自动控制理论（答案）（夏德铃）

《自动控制理论 第2版》习题参考答案

第二章

2-1 (a)

U2?s?U1?s??R1R2CS?R2R1R2CS?R1?R2?R2R1?R2?R1CS?1R1R2R1?R2CS?1

(b)

U1?s?U2?s??1R1R2C1C2s?(R1C1?R1C2?R2C2)s?1U2?s?U1?s?R1R1R4Cs?12

2-2 (a)

U2?s?U1?s??RCs?1RCs (b) ??? (c)

U2?s?U1?s???R1?R1?Cs?1? ?R?4?2-3 设激磁磁通??Kfif恒定

??s?Ua?s?Cm?60??2s?LaJs??Laf?RaJ?s?Raf?Ce?Cm??2???KACm?60??32iLaJs?i?Laf?RaJ?s?i?Raf?Ce?Cm??s?KACm?2????

2-4

C?s?R?s??

?32-5 id?2.19?10?0.084?ud?0.2?

2-8 (a)

C?s?R?s???G1?G2?G31??G1?H1?G3R(s) (b)

C?s?R?s??G1?G2G3?G4?1?G1G2H1??G2G3?G4??H2?G1H3?

2-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。

+ 0.7_ + + 1s2?0.3s?10.161.2?2sC(s) Ks

图A-2-1 题2-9框图化简中间结果

C?s?R?s??0.7s?0.42s??0.9?0.7k?s??1.18?0.42k?s?0.5232

2-10

C?s?R?s??G1G2G31?G2H1?G1G2H1?G2G3H2?G4

2-11 系统信号流程图如图A-2-2所示。

图A-2-2 题2-11系统信号流程图

C1?s?R?s??G1G2G31?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H2C

2?s?G1G2G4G5G6H2R?s??1?G1G2?G4?G1G2G4G5H1H22-12 (a)

C?s?R?s??11?cdh?abcdef?agdef?abcdi?adgi?C?s?R2R?s??R1C1R22C2s??R1C1?R2C1?R2C2?s?1

2-13 由选加原理,可得

C?s??11??HG2D1?s??G2D2?s??G1G2H1D3?s??

1G1?H1G2R?s??2?G?G2

第三章

3-1 分三种情况讨论 (a) 当??1时 s1??????2?1??n,s2??????2?1??n?????????2?1??????2?1????nt?c?t??t?2?1??e??nt???e??2n2?1?n???????2?1?? 2????22?1??(b) 当0???1时

s?2??21????j1??n,s2?????j1????nc?t??t?2?cos1??2?1?2?2???nt???nt??2?nt?2esin1??2?nt n?en1???n2?2??t??1????ntsin?2?1??2??1??nt?arctg??2en1????1?2?2?n?(c) 当??1时

(b)

s1,2???nc?t??t?2

?2e??nt?n?n?n??t??1?2??

设系统为单位反馈系统,有

Er?s??R?s??c?s??R?s?s?s?2??s?2??2nn?2??n

s?s?2??2系统对单位斜坡输入的稳态误差为 esr??ims?s?01s2?n?2s?2??ns??n?2??n

3-2 (1) Kp?50,Kv?0,Ka?0 (2) Kp??,Kv?K,Ka?0

(3) Kp??,Kv??,Ka?K10 (4) Kp??,Kv?K200,Ka?0

3-3 首先求系统的给定误差传递函数

?e?s??E(s)R(s)?11?G(s)?s(0.1s?1)0.1s?s?102

误差系数可求得如下

C0?lim?e?s??lims?0s(0.1s?1)0.1s?s?10s?022s?0?0?0.12C1?limddsddss?0?e?s??lim2210(0.2s?1)(0.1s?s?10)222 ?0C2?lims?0?e?s??lim2(0.1s?s?10)?20(0.2s?1)(0.1s?s?10)3s?0(1) r(t)?R0，此时有rs(t)?R0,?s(t)??rr?s(t)?0，于是稳态误差级数为

esr?t??C0rs(t)?0，t?0

(2) r(t)?R0?R1t，此时有rs(t)?R0?R1t,?s(t)?R1,r?r?s(t)?0，于是稳态误差级数为

?s(t)?0.1R1，t?0 esr?t??C0rs(t)?C1r(3) r(t)?R0?R1t?为

122R2t，此时有rs(t)?R0?R1t?12R2t,2?s(t)?R1?R2t，?r?s(t)?R2，于是稳态误差级数resr?t??C?s(t)?r(t)?C1r0sC22!?r?s(t)?0.1(R1?R2t)，t?0

