所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.

所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.

而a 2＝11－a 1

，所以a 1＝12. 答案：12

14．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn

的数列{a n }的前n 项和为________．

解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，

所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a .

因为a ，b ，ab 成等比数列，

所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，

所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，

所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）

＝2(1n －1n ＋1)， 所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1

.

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答案：2n n ＋1

15．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d <0；

②S 9一定小于S 6；

③a 7是各项中最大的一项；

④S 7一定是S n 中的最大项．

其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)

解析：因为S 7>S 6，即S 6

所以a 7>0.同理可知a 8<0.

所以d ＝a 8－a 7<0.

又因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，

所以S 9

因为数列{a n }为递减数列，且a 7>0，a 8<0，

所以可知S 7为S n 中的最大项．

答案：①②④

三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分10分)一个等比数列的前三项依次是a ，2a ＋2，3a ＋3，则－1312

是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

解：因为a ，2a ＋2，3a ＋3是等比数列的前三项，所以a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2， 解得a ＝－1或a ＝－4.

当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1，0，0，与等比数列定义矛盾，故a ＝－1舍去．

当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q ＝32，所以a n ＝－4(32

)n －1，令－4(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32

)3. 所以n －1＝3，即n ＝4，

所以－1312

是这个数列中的第4项． 17．(本小题满分10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，{b n }是各项都是正数的等比数列，

(1)若a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式；

(2)若b 1＝1，且b 2，12

b 3，2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)由题意可设{a n }公差为d ，则d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d

， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，

故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×1＝n .

(2)由题意可设{b n }公比为q ，则q >0，

由b 1＝1，且b 2，12

b 3，2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1， 所以q 2＝2＋q ，

解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，

故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.

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18．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N ＋)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.

(1)令c n ＝a n b n

，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .

解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N ＋)，

所以a n ＋1b n ＋1－a n b n

＝2，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.

(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，

于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，

3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，

相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，

所以S n ＝(n －1)3n ＋1.

19．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．

(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?

(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?

解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；

2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；

3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；

…

10年后住房总面积为

1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x

＝1.110a －1.110－11.1－1

x ≈2.6a －16x . 由题意，得2.6a －16x ＝2a .

解得x ＝380

a (m 2)． (2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116

≈6.3%. 即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.

20．(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112

上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)，b 3＝11，且其前9项和为153.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝3（2a n －11）（2b n －1）

，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立的最大正整数k 的值．

解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112

， 所以S n ＝12n 2＋112

n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

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＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112

(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式． 所以a n ＝n ＋5.

由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N ＋)知{b n }是等差数列， 由{b n }的前9项和为153，

可得9（b 1＋b 9）2

＝9b 5＝153， 得b 5＝17，又b 3＝11，

所以{b n }的公差d ＝b 5－b 32

＝3，b 3＝b 1＋2d ， 所以b 1＝5，所以b n ＝3n ＋2.

(2)c n ＝3（2n －1）（6n ＋3）

＝12(12n －1－12n ＋1

)， 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)． 因为n 增大，T n 增大，

所以{T n }是递增数列．

所以T n ≥T 1＝13

. T n >k 57对一切n ∈N ＋都成立，只要T 1＝13>k 57，所以k <19，则k max ＝18.

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我的写字心得体会

从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

以前练习写字，大多是在印有田字格或米字格的练习本上进行。教材中田字格或米字格里的范字我都认真仿写，其难度较大。我写起来标准难以掌握，不是靠上了，就是靠下了；不是偏左，就是偏右。后来在老师的指导下，我练习写字时，一开始观察字的笔画偏旁在格子中的位置，做到心中有数，然后才进行仿写，并要求把字尽量写大，要写满格子。这样写的好处有两个：一是培养我读帖习惯，可以从整体布局上纠正我不能把字写在格子正确位置上的毛病；二是促使我习惯写大字，这样指关节、腕关节运动幅度大，能增强手指、手腕的灵活性，有利于他们写字水平的持续提高。这使我意识到，写字必须做到以下几点：

一、提高对练字重要性的认识。

写字不仅能培养我们认真、细心的良好习惯，勤奋、刻苦的精神，健康、高雅的情趣，还能促进自己的注意力、观察力、意志力、审美力的发展。

二、能使我的写字姿势得到训练。

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握笔姿势和坐姿是否正确，不但会影响字的美观和书写的速度，而且会影响自己的视力和身体的正常发育。写字时随时提醒自己写字时要做到“三个一”（眼离书本一尺远，胸离书桌一拳远，手离笔尖一寸远）。有意识地注意纠正自己的姿势，并持之以恒。逐渐地，这样就能保持正确、良好的写字姿势。

三、做好进行自我评价。

及时进行自评可以增强自己的兴趣和积极性，找出自己的缺点。在自我评价后，要找爸爸妈妈进行检查和督导，让大人谈谈哪些字写得好，好在哪里；哪些字写得不好，为什么没有写好。和家长共同评价、交流写字积极性会更高。

四、在家长的鼓励和表扬下认真练习。

练字是需要长时间坚持的，有时会觉得进步很慢，因而想弃练字。这时，我们要知道自己的练习是有成绩的，字是有明显进步的。这样，就会体会到成就感，也就会坚持练下去。

在老师的帮助下，自己的努力下我的写字水平也提高了许多。

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