2008年高考试题 - 数学理(全国卷1)（有答案解析）

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅰ）

第Ⅰ卷

参考公式： 如果事件A，B互斥，那么

球的表面积公式 ；号考 ；场考 ：名姓 ：别班 ：级年

P(A?B)?P(A)?P(B)

S?4πR2

如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A?B)?P(A)?P(B)

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V?43πR3

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

其中R表示球的半径

Pn(k)?CknPk(1?P)n?k(k?01，,2，?，n) 一、选择题 1．函数y?x(x?1)?x的定义域为（ ）

A．?x|x≥0?

B．?x|x≥1? C．?x|x≥1???0?

D．?x|0≤x≤1?

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶

路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ） s s s s O t O t O t O t A．

B．

C．

D．

3．在△ABC中，???AB??c，???AC??b．若点D满足???BD??2???DC?，则???AD??（ ）

A．

2b?1c 5233

B．3c?3b C．

213b?13c

D．b?233c 4．设a?R，且(a?i)2i为正实数，则a?（ ） A．2

B．1

C．0

D．?1

5．已知等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?（ ） A．138

B．135

C．95

D．23

6．若函数y?f(x?1)的图像与函数y?lnx?1的图像关于直线y?x对称，则f(x)?（ ） A．e2x?1

B．e

2xC．e2x?1

D．e2x?2

7．设曲线y?A．2

x?12)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ ） 在点(3，x?111B． C．? D．?2

228．为得到函数y?cos?2x???π??的图像，只需将函数y?sin2x的图像（ ） 3?

B．向右平移

5π个长度单位 125πC．向左平移个长度单位

6A．向左平移

5π个长度单位 12D．向右平移

5π个长度单位 6f(x)?f(?x)?0的解

x??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式9．设奇函数f(x)在(0，集为（ ）

，0)?(1，??) A．(?1?1)?(1，??) C．(??，10．若直线

?1)?(0，1) B．(??，，0)?(01)， D．(?1xy??1通过点M(cos?，sin?)，则（ ） ab112222A．a?b≤1 B．a?b≥1 C．2?2≤1

abD．

11?≥1 22abABC内的射影为11．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

1 3 B．2 3 C．3 3D．

2 312．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48

A D

C B 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

?x?y≥0，?13．13．若x，y满足约束条件?x?y?3≥0，则z?2x?y的最大值为 ．

?0≤x≤3，?14．已知抛物线y?ax2?1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15．在△ABC中，AB?BC，cosB??7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该18椭圆的离心率e? ．

16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为

3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ． 3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?bcosA?（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(A?B)的最大值． 18．（本小题满分12分）

3c． 5BC?2，四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC?底面BCDE，CD?2，AB?AC．

（Ⅰ）证明：AD?CE；

A B ?（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C?AD?E的大小．C E D

19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

32（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3

?2?31?3?只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，求?的期望． 21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1????????????????????AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)．

1)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，（Ⅱ）证明：an?an?1?1； （Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）

答案与解析：

1.C. 由x(x?1)≥0,x≥0得x≥1,或x?0；

121at，匀速行驶s?vt，减速行驶s??at2结合函数图象可知. 22????1????????????????????????????23. A.AD?AB?2(AC?AD),3AD?AB?2AC?c+2b,AD?c+b

332.A.根据汽车加速行驶s?4. D(a?i)i?(a?2ai?1)i??2a?(a?1)i?0,a??1

5.C．由a2?a4?4,a3?a5?10得a1??4,d?3,S10?10a1?45d??40?135?95 6. B.y?lnx?1?x?e2(y?1),f(x?1)?e2(x?1),f(x)?e2x 7. D.y?222x?122?1?,y???,y?2x?1x?1(x?1)??1,?a?2,a??2 ??x?328.A． y?cos?2x?π?5?5??sin(2x?)?sin2(x?)，只需将函数y?sin2x的图像向?3?612左平移

5ππ??个单位得到函数y?cos?2x??的图像. 123??f(x)?f(?x)2f(x)??0，1)?0，1)??(1)f0?，而f(则f(?xx9.D．由奇函数f(x)可知

??)上为当x?0时，f(x)?0?f(1)；当x?0时，f(x)?0?f(?1)，又f(x)在(0，增函数，则奇函数f(x)在(??,0)上为增函数，0?x?1,或?1?x?0.

10.D．由题意知直线

xy??1与圆x2?y2?1有交点，则ab11ab111?22ab≤1,11?≥1. a2b2另解：设向量m=(cos?,sin?),n=(,)，由题意知

cos?sin???1 ab由m?n≤mn可得1?cos?sin?11?≤? aba2b211.C．由题意知三棱锥A1?ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1?3a，棱柱的高

2326222，故AB1与AO?a?AO?a?(?a)?a（即点B1到底面ABC的距离）1323底面ABC所成角的正弦值为

AO21. ?AB13????????????????????????0另解：设AB,AC,AA1为空间向量的一组基底，AB,AC,AA1的两两间的夹角为60

????????1????1????????????????长度均为a，平面ABC的法向量为OA1?AA1?AB?AC,AB1?AB?AA1

33????????22????6????OA1?AB1?a,OA1?,AB1?3 33?????????OA1?AB12则AB1与底面ABC所成角的正弦值为?????????.