3-4 首先求系统的给定误差传递函数

?e?s??E(s)R(s)?11?G(s)?s(0.1s?1)0.1s?s?5002

误差系数可求得如下

C0?lim?e?s??lims?0s(0.1s?1)0.1s?s?500s?022s?0?0?150023C1?limddsddss?0?e?s??lim22500(0.2s?1)(0.1s?s?500)22

?985002C2?lim??s?0?e?s??lim100(0.1s?s?500)?1000(0.2s?1)(0.1s?s?500)2s?0rs(t)?sin5t?s(t)?5cos5tr?r?s(t)??25sin5t

稳态误差级数为

C??esr?t???C0?2?25???sin5t??C1?5???cos5t 2????4.9?10?4???sin5t??1?10???cos5t23-6 系统在单位斜坡输入下的稳态误差为 esr?加入比例—微分环节后

2??n

C?s???R?s??1?as??C?s??G?s?C?s???1?as?G?s?R?s??1?G?s?22?1?as??22n2s?2??ns??n2R?s?E?s??R?s??C?s??R?s??1s2s??2??a?n??nss?2??ns??nR?s?

esr??imsE?s??s?02??a?n?n可见取a?2??n，可使esr?0

3-7 ??0.598,?n?19.588 3-8 G?s??4ss?4s?6?2?

3-9 按照条件（2）可写出系统的特征方程

(s?1?j)(s?1?j)(s?a)?(s?2s?2)(s?a)?s?(2?a)s?(2?2a)s?2a?0322

将上式与1?G(s)?0比较，可得系统的开环传递函数

2as?s?(2?a)s?(2?2a)?2G(s)?

根据条件（1），可得

Kv?1esr?0.5?2a2?2a

解得a?1，于是由系统的开环传递函数为

G(s)?2s?s?3s?4?2

3-10

?1?M?2?M?3?tsp?46.6%,ts?7.99s?2%?,?16.3%,ts?8s?2%?,(?n?2.12rad/s,??0.24)p(?n?1rad/s,??0.5)

?15s,(?n?0.4rad/s,??1.25)，过阻尼系统，无超调。

3-11 （1）当a = 0时，??0.354,?n?22。

（2）?n不变，要求??0.7，求得a = 0.25

3-12 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 c?t???n1??2e???ntsin1???nt,?t?0?

2（b）有零点z??1时 c?t??1?2??n??n??n22e???nt1???2sin?1???nt?arctg??21???n??,?t?0?

1???n??比较上述两种情况，可见有z??1零点时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为arctg1???n1???n2。

2．单位阶跃响应 (a) 无零点时

c?t??1?11??2e???nt?2sin?1???nt?arctg??1??2???,?t?0? ??（b）有零点z??1时 c?t??1?1?2??n??n22e???nt1??2?1??2sin?1???nt?arctg??n?????,?t?0? ??加了z??1的零点之后，超调量Mp和超调时间tp都小于没有零点的情况。

，当误差信号e?t??0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系

3-13 系统中存在比例-积分环节

K1??1s?1?s统输出继续增长，知道出现e?t??0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。

3-14 在r?t?为常量的情况下，考虑扰动n?t?对系统的影响，可将框图重画如下

N(s) + _ KK22s??s?1?s??22s?1?C(s) ????KK??111?1?1s1sss图A-3-2 题3-14系统框图等效变换

C?s??K2ss??2s?1??K1K2??1s?1?2

N?s?

根据终值定理，可求得n?t?为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，系统的稳态误差为n?t?为单位斜坡函数时，

1K1 。

从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15 （1）系统稳定。

（2）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

（3）劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统不稳定。

（4）系统处于稳定的临界状态，由辅助方程A?s??2s4?6s2?4可求得系统的两对共轭虚数极点s1,2??j;s3,4??j2。须指出，临界稳定的系统在实际中是无法使用的。

3-16 （1）K>0时,系统稳定。 （2）K>0时，系统不稳定。 （3）0

0???K

32(??2)(K?1)?2?K??22(K?1)K?1,K?1,?0

??2

2 6

3 4

4 3.3

5 3

9 2.5

15 2.28

30 2.13

100 2.04

?

