直线与圆方程知识总结

直线与圆方程知识总结

一、坐标法 1．点和坐标

建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系． 2．两点间的距离公式

设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离

|P1P2|=(x2?x1)2?(y2?y1)2

特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则 |P1P2|=|y2－y1|

(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则 |P1P2|=|x2－x1|

3．线段的定比分点

(1)定义：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是P点分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1P，点P叫做分线段P1P2为定比λ的定比分点．PP2

当P点内分P1P2时，λ＞0；当P点外分P1P2时，λ＜0．

(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是

?x1?λx2x??1?λ?(λ≠?1)?y?λy2?y?1?1?λ?

特殊情况，当P是P1P2的中点时，λ=1，得线段P1P2的中点坐标

公式

x1?x2?x???2??y?y1?y2?2?

二、直线

1．直线的倾斜角和斜率

(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．

当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0． 所以直线的倾斜角α∈[0，π)．

(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜

率，直线的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠∴当k≥0时，α=arctank．(锐角) 当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)

π)．2

(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为

k=y2?y1(x≠x2)x2?x11

2．直线的方程

(1)点斜式 已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则其方程为：y－y0=k(x－x0) (2)斜截式 已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b (3)两点式 已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为：

y?y1x?x1=(x≠x2)y2?y1x2?x11

(4)截距式 已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：

xy??1ab

(5)参数式 已知直线过点P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，

?x?x0?at则其参数式方程为?(t为参数)，特别地，当方向向量为y?y?bt0?

v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为

?x?x0?tcosα(t为参数)?y?y?tsinα0?

这时，t的几何意义是tv=p0p，|t|=|p0p|=|p0p|

(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)． (7)特殊的直线方程

①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0． ②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．

3．两条直线的位置关系

(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1≠b2．

→→当l1和l2是一般式方程时，A1B1C1?≠A2B2C2

(2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l1和l2是

A1B1C1一般方程时，??A2B2C2

(3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k2

当l1，l2是一般式方程时，A2B1≠A2B2

??A1x?B1y?C1?0的解?交点：?Ax?By?C?022?2①??k2?k1?斜?到角：l1到l2的角tanθ?(1?k1k2≠0)1?kk12交??k2?k1|(1?k1k2≠0)?夹角公式：l1和l2夹角tanθ?|1?kk?12??当l1和l2有叙截式方程时，k1k2=－1②垂直??当l1和l2是一般式方程时，A1A2＋B1B2=0

4．点P(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C=0的位置关系：

Ax0＋By0＋C=0?P在直线l上(点的坐标满足直线方程)Ax0＋By0＋C≠0?P在直线l外．点P(x0，y0)到直线l的距离为：d=|Ax0+By0+C|A2?B2

5．两条平行直线l1∶Ax＋By＋C1=0，l2∶Ax＋By＋C2=0间

的距离为：d=6．直线系方程

|C1?C2|A?B22．

具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)．

确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．

(1)共点直线系方程：

经过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系数．

在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．当λ=0时，即得A1x＋B1y＋C1=0，此时表示l1．

(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．

(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是：Bx－Ay＋λ=0．

如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解． 7．简单的线性规划

(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．

二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，

例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：

?A1x＋B1y＋C1≥0(或≤0)??A2x＋B2y＋C2≥0(或≤0)?????Ax＋Bx＋C≥0(或≤0)nn?n(*)

求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 三、曲线和方程 1．定义

在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)； (2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)． 这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：

(1)M∈P?(x0，y0)∈Q，即P?Q；(2)(x0，y0)∈Q?M∈P，即Q?P．

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：

(1)(x0，y0)?Q?M?P；(2)M?P?(x0，y0)?Q．

显然，当且仅当P?Q且Q?P，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0

为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)． 2．曲线方程的两个基本问题

(1)由曲线(图形)求方程的步骤：

①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；

③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0； ④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；

⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．

(2)由方程画曲线(图形)的步骤：

①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)； ②求截距：

?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与x轴交点的坐标；y?0? ?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与y轴交点的坐标；?x?0

③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线．

3．交点

求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．

4．曲线系方程

过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)． 四、圆 1．圆的定义

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．

2．圆的方程

(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)为圆心，r为半径． 特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x2＋y2=r2 (2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0

D2E2D2?E2?4F配方(x?)?(y?)?224

当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－1D2?E2?4F为半径的圆；2当D2＋E2－4F=0时，方程表示点(－DE，－)为圆心，以22

DE，－)22

当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．

(3)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

?x?a?rcosθ(θ为参数)??y?b?rsinθ

特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

?x?rcosθ(θ为参数)?y?rsinθ?

3．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．

(1)点在圆外?d＞r；(2)点在圆上?d=r；(3)点在圆内?d＜r．

4．直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C=0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，则

d?|Aa?Bb?C|A?B22．

(1)相交?直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；(2)相切?直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；(3)相离?直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0或d＞r．5．求圆的切线方法

(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．

①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x?x0)E(y?y0)??F?0．22

x0?xy0?y当(x0，y0)在圆外时，x0x＋y0y＋D()＋E()＋F=0表示22 x0x?y0y?过两个切点的切点弦方程．

②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．

(2)已知圆x2＋y2=r2．

①若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为x0x＋y0y=r2．

②已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为y=kx±rk2?1．

6．圆与圆的位置关系

已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则

(1)两圆外切?|O1O2|=r1＋r2；(2)两圆内切?|O1O2|=|r1－r2|；(3)两圆相交?|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．

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