第16讲 抽样分布 太原理工大学工程硕士概率论与数理统计

太原理工大学工程硕士概率论与数理统计

第十六讲

数理统计基本概念 总体、样本、统计量

抽样分布

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三 正态总体的抽样分布1. χ 2 分布 它是由正态分布派生出来的一种分布。 定义1: 设 X1, X2, …, Xn 相互独立，且均 服从标准正态分布 N(0, 1), 则称随机变量

X1 X 2 X n2 2 2

2

服从自由度为 n 的卡方分布，记成

~χ2

2 n

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分布的密度函数为2 n

1 n2 x f ( x; n) 2 (n 2) 0,

n x 1 2 2

e , x 0, x 0.

其中 Γ ( ) 为伽玛(Gamma)函数， 通过积分 ( ) 0 x e dx, 0 1 x

来定义。

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2 n 分布密度函数图形

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由 分布的定义，得到如下性质：2

①设X 1 , , X n 独立同分布， 且共同分布为N ( , 2 ), 则 1

② 设 Y1 ~ , Y2 ~ , 且二者相互独立， 则2 n 2 m

2

2 2 ( X ) ~ i n ; i 1

n

Y1 Y2 ~ 2 2 n 2

2 n n

. (称为 2 分布的可加性)2

③ ~ , 则 E ( ) n, Var ( ) 2n .由中心极限定理可以推出, n 充分大时,有

n2 n

2n

近似于标准正态分布 N(0,1)。

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2 n 分布分位点

对于给定的 (0,1), 称满足条件

P ( ) 2 n 2 n

2 n

( )

f ( x)dx

的点 χn ( )为 χn 分布的上(右) 分位点。 χn 分布上 分位点有表 可查，见附表。2

2

2

1 n 充分大时，近似有 ( ) ( z 2n 1) 2 22 n

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2. t 分布(学生氏分布)定义2: 设 X ~N(0, 1) , Y ~χn2 , 且 X与Y 相互独立，则称随机变量 X T Y n 为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T ~ tn。 t 分布的概率密度为2 (n 1) 2 x 1 f ( x; n) n 1 2

(n 2) n

n

, x .

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t 分布的概率密度图形

图形关于 x 0 对称， 且 lim f ( x; n) 0 ,x

当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。

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数学期望与方差

不存在， n 1, E (tn ) 0 , n 2, 3, ; 不存在， n 1, 2, Var(tn ) n/( n 2) , n 3, 4, .

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t 分布的分位点若 T ~tn , 对给定的 (0,1),称满足条件

P T tn ( )

t n ( )

f ( x) dx

的点 tn( )为 tn 分布上 分位点。 t 分布的上 分位点有表 可查，见附表。

t n (1 - ) tn ( )n 充分大时，近似有 t n ( ) z

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3. F 分布 2 2 定义3 : 设 X ~ m ,Y ~ n , 且 X 与Y

相互独立，则称F =(X/m)/(Y/n) 服从第一自由度为m,第二自由度为n 的 F 分布。记成 F ~ Fm ,n 。

1 Y n 由定义, 若 F~ Fm,n , 则 ~ Fn,m F X m

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F 分布的概率密度为 m n m m n m 2 m 2 2 1 m 2 x 1 x , x 0,

f m ,n ( x ) m n n n 2 2 0, x 0.

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F 分布的分位点若 F~Fm, n,对给定的 (0,1), 称满足条件

P F Fm,n(α) F

m,n

f ( x ) d x α (α )F 分布上 分位点有 表可查，见附表。

的点 Fm,n( )为F分布的上 分位点。.

特别，F 分布上 分位点有重要性质：

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★ 重要性质: F (1 ) m,n

1 Fn,m (α)

(1)

证明：若 X ~ Fm,n,则 Y = X -1 ~ Fn,m。依分位点定 义， 1 P{ X F (1 )}

1 1 P Y 1 P Y F (1 α) m,n Fm,n (1 ) 1 上式等价于 P Y , Fm ,n(1 α ) 再根据 Y (~ Fn,m ) 的上 分位点定义，有

m,n

1 Fn,m (α ) , Fm ,n(1 α )

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在通常 F 分布表中，只对 比较小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位点。但有时我 们也需要知道 比较大的分位点，它们在 F 分布 表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式 (1) 把它们计算出来。 例如：对m=12, n=9, α=0.95, 我们在 F 分布表 中查不到 F12,9(0.95),但由(1)式，知

1 1 F12,9 (0.95) 0.375 . F9 ,12 (0.05) 2.80可从F 分布 表中查到

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练习：证明重要结论

若X ~ tn , 则X2 ~ F1,n。

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四 基本定理(关于正态总体样本均值与样本方差的分布)

基本定理 : 设X 1, X 2, , X n是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，X 与 S 2分别为样本均值与样 本方差，则

X (1) X ~ N ( , / n), 或 ~ N (0, 1) . / n 2 (2) (n 1) S 2 / 2 ~ n 1.2

(3) X 与 S 2 相互独立. X (4) ~ t n 1 S/ n

希望大家牢记

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例：设某物体的实际重量为 ( 未知), 现在用一台天 平称量 n 次,得到 X1,X2,…,Xn。假设每次称量过程 彼此独立,且无系统误差, 则可认为这些测量值独立 同分布 , 均服从正态分布 N( , 2), 方差 2反映了天 平及测量过程的总精度。我们通常

用样本均值 X 去估计 根据基本定理,有 X ~ N ( , 2 / n) . 再根据正态分布的性质，知

P X 3 0.9974 . n

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也就是说：我们的估计值 X与真值 的偏差 不超过 3 / n 的概率约为 99.74%, 并且随 称量次数 n 的增加，偏差界限 3 / n 将越来 越小。 例如：当 = 0.1 时， 若取 n=10,则 3 / n 0.095;

若取 n=100,则 3 / n 0.03 .

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练习：在设计导弹发射装置时，重要内容之 一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。 对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中 心的距离服从 N( , 2),这里 2 = 100米2。 现在进行了25次发射试验，用 S2 记这25次试 验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。 求: S 2

超过50米2的概率。

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解: 根据基本定理，知 (n 1) S / ~ 2 2

2 n 1

.

所以，

2 (n 1) S (n 1) 50 2 P{S 50} P 2 2

24 50 2 P 25 1 100 2 P 24 12 2 24

查表,得到:2

P{S 50} P 12 0.975 .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e0we.html