根据列表数据可绘制K为横坐标、?为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。

图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域

3-18 根据单位反馈系统的开环传递函数

G?s??K(s?3)s(s?2s?2)2

得到特征方程s?2s?(K?2)s?3K?0，列写劳斯表

32ssss3124?KK2?K3K21

0根据劳斯判据可得系统稳定的K值范围 0?K?4

当K?4时系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc?4。

根据劳斯表列写Kc?4时的辅助方程 2s2?12?0

解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2??j6，系统的无阻尼振荡频率即为6rad/s。

第四章

4-2（1）G?s??K1s?s?1??s?3?

分离点(?0.45,j0)，与虚轴交点?j3?K1?12?。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹

（2）G?s??s?s?4?s?4s?202?K1?

分离点??2,j0?,??2?j2.5?，与虚轴交点?10?K1?260?。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3（1）G?s??K1s2?s?2?

分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当K1?0便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹

（2）G?s??K1?s?1?s2?s?2?

分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图A-4-4（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z??1后，无论K取何值，系统都是稳定的。

4-7 系统特征方程为

s??1???s?1?0

2 以?为可变参数，可将特征方程改写为

1??ss?s?12?0

从而得到等效开环传递函数

Geq(s)??ss?s?12

根据绘制常规根轨迹的方法，可求得分离点为??1,j0?，出射角为?P??150?。参数根轨迹如图A-4-8所示。

图A-4-8 题4-7系统参数根轨迹

（1） 无局部反馈时???0?，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr?1；阻尼比为??0.5；调节时间为

ts?6s?5%?

（2） ??0.2时，esr?1.2，??0.6，ts?5s(5%)

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

（3） 当??1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,2??1。 4-9 主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0?K?14.38。

图A-4-9 题4-9系统主根轨迹

4-10 G?s?H?s??Kes????s

主根轨迹分离点?????，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。 ,j0?；与虚轴交点?j?2?2??1

图A-4-10 题4-10系统主根轨迹

4-11（1）G?s?H?s??K?1??s?的根轨迹如图A-4-11所示。

s

图A-4-11 G?s?H?s??K?1??s?根轨迹

sK??1???（2）G?s?H?s???2s??s??1???

?2s?? 分离点???2??1?2?,j0???2?1?2??j2???；会合点?????,j0???；与虚轴交点???如图A-4-12所示。

图A-4-12 G?s?H?s??K?1?(?/2)s?s?1?(?/2)s?根轨迹

K值为

2?。根轨迹

；临

（3）G?s?H?s??Ks??s?1?1

分离点???????，根轨迹如图A-4-13所示。 ?2?,j0?

图A-4-13 G?s?H?s??Ks??s?1?根轨迹

讨论：当?较小时，且K在某一范围内时，可取近似式

Ks??s?1?。若?较大，取上述近似式误差就大，此时应取近似

式

???K?1?s?2?????s?1?s?2??。

4-12 系统的根轨迹如图A-4-14所示。

图A-4-14 题4-12系统的根轨迹

1114-13 当0?a?时，有两个分离点，当a?时，有一个分离点，当a?时，没有分离点。系统的根轨迹族如图

999A-4-15所示。

图A-4-15 题4-13系统的根轨迹族

第五章

5-1 (1)G?s??1s?s?1?

G?j???1?1??02

?G?j????90?arctg??

G?j?? ?G?j??

0.5 1.79 -116.6?

1.0 0.707 -135?

1.5 0.37 -146.3?

2.0 0.224 -153.4?

5.0 0.039 -168.7?

10.0 0.0095 -174.2?

系统的极坐标图如图A-5-1所示。

图A-5-1 题5-1系统（1）极坐标图

(2) G?s??1?1?s??1?2s?

G?j???11??21?4?2

?G?j????arctg??arctg2??

G?j?? ?G?j??

0 1 0?

0.2 0.91 -15.6?

0.5 0.63 -71.6?

0.8 0.414 -96.7?

1.0 0.317 -108.4?