3AOAB1123412.B.分三类：种两种花有A4种种法；种三种花有2A4种种法；种四种花有A4种种法.共有234A4?2A4?A4?84.

另解：按A?B?C?D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4?3?(1?3?2?2)?84 13.答案：9．如图，作出可行域，

作出直线l0:x?2y?0，将l0平移至过点A处

x?y?0 x?y?3?0 y x?3 O x A(3,?3) x?2y?0

时，函数z?2x?y有最大值9.

14. 答案：2.由抛物线y?ax2?1的焦点坐标为

(0,111?1)为坐标原点得，a?，则y?x2?1 4a441?4?1?2 2372522215.答案：.设AB?BC?1，cosB??则AC?AB?BC?2AB?BC?cosB?

81895582c3AC?，2a?1??,2c?1,e??. C 3332a81M 16.答案：.设AB?2，作CO?面ABDE， 6N E OH?AB，则CH?AB，?CHO为二面角C?AB?D的平面角 A o H CH?3,OH?CH?cos?CHO?1，结合等边三角形ABC

与坐标轴的交点为(0,?1),(?2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为

B D 与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN?EM?CH?3 16题图（1） ????1?????????????1?????????????????1?????1???????1AN?(AC?AB),EM?AC?AE,AN?EM?(AB?AC)?(AC?AE)?

22222?????????AN?EM1故EM，AN所成角的余弦值??????????

z ANEM6

另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点A(?1,?1,0),B(1,?1,0),E(?1,1,0),C(0,0,2),

C M N H A E o y 112112M(?,?,),N(,?,),

222222B D 16题图（2） x ????312?????132?????????1?????????),EM?(,?,),AN?EM?,AN?EM?3, 则AN?(,,2222222?????????AN?EM1故EM，AN所成角的余弦值??????????.

ANEM617.解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB?bcosA?可得sinAcosB?sinBcosA?3c 53333sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB 5555即sinAcosB?4cosAsinB，则tanAcotB?4； （Ⅱ）由tanAcotB?4得tanA?4tanB?0

tanA?tanB3tanB33??≤

1?tanAtanB1?4tan2BcotB?4tanB41当且仅当4tanB?cotB,tanB?,tanA?2时，等号成立，

213故当tanA?2,tanB?时，tan(A?B)的最大值为.

24A 18．解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

?AB?AC，?AF?BC，

又面ABC?面BCDE，?AF?面BCDE，

G ?AF?CE． B F 2， tan?CED?tan?FDC?O 2C D tan(A?B)?E ??OED??ODE?90?，??DOE?90?，即CE?DF，

?CE?面ADF，?CE?AD．

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．

?CG?AD，CE?AD，?AD?面CEG，?EG?AD， 则?CGE即为所求二面角的平面角．

18题图 CG?630AC?CD2322，DG?，EG?DE?DG?， ?33AD3CG2?GE2?CE210， ??CE?6，则cos?CGE?2CG?GE10?10??10???CGE?π?arccos??10??，即二面角C?AD?E的大小π?arccos??10??．

????32219. 解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导：f?(x)?3x?2ax?1

2当a≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增

?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?

32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，即f(x)在???，?递增，??递减，

????333??????a?a2?3?，???递增 ???3????a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?33次数 概率 ，且a2?3解得：a≥7 4 20．解：（Ⅰ）对于甲： 1 0.2 2 0.4 2 0.2 3 0.2 3 0.4 4 0.2 4 0.2 5 0.2 对于乙：

次数 概率 0.2?0.4?0.2?0.8?0.2?1?0.2?1?0.64．

（Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，?的期望为E??2?0.4?3?0.4?4?0.2?2.8． 21. 解：（Ⅰ）设OA?m?d，AB?m，OB?m?d 由勾股定理可得：(m?d)2?m2?(m?d)2 得：d?1bAB4m，tan?AOF?，tan?AOB?tan2?AOF?? 4aOA3b

a?4，解得b?1,则离心率e?5． 由倍角公式?2

a232?b?

1????a?

2

ax2y2（Ⅱ）过F直线方程为y??(x?c),与双曲线方程2?2?1联立

bab将a?2b，c?5b代入，化简有

15285x?x?21?0 24bb2??a?2??a?4?1???x1?x2??1?????(x1?x2)2?4x1x2??? bb??????????325b?228b2??,解得b?3 ?4将数值代入，有4?5?????5???15???x2y2??1． 故所求得双曲线方程为：

36922. 设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)．

1)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，（Ⅱ）证明：an?an?1?1； （Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb1)时，f?(x)??lnx?0 22.解析：（Ⅰ）证明：f(x)?x?xlnx,f?(x)??lnx,当x?(0，故函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当n?1时，0?a1?1，a1lna1?0

a2?f(a1)?a1?a1lna1?a1

1)是增函数，且函数f(x)在x?1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增由函数f(x)在区间(0，函数，a2?f(a1)?a1?a1lna1?1，即a1?a2?1成立；

（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1 那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得

f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，

ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an)可得

a?b?a?b?alna?a1?b??ailnai k?1kkki?1k1， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak?1?b?ai?b≥0

?b?a?b?alna2， 若对任意i≤k都有ai?b，则a k?1kkka?b?kalnb ?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11i?1i?1i?1kkk?a?b?kalnb?a?b?(a?b)?0，即ak?1?b成立. 1111

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