人教版九年级上册数学 24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形

24．4 弧长和扇形面积

角所对的弧长为l＝

nπR180

，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．

第1课时 弧长和扇形面积

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．

︵2．会利用弧长和扇形面积的计算公式

＝30°，则劣弧BC的长为________cm.

进行计算．

解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，

∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥

一、情境导入

如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A

AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，

∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60×π×6︵

60°.∴BC的长为＝2π.

180

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？

二、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长 在半径为1cm的圆中，圆心角为

120°的扇形的弧长是________cm.

解析：根据弧长公式l＝

方法总结：根据弧长公式l＝

nπR180

，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．

【类型二】利用弧长求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧π

长等于，则该扇形的半径是________；

2

(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π

，那么此扇形的圆心角的大小为3

________．

nπr180

，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公式求120·π·12

解．即l＝＝π.

1803

方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心

解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据45×π×Rπ

题意，得＝，解得R＝2.

1802

(2)根据弧长公式得

n×π×1π

180

＝，解得3

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公

n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．

【类型三】求动点运行的弧形轨迹 如图，Rt△ABC的边BC位于直线

式S＝

nπr2120×32π

360

＝360

＝3π.

方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面1

积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧

2长，r是半径．

【类型二】求运动形成的扇形面积 l上，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所

经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

如图，把一个斜边长为2且含有

30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )

A．π B.3 3π311π3C.＋ D.＋ 42124

解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC1

＝AB＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇290·π·1

形BCB1和扇形ACA1，∴S扇形BCB1＝＝

360π90·π·（3）3π，S扇形ACA1＝＝，∴S43604π3π

＝＋＝π.故选A. 44

【类型三】求阴影部分的面积 如图，半径为1cm、圆心角为90°

的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )

2

2

解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即120π×290π×3l＝3×＋2×＝4π＋3π.

180180故填(4＋3)π.

方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．

探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积 一个扇形的圆心角为120°，半径

为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)

总

222

A．πcm B.πcm

31222C.cm D.cm 23

解析：设两个半圆的交点为C，连接OC，

AB，根据题意可知点C是半圆OA，OB的中点，

︵︵︵所以BC＝OC＝AC，所以BC＝OC＝AC，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt△AOB的面积，又OA＝OB＝1cm，12

即图中阴影部分的面积为cm，故选C.

2

方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．

三、板书设计

︵︵

教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.

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