2.0 0.172 -139.4?

5.0 0.0195 -162.96?

系统的极坐标图如图A-5-2所示。

图A-5-2 题5-1系统（2）极坐标图

(3) G?s??1s?s?1??2s?1?

G?j???1?1??021?4?2

?G?j????90?arctg??arctg2??

G?j?? ?G?j??

0.2 4.55 -105.6?

0.3 2.74 -137.6?

0.5 1.27 -161?

1 0.317 -198.4?

2 0.054 -229.4?

5 0.0039 -253?

系统的极坐标图如图A-5-3所示。

图A-5-3 题5-1系统（3）极坐标图

(4) G?s??1s?1?s??1?2s?2

G?j???1?21??021?4?2

?G?j????180?arctg??arctg2??

G?j?? ?G?j??

0.2 22.75

0.25 13.8

0.3 7.86 -227.6?

0.5 2.52 -251.6?

0.6 0.53 -261.6?

0.8 0.65 -276.7?

1 0.317 -288.4?

-195.6? -220.6?

系统的极坐标图如图A-5-4所示。

图A-5-4 题5-1系统（4）极坐标图

5-2 (1) G?s??1?j???1?j??

系统的伯德图如图A-5-5所示。

图A-5-5 题5-2系统（1）伯德图

(2) G?s??1?1?j???1?j2??

系统的伯德图如图A-5-6所示。

图A-5-6 题5-2系统（2）伯德图

(3) G?s??1j??1?j???1?j2??

系统的伯德图如图A-5-7所示。

图A-5-7 题5-2系统（3）伯德图

(4) G?s??1?j??2?1?j???1?j2??

系统的伯德图如图A-5-8所示。

图A-5-8 题5-2系统（4）伯德图

5-3 G?s??1s?0.1s?1??0.5s?1?

1G?j????1?(0.1?)021?(0.5?)2

?G?j????90?arctg0.1??arctg0.5??

G?j?? ?G?j??

0.5 17.3

1.0 8.9

1.5 5.3 -135.4?

2.0 3.5 -146.3?

3.0 1.77 -163?

5.0 0.67

10.0 0.24

-106.89? -122.3? -184.76? -213.7?

系统的极坐标图如图A-5-9所示。

图A-5-9 题5-3系统极坐标图

系统的伯德图如图A-5-10所示。

图A-5-10 题5-3系统伯德图

相角裕度??0.7?,增益裕量GM?3.55dB 5-4 （1）G?j???1j??1，此为非最小相位环节，其幅频、相频特性表达式为

G?j???11??20

?arctg??G?j????180该环节的伯德图如图A-5-11所示。

图A-5-11 题5-4伯德图

（2）惯性环节G?j???1j??1是最小相位的，其幅频、相频特性表达式为

G?j???11??2

?G?j????arctg?该环节的伯德图如图A-5-11点划线所示。由图可见，两个环节具有相同的幅频特性，相频特性有根本区别。 5-7 (a) G?s??100.5s?1，系统的相频特性曲线如图A-5-12所示。

图A-5-12 题5-7G?s??3.92s?0.5s?1?100.5s?1相频特性曲线

(b) G?s??，系统的相频特性曲线如图A-5-13所示。

图A-5-13 题5-7G?s??0.5?2s?1?s23.92s?0.5s?1?相频特性曲线

(c) G?s???0.5s?1?，系统的相频特性曲线如图A-5-14所示。

图A-5-14 题5-7G?s??0.5?2s?1?s2?0.5s?1?相频特性曲线

5-8 (a) 闭环系统不稳定。 (b) 闭环系统稳定。 (c) 闭环系统稳定。 (d) 闭环系统稳定。 5-9 G?s??2e??ss?1?s??1?0.5s?

