高三数学高考一轮复习资料： 两角和与差的正弦、余弦和正切

两角和与差的正弦、余弦和正切

[最新考纲]

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角

的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

知 识 梳 理

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝

tan α±tan β

. 1?tan αtan β

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α

tan 2α＝. 1－tan2α

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)． (2)cos2α＝

1＋cos 2α1－cos 2α2

，sinα＝. 22

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2?π??. sin?α±?4?

4．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)，b

其中tan φ＝a.

辨 析 感 悟

1．对两角和与差的三角函数公式的理解

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)

1

(√)

(2)存在实数α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β.

1

(3)(教材练习改编)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝2.

(×)

1－tan θ?π?(4)(教材习题改编)＝tan?4＋θ?.

??1＋tan θ

(×)

(5)(·湘潭月考改编)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)＝－3.

2．对二倍角公式的理解 (6)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.

α31

(7)若sin 2＝3，则cos α＝－3.

(8)y＝sin 2xcos 2x的最大值为1.

2θ

2θ

(√)

(√) (×) (×) (√)

?π?

(9)(·四川卷改编)设sin 2α＝－sin α，α∈?2，π?，则tan 2α＝3.

??

[感悟·提升]

一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.

2

考点一 三角函数式的化简、求值问题

【例1】 (1)(·重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝( )． A.2 C.3 －1

cos2α－sin2α(2)＝________.

?π?2?π?2tan?4－α?cos?4－α?

????

sin 40°解析 (1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－cos 40° 4sin 40°·cos 40°－sin 40°2sin 80°－sin 40°＝＝ cos 40°cos 40°2sin ?120°－40°?－sin 40°

＝ cos 40°＝

3cos 40°＋sin 40°－sin 40°

cos 40°

2＋3B.2

D．22

＝3.

cos2α－sin2α

(2)原式＝ ?π?2sin?4－α?

???2?π?4－α?·cos

???π?

cos?4－α???cos2α－sin2α

＝ ?π??π?2sin?4－α?cos?4－α?

????cos 2αcos 2α＝＝＝1.

?π?cos 2αsin?2－2α???答案 (1)C (2)1

规律方法 (1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；

②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； ③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．

3

(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

【训练1】 (1)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝________. θθ??

?1＋sin θ＋cos θ??sin 2－cos 2???

(2)化简：(0<θ<π)＝____；

2＋2cos θ??cos 10°＋3sin 10°

?·解析 (1)原式＝?2sin 50° ＋sin 10°·cos 10°???13?

cos 10°＋sin 10°?·222sin 80°＝??2sin 50°? ＋2sin 10°·cos 10°??2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] 3

＝22sin(50°＋10°)＝22×2＝6.

θθθ??θθ??

?2sin 2cos 2＋2cos22??sin 2－cos 2?????

(2)原式＝ θ4cos22θθ?θ?θ

cos ?sin22－cos22?cos ·cos θ

2?2?＝＝－θ?θ?. ???cos 2??cos 2?????θπθ

因为0<θ<π，所以0<2<2，所以cos 2>0， 所以原式＝－cos θ. 答案 (1)6 (2)－cos θ

考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题

β?π1??α?2

【例2】 (1)已知0<β<2<α<π，且cos?α－2?＝－9，sin?2－β?＝3，求cos(α＋β)

????的值；

11

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，求2α－β的值． π

解 (1)∵0<β<2<α<π，

4

παππβ

∴－4<2－β<2，4<α－2<π，

5?α??α?

∴cos?2－β?＝ 1－sin2?2－β?＝3，

????β?β?45??

sin?α－2?＝ 1－cos2?α－2?＝9， ????

α＋ββ??α????

∴cos 2＝cos??α－2?－?2－β??

??????β??α?β??α???

＝cos?α－2?cos?2－β?＋sin?α－2?sin?2－β?

????????

545275?1?＝?－9?×3＋9×3＝27， ??

α＋β49×5239

∴cos(α＋β)＝2cos22－1＝2×729－1＝－729. tan?α－β?＋tan β

(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

1－tan?α－β?tan β112－71

＝11＝3>0， 1＋2×7

π2tan α

∴0<α<2，又∵tan 2α＝＝

1－tan2απ

∴0<2α<2，

314＋7tan 2α－tan β

∴tan(2α－β)＝＝31＝1. 1＋tan 2αtan β

1－4×71π

∵tan β＝－7<0，∴2<β<π，－π<2α－β<0， 3π

∴2α－β＝－4.

