2007-2014年全国新课标卷《坐标系与参数方程》高考题汇编

2007-2014年全国新课标卷《坐标系与参数方程》高考题汇编

1.【2007年海南宁夏理23文23】 O1和 O2的极坐标方程分别为

4cos ， 4sin ．

（Ⅰ）把 O1和 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过 O1， O2交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，

两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）x cos ，y sin ，由 4cos 得 2 4 cos ．

所以x y 4x．

即x y 4x 0为 O1的直角坐标方程． 同理x y 4y 0为 O2的直角坐标方程．

22 x2 2 x y 4x 0， x1 0，

（Ⅱ）由 2解得． 2

y1 0， y2 2 x y 4y 0

22

22

22

即 O1， O2交于点(0，0)和(2， 2)．过交点的直线的直角坐标方程为y x． 2.【2008年海南宁夏理23文23】已知曲线C1：

x cos ，

（ 为参数），曲线C2

：

y sin

x y

2（t为参数）． 2

（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1 ，C2 ．写出

C1 ，C2 的参数方程．C1 与C2 公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你

的理由．

解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线．

C1的普通方程为x2 y2 1，圆心C1(0，0)，半径r 1． C

2的普通方程为x y 0．

因为圆心C

1到直线x y 0的距离为1， 所以C2与C1只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

x cos ， x C1 ： （ 为参数）； C2

： 1

y sin y 2

（t为参数）． 1，

x

22

化为普通方程为：C1 ：x2 4y2 1，C2

：y 联立消元得2x 1 0，

其判别式 2 4 2 1 0，

2

所以压缩后的直线C2 与椭圆C1 仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．

x 4 cost,

3.【2009年海南宁夏理23文23】已知曲线C1： （t为参数）， C2：

y 3 sint, x 8cos ,

（ 为参数）。

y 3sin ,

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t

2

，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

x 3 2t,

（t为参数）距离的最小值。C3:

y 2 t

2

2

x2y2

1. 解：（Ⅰ）C1:(x 4) (y 3) 1,C2:

649

C1为圆心是（ 4,3)，半径是1的圆.

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当t

2

时，P( 4,4).Q(8cos ,3sin ),故M( 2 4cos ,2

3

sin ). 2

C

3为直线x 2y 7 0,M到C3的距离d

4cos 3sin 13|.

从而当cos

43,sin

时，d取得最小值 555

4.【2010年新课标卷理23文23】已知直线C1 为参数）， （Ⅰ）当 =

x 1 tcos x cos

（t为参数），C2 （

y tsin y sin

时，求C1与C2的交点坐标； 3

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当 变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

解： （Ⅰ）当

联立方程组

3时，C

的普通方程为y x 1)，C的普通方程为x2 y2 1。

12

y x 1)

22

x y 1

，解得C1与C2的交点为（1,0

） ，

1

2 。

2

（Ⅱ）C1的普通方程为xsin ycos sin 0。A点坐标为sin cos sin ，

故当 变化时，P点轨迹的参数方程为：

12 x sin 2

为参数

y 1sin cos 2

1 1 2

x y 416。 P点轨迹的普通方程为

故P点轨迹是圆心为 ，0 ，半径为

2

1 4

1

的圆。 4

5.【2011年新课标卷理23文23】在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

uuuvuuuv x 2cos

（ 为参数）M是C1上的动点，P点满足OP 2OM,P点的轨迹为曲线C2

y 2 2sin

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

与C1的异于极3

解析; （I）设P(x,y),则由条件知M(

xy

,).由于M点在C1上，所以 22

x 2cos , x 4cos 2

即

y 4 4sin y 2 2sin

2

x 4cos

从而C2的参数方程为 （ 为参数）

y 4 4sin

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为 4sin ，曲线C2的极坐标方程为 8sin 。

射线

与C1的交点A的极径为 1 4sin，

33

与C2的交点B的极径为 2 8sin。

33

射线

所以|AB| | 2 1| x 2cos

6.【2012年新课标卷理23文23】已知曲线C1的参数方程是 ( 为参数)，以坐

y 3sin

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是 2，正方形

ABCD的顶点都在C2上，

且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求PA PB PC PD的取值范围。 【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,

2

2

2

2

3

)

3

),(2,

5 4 11

),(2,),(2,) 636

点A,B,C,D

的直角坐标为(1 1, 1) （2）设P(x0,y0)；则

2

2

x0 2cos

( 为参数)

y0 3sin

2

2

22

t PA PB PC PD 4x 4y 40

56 20sin

2

[56,76]

x 4 5cost

(t为参数），

y 5 5sint

7.【2013年新课标卷1理23文23】已知曲线C1的参数方程为

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

2sin 。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

x 4 5cost【解析】将 消去参数t，化为普通方程(x 4)2 (y 5)2 25，

y 5 5sint

即C1：x2 y2 8x 10y 16 0，将

x cos

代入x2 y2 8x 10y 16 0得，

y sin

2 8 cos 10 sin 16 0，

∴C1的极坐标方程为 8 cos 10 sin 16 0； （Ⅱ）C2的普通方程为x y 2y 0，

22 x 1 x 0 x y 8x 10y 16 0由 2解得 或 ，∴C1与C2的交点的极坐标分别为

2

y 1y 2 x y 2y 0

2

22

4

,()），2

2

.

8.【2013年新课标卷2理23文23】已知动点P、Q都在曲线C:

x 2cost,

（t为参数）

y 2sint

上，对应参数分别为t= 与t=2 （0 2 ），M为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

x 2 t,x2y2

1，直线l： 9.【2014高考全国1第23题】已知曲线C1:（t为参数）.49 y 2 2t,

（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30 的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值．

当sin( ) 1时，PA

取到最小值，最小值为

． 5

10. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 2cos ，

. 0,

2

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D

处的切线与直线l:y 2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e19m.html