??0时，经误差修正后的伯德图如图A-5-15所示。从伯德图可见系统的剪切频率?c?1.15rad/s，在剪切频

率处系统的相角为

?(?c)??90?arctg?c?arctg0.5?c??168.9

??由上式，滞后环节在剪切频处最大率可有11.1的相角滞后，即

180?????11.1

?解得??0.1686s。因此使系统稳定的最大?值范围为0???0.1686s。

图A-5-15 题5-9系统伯德图

5-10 由G?s?H?s??图A-5-16所示。

Ks?1?s??1?3s?知两个转折频率?1?13rad/s,?2?1rad/s。令K?1，可绘制系统伯德图如

图A-5-16 题5-10系统伯德图

确定?(?)??180所对应的角频率?g。由相频特性表达式

?(?g)??90?arctg0.33?g?arctg?g??180 1.33?g1?0.33?g2???可得 arctg?90

?解出 ?g?3?1.732rad/s

在图A-5-16中找到L(?g)??2.5dB，也即对数幅频特性提高2.5dB，系统将处于稳定的临界状态。因此

20lgK?2.5dB?K?43为闭环系统稳定的临界增益值。

5-11 由L(0.1)?0dB知K?1；

由L(1)??3dB知??1是惯性环节由

1s?1的转折频率；

? 从1增大到10，L(?)下降约23dB，可确定斜率为?20dB/dec，知系统无其他惯性环节、或微分环节和振

荡环节。

由?(0.1)?0和?(1)??83知系统有一串联纯滞后环节e????s。系统的开环传递函数为 G?s?H?s??e??s

?s由?(1)?arctg1?180??????83解得??0.66s。可确定系统的传递函数为 G?s?H?s??e?0.66?s?1?

5-12 系统的开环传递函数为 G?s?H?s??0.1Ks?0.1s2?s?0.001?

系统稳定的增益范围0?K?0.1。

第六章

6-1 (a) G?s??RCsRCs?1，超前网络的伯德图如图A-6-1所示。

图A-6-1 题6-1超前网络伯德图

(b) G?s??1RCs?1，滞后网络的伯德图如图A-6-2所示。

?s?1?

图A-6-2 题6-1滞后网络伯德图

6-2 (1) 无源校正装置的特点是简单，但要达到理想的校正效果，必须满足其输入阻抗为零，输出阻抗为无限大的条

件，否则很难实现预期效果。且无源校正装置都有衰减性。而有源装置多是由直流运算放大器和无源网络构成，能够达到较理想的校正效果。 （2）采用比例-积分校正可使系统由I型转变为II型。

(3) 利用串联超前校正装置在剪切频率附近提供的相位超前角，可增大系统的相角裕度，从而改善系统的暂态性能。 (b) 当?减小，相频特性?(?)朝0方向变化且斜率较大时，加串联滞后校正可以提高系统的稳定程度。 (c) 可根据扰动的性质，采用带有积分作用的串联校正，或采用复合校正。 6-3 G?s??6s?4s?6??2

（1）校正前??34(?c?0.9rad/s)； （2）串联超前校正Gc?s??（3）串联滞后校正Gc?s??系统的响应速度加快。

在本题中，串联滞后校正的作用是利用其低通滤波器特性，通过减小系统的剪切频率，提高系统的相角稳定裕度，以改善系统的稳定性和某些暂态性能。 6-4 G?s??10s?0.5s?1??0.1s?1??s?10.2s?110s?1，??66(?c?0.9rad/s)； ，??40(?c?0.084rad/s)。

??100s?1（4）串联超前校正装置使系统的相角裕度增大，从而降低了系统响应的超调量。与此同时，增加了系统的带宽，使

校正前??0(?c?4.47rad/s)加串联超前校正装置Gc(s)?,

0.33s?10.033s?1经超前校正，提高了系统的稳定裕度。系统校正前、后伯德图如图A-6-3所示。

后，??36.2(?c?6.66rad/s)?。

图A-6-3 题6-4系统校正前、后伯德图

6-5 G?s??4s?2s?1?

校正前系统伯德图如图A-6-4所示，??19.7? 。取新的剪切频率为?c2?0.4rad/s

图A-6-4 题6-5系统校正前伯德图

滞后校正装置传递函数为Gc?s??12.5s?1125s?1，校正后系统伯德图如图A-6-5所示。

图A-6-5 题6-5系统校正后伯德图

6-7 Go?s???Ks?s?1?，超前校正装置Gc?s??s?1s?5.7，校正后系统的开环增益为K?3.02?21，

s??62(?c?3.02rad/s),满足设计要求。

6-8 G?s??Ks?s?1??0.2s?1?