规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．

(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函

3

＝>0， ?1?241－?3???12×3

5

π??

数；若角的范围是?0，2?，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；

???ππ?

若角的范围为?－2，2?，选正弦较好．

??

113π

【训练2】 已知cos α＝7，cos(α－β)＝14，且0<β<α<2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.

1π43

解 (1)∵cos α＝7，0<α<2，∴sin α＝7， ∴tan α＝43， ∴tan 2α＝

2×432tan α83

＝－47. 2＝1－tanα1－48

ππ

(2)∵0<β<α<2，∴0<α－β<2， 33

∴sin(α－β)＝14， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331＝7×14＋7×14＝2. π∴β＝3.

考点三 三角变换的简单应用

1???π??π?

【例3】 已知f(x)＝?1＋tan x?sin2x－2sin?x＋4?·sin?x－4?.

??????(1)若tan α＝2，求f(α)的值；

?ππ?(2)若x∈?12，2?，求f(x)的取值范围．

???π?解 (1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin?x＋4?·

??

?π?cos?x＋4? ??

1－cos 2x1π??

?2x＋2? ＝＋sin 2x＋sin

22??11

＝2＋2(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x

6

11＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2. 2sin αcos α2tan α4

＝＝.

sin2α＋cos2αtan2α＋15

cos2α－sin2α1－tan2α3

cos 2α＝2＝＝－

5. sinα＋cos2α1＋tan2α

113

所以f(α)＝2(sin 2α＋cos 2α)＋2＝5. 11

(2)由(1)得f(x)＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2 由tan α＝2，得sin 2α＝π?12?

＝2sin?2x＋4?＋2.

??

π?5π5π??ππ?

由x∈?12，2?，得2x＋4∈?12，4?.

????

2＋1π?2?

2x＋??∴－2≤sin4?≤1，∴0≤f(x)≤2， ??2＋1?

?. 所以f(x)的取值范围是?0，

2??

规律方法 (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为关于正切tan α的关系式，为第(1)问铺平道路．

(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

?π?【训练3】 已知函数f(x)＝4cos x·sin?x＋6?－1.

??(1)求f(x)的最小正周期；

?ππ?(2)求f(x)在区间?－6，4?上的最大值和最小值．

???π?

解 (1)因为f(x)＝4cos xsin?x＋6?－1

???3?1

＝4cos x?sin x＋cos x?－1

2?2?

＝3sin 2x＋2cos2x－1＝3sin 2x＋cos 2x π??

＝2sin?2x＋6?，

??

所以f(x)的最小正周期为π.

ππππ2π(2)因为－6≤x≤4，所以－6≤2x＋6≤3. 7

ππ

于是，当2x＋6＝2，

π

即x＝6时，f(x)取得最大值2；

πππ

当2x＋6＝－6，即x＝－6时，f(x)取得最小值－1.

1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．

3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．

教你审题3——三角函数求值中的变角问题

π?4π???【典例】 (·江苏卷)设α为锐角，若cos?α＋6?＝5，则sin?2α＋12?的值为________．

????π?4?

审题 一审条件：cos?α＋6?＝5，α为锐角，

??π??

二审问题：sin?2α＋12?＝？

??

π?ππππ?

三找关系：2α＋12＝2α＋3－4＝2?α＋6?－4，解题变得明朗化！

??π?4?

解析 ∵α为锐角且cos?α＋6?＝5，

??π?π2π?∴α＋6∈?6，3?，

??

8

π?3?

∴sin?α＋6?＝5.

??

π?π?π????

α＋2α＋?－?∴sin?＝sin?2?6?12??4? ???π?π?ππ??

＝sin 2?α＋6?cos 4－cos 2?α＋6?sin 4 ????π??π?π??2???

＝2sin?α＋6?cos?α＋6?－2?2cos2?α＋6?－1?

????????342??4??

＝2×5×5－2?2×?5?2－1?

????12272172

＝25－50＝50. 答案

17250 [反思感悟] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆α＋β?β??α?

角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：2＝?α－2?－?2－β?；α＝(α

????ππ?π?

－β)＋β等；4＋α＝2－?4－α?；15°＝45°－30°等．

??【自主体验】

π?11?