? 校正之前???9.6，取???128?处的??0.602rads为新的剪切频率，该处增益为21.1db，故取??11.3，

?2?0.15rad/s则?1?0.013rad/s，滞后校正装置传递函数为Gc?s??G?s??8?6.67s?1?s?s?1??0.2s?1??76.9s?1?6.67s?176.9s?1，校正后系统开环传递函数为

，

??40(?c?0.602rad/s)?,满足要求。系统校正前、后伯德图如图A-6-6所示。

图A-6-6 题6-8系统校正前、后伯德图

?6-9 未采用反馈校正时，带宽为4.826rad/s。采用反馈校正后，调整KA?2.5，使K?10，此时??27?。??17.9，

带宽为7.426rad/s。可见，采用反馈校正，可提高系统的稳定裕度，并可使带宽增大。系统反馈校正前、后伯德图如图A-6-7所示。

图A-6-7 题6-9系统反馈校正前、后伯德图

第七章

?y?t??K0Xsin?t,0??t???7-1 (a) ?y?t??K0Xsin?t?K1a?K0a,???t????

?y?t??KXsin?t,?????t??0?a 其中 ??arcsin

X2?K0?K1??aa?arcsinN?X??K1???XX??2??a?1????,X????X?a

?y?t??0,0??t??????t???? (b) ?y?t??K0Xsin?t,?y?t??0,?????t???a 其中 ??arcsin

X?a?2K0a?N?X??K0?1?arcsin??2X??X??a?1???,X?a

?X?27-3 K?0.1时绘制的系统线性部分的极坐标图和非线性环节的负倒幅特性如图A-7-1所示，G?j??与?点，故系统稳定。

1N?X?无交

图A-7-1 题7-3系统的稳定性分析

令?G?j??=-180?，可求得??8.7rad系统不会产生自持振荡。 7-4

NX??4?0.1?1????X?2s，将??8.7rads代入G?j??=1，可得K?11.53，当K?11.53时，

?X，系统线性部分的极坐标图和非线性环节的负倒幅特性如图A-7-2所示，其中?1N?X?是实轴上从?

?2到??的直线。

图A-7-2 题7-4系统的稳定性分析

G?j??与?1N?X?有交点，系统将出现自持振荡，振荡频率为1.4rads，振幅为1.7。

?得 7-6 令x1?e,x2?ex2??2??nx2??nx1

2??即有

x2?dx1dx2??0.3x2?x1x2?x10.3??

用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-3所示，奇点为稳定焦点。

图A-7-3 题7-6系统的相平面图

7-8 以下结果可和仿真结果比较。

22??0.2??1??N?X?????X??X??2?0.2?0.1??1???j,?2?X?X???X?0.2

M?1,a?0.2,m?0.5???c?,y?ce??c

??0,e?0.2或e??0,e?0.1?1,e???0,?0.1?e?0.2或e??0,?0.2?e?0.1 y??(e)??0,e??1,e??0,e?0.1或e??0,e??0.2?相平面分为三个区： ???e??0I区 e???e??1?0II区 e???e??1?0III区 e??????1

??e??e?1??11

??1用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-4所示。

图A-7-4 题7-8系统相平面图

根据图A-7-4，系统有一个稳定的极限环，且自持振荡的振幅为0.2。进一步可用谐波平衡法确定自持振荡的频率。由图A-7-5中G?j??与?1N?X?的交点可确定自持振荡的频率为1.7rads。

图A-7-5 题7-8系统极坐标图和负倒幅特性

???c?,7-9 y?0.5ce??c

??4,e??0.5?y??(e)??8e,?0.5?e?0.5

?4,e?0.5?相平面分为三个区：

???e??4?0I区 0.5e???e??8e?0II区 0.5e???e??4?0III区 0.5e?????e??e??e8??2?16e

??2?8??2用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-6所示。

图A-7-6 题7-9系统相平面图

根据系统的相轨迹，可知系统奇点的类型是稳定焦点，系统响应是衰减振荡的。

7-10 对题7-9系统加入微分负反馈后，令非线性环节的输入变量为E，输出变量为y。

??e?Kte? E?e?Ktce??0.5??4,??),?0.5?e?0.5 y??(E)??8E?8(e?Kte?4,e?0.5?相平面分为三个区：

???e??4?0I区 0.5e???e8??2??8

?16e???(1?8Kt)e??8e?0II区 0.5e??e??2?16Kt

???e??4?0III区 0.5e???e??2

取Kt?0.5，用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-7所示。

图A-7-7 题7-10系统相平面图

与未加速度反馈的情形比较，系统将在较短的时间内到达平衡点（调整时间短），奇点为稳定节点，其响应具有单调衰减的性质。

7-13 系统的各变量名如图A-7-8所示。

图A-7-8 题7-13系统框图及变量名

(1) G?s??2s??0??0 ,e?0??3.5,e

e??c,e1?K1e?y??0e??0e?1,??y???c????e?????1,????e??2e1?c???2?e?y??0e????e?2e?2?0,??e???2e?2?0,?

??0?e???e??0?e???e2?2e?2e?2?用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-9所示。

图A-7-9 题7-13系统（1）的相平面图

(2) G?s??2s?1??0??0。 (K2?2,T?1),e?0??3.5,ee??c,e1?e?y???c???e???e?2e1?c???e??2e?2y?0e?????e?e?2e?2?0,??e???e??2e?2?0,???0?e??e??0?e??e?2?2e1??2?2e1??

用等倾线法绘制的相轨迹如图A-7-10所示。

图A-7-10 题7-13系统（2）的相平面图

第八章

8-1 (1) f?t??1?e?at， F?z??z?1?e?aT??z?1??z?e?at?

(2) f?t??atT， F?z??zz?a

TzeaT(3) f?t??teat， F?z???z?e?aT?2

2(4) f?t??t2， F?z??Tz?1?z??z?1?3

?at(5) f?t??e?atsin?t， F?z??zesin?Tz2?2ze?aTcos?T?e?2aT

8-2 （1）F?s??s?1?e?aT?s?s?a?， F?z??z?z?1??z?e?aT?

?T（2）F?s???zz2s2??2，

F????e?e??T?2?z2?z?e?T?e??T??1?

1?aT（3）F?s??1??aT?1?e?aT?s2?， s?a?F?z??z?z?aT?1?e??a2?z?1?2?z?e?aT?s?3?T（4）F?s???s?1??s?2?， F?z??z?z?e?2e?2T?z2??e?T?e?2T?z?e?3T

8-3 (1) F?z??z，

Z?1?F?z???a?tTz?a

(2) F?z??2z， Z?1?2z?1?2?F?z???te?0.695tT

(3) F?z??z?z?1??z?2?， Z?1?F?z????1?t??2tT

(4) F?z??z?1?e?aT??z?1??z?e?aT?， Z?1?F?z???1?t??e?at

8-4 (a) C?z??RG?z?G?z?1?GH?z? (b) C?z??1?G?z?H?z?R?z? (c) K(1?e?T8-5 系统的开环脉冲传递函数G?z??)zz?z?e?T?；

G?z?(1?e?T闭环脉冲传递函数

C(z))zR(z)?1?G?z??Kz?(K?1?Ke?T)；

差分方程c(k?1)?(K?1?Ke?T)c(k)?K(1?e?T)r(k)

C?z??RG1?z?G2?z?1?G1G2H?z?

8-6 (1) G?z??Kzz?e?T

1?G?z??z?e?T?Kz?0 令z?w?1w?1,T?1s

?K?0.632?w??K?1.368??0

可得系统稳定的条件K?0。

Kz(2) G?z??，采样系统的根轨迹如图A-8-1所示。

z?0.368

图A-8-1 题8-6采样系统根轨迹

8-7 G?z??

z?0.368特征方程为z?0.368?0.632K?0 令z?w?1w?10.632K

0.632?1?K?w??1.368?0.632K??0

根据劳斯判据,要使系统稳定，应有K?2.165。 所以采样系统的临界稳定的K值为2.165。 8-10 G?z??K?T??z?1??z?eT1??T??T1T?T?Te?11???????T???TT1??T?T1e1?T1?? ?z??Te????Kp??im?1?G?z????

z?1Kv??im?z?1?G?z??KT

z?1esr?1Kp?TKv?1K

1K采样系统在输入r(t)?1(t)?t时的稳态误差终值为8-12 系统的开环脉冲传递函数G?z??实轴上的根轨迹?0.368,1?,。

K?0.368z?0.264??z?1??z?0.368??0.717?；

；

???,分离点s1,2?0.65,?2.08；

和虚轴交点?j1.16(K?3.72)；采样系统的根轨迹如图A-8-2所示。

图A-8-2 采样系统根轨迹

8-13 G?s??1?es?sT?Ks??1s?1?