已知cos α＝3，cos(α＋β)＝－3，且α，β∈?0，2?，则cos(α－β)的值为________．

??π?1?

0，解析 ∵cos α＝3，α∈?2?， ??

22427

∴sin α＝3，∴sin 2α＝9，cos 2α＝－9. 122

又cos(α＋β)＝－3，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝3. ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ?7??1?422223＝?－9?×?－3?＋9×3＝27. ????23答案 27

基础巩固题组

9

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(·郑州模拟)计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． 1323A.2 B.3 C.2 D.2 解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° 1＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝.

2答案 A

?π?1

2．(·湖州模拟)已知sin?2＋α?＝3，则cos(π＋2α)的值为( )．

??7722

A．－9 B.9 C.9 D．－3 1?π?

解析 由题意，得sin?2＋α?＝cos α＝3.

??

7

所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝9. 答案 B

?π?3

3．(·山东省实验中学诊断)已知cos?4－x?＝5，则sin 2x＝( )．

??187716

A.25 B.25 C．－25 D．－25

?π??π??π?

解析 因为sin 2x＝cos?2－2x?＝cos 2?4－x?＝2cos2?4－x?－1，所以sin 2x＝

??????187?3?2

2×?5?－1＝25－1＝－25. ??答案 C

3?4??π?

4．(·成都模拟)已知α∈?π，2π?，且cos α＝－5，则tan?4－α?等于( )．

????11

A．7 B.7 C．－7 D．－7

3?43?

解析 因α∈?π，2π?，且cos α＝－5，所以sin α＜0，即sin α＝－5，所以tan α

??

10

3?π?1－tan α＝4.所以tan?4－α?＝＝

??1＋tan α答案 B

3

1－41＋4

1＝37.

sin 2α－2cos2απ?1π?

5．(·金华十校模拟)已知tan?α＋4?＝－2，且2＜α＜π，则

π?等于( )．???

sin?α－4???253525310

A.5 B．－10 C．－5 D．－10

sin 2α－2cos2α2sin αcos α－2cos2απ?1?

?α＋4?＝－，得解析 ＝＝22cos α，由tan

π?2???2

sin?α－4???2?sin α－cos α?tan α＋11π

＝－2，解得tan α＝－3，因为2＜α＜π，所以解得cos α＝－

1－tan α

1025?10?

?＝－＝－10，所以原式＝22cos α＝22×?－

5. ?10?答案 C 二、填空题

tan 12°－3

6．(·湖南师大附中模拟)计算：＝________.

?4cos212°－2?sin 12°sin 12°－3cos 12°

解析 原式＝ 2?2cos212°－1?sin 12°

?1?3

?2?sin 12°－cos 12°2sin 12°－3cos 12°?2?

＝2sin 12°＝

cos 12°cos 24°sin 24°cos 24°2sin?12°－60°?

＝1＝－4.

2sin 48°答案 －4

7．(·南京模拟)设f(x)＝

1＋cos 2x?π?2

?x＋4?的最大值为2＋3，则常数＋sin x＋asin???π?

－x??2sin2??

1

tanα＋1

2a＝________.

1＋2cos2x－1?π?2

解析 f(x)＝＋sin x＋asin?x＋4?

2cos x??

11

?π?

＝cos x＋sin x＋asin?x＋4?

??

2

?π??π?＝2sin?x＋4?＋a2sin?x＋4?

?????π?＝(2＋a2)sin?x＋4?.

??

依题意有2＋a2＝2＋3，∴a＝±3. 答案 ±3

π?π?2??

8．(·广州模拟)已知cos4 α－sin4 α＝3，且α∈?0，2?，则cos?2α＋3?＝________.

????22

解析 ∵cos4 α－sin4 α＝(sin2 α＋cos2α)(cos2α－sin2 α)＝3，∴cos 2α＝3，又α∈π??0，?，∴2α∈(0，π)， 2???5∴sin 2α＝1－cos22α＝3， π?13?

∴cos?2α＋3?＝2cos 2α－2sin 2α

??12352－15＝2×3－2×3＝6. 答案

2－156 三、解答题

?π??π?x－??9．(·浙江大学附属中学一模)已知函数f(x)＝cos－sin?2－x?. ?3???(1)求函数f(x)的最小正周期；

π?π?3??