K?0.005z?0.0045G?z????z?1??z?0.905?

由Kv?1，可求得K?10，将z?1?w1?w，K?10代入，得

0.5?1?w??1?0.053w?w?1?20.05w?G?w??

采样系统w域的伯德图如图A-8-3所示。剪切频率为?c?0.132rads，相角裕量为13.6?。

图A-8-3 采样系统w域伯德图

选用相位超前校正，取?m?45取幅值为?10lg??1?，则??0.172

????7.64db处的频率??0.23rads为新的剪切频率。校正装置传函为

?0.172?D?w??1?13.71w1?1.8w

校正后，系统的相角裕量为??49.9??45? 将w?z?1z?1代入D?w?，可得校正装置的脉冲传递函数

D?z??5.241?0.864z1?0.286z?1?1

第九章

9-1 解 R(?)?E[X(t)X(t??)]

?lim12T12TT???T?TTX(t)X(t??)dt

Asin(?t??)Asin[?(t??)??]dt

?limT????T?limA2T??4T2?T?T[cos(2?t?2????)?cos??]dt

TA?1??limsin(2?t?2????)?tcos??? T??4T?2????T?A22cos??

??(?1)????R(?)e??j?1?d?

???A2??2A2cos???e?j?1?d?

????2A2cos??(cos?1??jsin?1?)d?

?2?A?02?cos???cos?1?d?

2?22?0[cos(???1)??cos(???1)?]d?

?A?2[?(?1??)??(?1??)]

9-2 解 给定误差传递函数

E(s)R(s)?1?1K1Ts?1?K2s?s(Ts?1)s(Ts?1)?K1K2??e(s)

K2扰动误差传递函数

C(s)N(s)?1?sK1Ts?1??K2s?K2(Ts?1)s(Ts?1)?K1K2??n(s)

给定控制随机信号的谱密度?r(?)????Rr(?)e?j??d? =?a2e??|?|e?j??d?

??? =2?a2e??|?|cos??d?

02?=

2?a222????2?2?a2j?????r1(?)

2扰动随机信号的谱密度?n(?)????KN?(?)e2系统的均方误差 e2?er2?en

?j??d??KN?KN22??n1(?)

2=

12?[???|?e(j?)?r1(?)|d?????|?n(j?)?n1(?)|d?]

2?2?2?12?????j?(j?T?1)j?(j?T?1)?K1K2?2?a2j???2d?

?12?????K2(j?T?1)j?(j?T?1)?K1K2?KNd?

2s?j???12?j??j?j?T32?as?2222?as2Ts?(?T?1)s?(??K1K2)s??K1K22ds

??2?j21j?K2KNTs?K2KNTs2?j??s?K1K222ds

?T?a?T?aK1K2??aT?22???K1K2E(s)R(s)C(s)N(s)?11?G(s)G(s)1?G(s)?K1K2KNT222?K2KN22K1Tss?KKs?K

9-3 解 给定误差传递函数 ?e(s)??

扰动误差传递函数 ?n(s)???

?r(?)=

4??482?2j??2222??r1(?)

22?n(?)=

2??162?j??4???n1(?)

22e?12?[???|?e(j?)?r1(?)|d?????|?n(j?)?n1(?)|d?]

?2?12?1????j?j??Kj??2j??22s22d??212?????Kj??Kj??22j??422Kd?

2s?j???2?j??j?s?(K?2)s?2K2ds?12?j??j?s?(K?4)s?4K2ds

?2K?2?KK?4

2上式对K求一阶导数并令其等于零解得，当K?22时，e有最小值。 9-4 解 输入到输出的传递函数为

C(s)R(s)2?1R1R2C1C2s?(R1C2?R1C1?R2C2)s?112(R1C2?R1C1?R2C2)2

I?I2?ck?1dk?ckdk?22dkdk?1dk?22?

等效带宽为

?bN??I??2(R1C2?R1C1?R2C2)

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