(2)若α∈?0，2?，且f?α＋6?＝5，求f(2α)的值．

????13

解 (1)f(x)＝2cos x＋2sin x－cos x 31?π?＝2sin x－2cos x＝sin?x－6?.

??∴f(x)的最小正周期为2π. ?π?(2)由(1)知f(x)＝sin?x－6?.

??

12

π?ππ?3??

所以f?α＋6?＝sin?α＋6－6?＝sin α＝5，

????π??

∵α∈?0，2?，∴cos α＝1－sin2 α＝

??3424∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×5×5＝25， 7?4?2

cos 2α＝2cosα－1＝2×?5?－1＝25，

??

2

?3?41－?5?2＝5.

??

π?31?

∴f(2α)＝sin?2α－6?＝2sin 2α－2cos 2α

??32417243－7

＝2×25－2×25＝50. 10．(·东莞模拟)已知函数f(x)＝－3sin2 x＋sin xcos x. ?25π?

(1)求f?6?的值．

??

3?α?1

(2)设α∈(0，π)，f?2?＝4－2，求sin α的值．

??解 f(x)＝－3sin2 x＋sin xcos x＝－3×π??

sin?2x＋3?， ??

3?25π??25ππ?(1)f?6?＝－2＋sin?3＋3?＝0. ????π?133?α??

(2)f?2?＝－2＋sin?α＋3?＝4－2， ????π?11?

∴0＜sin?α＋3?＝4＜2，

??

π?π4π?π?5π?

又∵α∈(0，π)，∴α＋3∈?3，3?.∴α＋3∈?6，π?，

????π?ππ?15??

α＋α＋∴cos?＝－4，∴sin α＝sin? 3?3－3?????111531＋35＝4×2＋4×2＝8. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)

13

1－cos 2x13

＋sin 2x＝－222＋

一、选择题

π?1π?2??β－α＋???1．已知tan(α＋β)＝5，tan＝，那么tan等于( )． 4??4?4??131331

A.18 B.22 C.22 D.6

ππ

解析 因为α＋4＋β－4＝α＋β， π?π?

所以α＋4＝(α＋β)－?β－4?，

??π????π??

所以tan?α＋4?＝tan??α＋β?－?β－4??

??????π?21?

tan?α＋β?－tan?β－4?5－4??3＝＝＝

2122. ?π?1＋tan?α＋β?tan?β－4?1＋5×4

??答案 C

π??

2．(·潍坊模拟)已知α，β∈?0，2?，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是

??( )．

1333

A. B. C.2 D. 4442

tan α＋tan β3tan β解析 由tan(α＋β)＝4tan β，得＝4tan β，解得tan α＝，因1－tan αtan β1＋4tan2βπ?3?

为β∈?0，2?，所以tan β＞0.所以tan α＝1≤

??

tan β＋4tan β233

＝4，当14tan βtan β·1113

且仅当tan β＝4tan β，即tan2 β＝4，tan β＝2时取等号， 所以tan α的最大值是4. 答案 B 二、填空题

π???π?

3．(·永康模拟)若sin?α＋6?＝3sin?2－α?，则tan 2α＝________.

????

π?3135?

解析 由已知，得sin?α＋6?＝2sin α＋2cos α＝3cos α，即2sin α＝2cos α，所

??53

以tan α＝3，

14

532×3

2tan α53

所以tan 2α＝＝－11. 2＝1－tan α?53?2

?1－?

?3?53

答案 －11 三、解答题

π??

4．(·广东卷)已知函数f(x)＝2cos?ωx＋6?(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.

??(1)求ω的值；

π??5?5?166??

(2)设α，β∈?0，2?，f?5α＋3π?＝－5，f?5β－6π?＝17，求cos(α＋β)的值．

??????π?2π1?

ωx＋?解 (1)由题意知f(x)＝2cos?的最小正周期T＝10π＝，则ω＝6?ω5. ??1π?(2)由(1)知f(x)＝2cos?5x＋6?，

??

π??5π?5π?166??

又α，β∈?0，2?，f?5α＋3?＝－5，f?5β－6?＝17，

??????π?38?

即cos?α＋2?＝－5，cos β＝17，

??34∴sin α＝5，cos α＝1－sin2α＝5， 15

sin β＝1－cos2β＝17，

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 4831513＝5×17－5×17＝－85.

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e1g.html