高考数学（理）一轮复习配套文档：第9章 第2节 导数的应用(1)

最新高考数学复习资料 第二节 导数的应用(一)

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1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(2)函数的极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．

3．函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：

一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？

提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．

2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？

提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．

3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？

提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数的极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是( ) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数

解析：选A 当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．

2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是( )

A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞)

解析：选D ∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0. 2

3．设函数f(x)＝＋ln x，则( )

x1

A．x＝为f(x)的极大值点

21

B．x＝为f(x)的极小值点

2C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点

221x－2

解析：选D f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－2＋＝2，当x>2时，f′(x)>0，此时f(x)为增

xxxx函数；当x<2时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数，据此知x＝2为f(x)的极小值点．

4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．

解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3

x32

5．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上的最小值是________．

3

17

解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，

31017

f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－. 33

17答案：－、

3

压轴大题巧突破(三)

利用导数研究函数的极值、最值问题

[典例] (20xx·浙江高考)(14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．

[化整为零破难题]

(1)切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可； (2)基础问题1：|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系？

如果函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个．因

此要求|f(x)|的最大值，应求f(x)的最值．

基础问题2：如何求函数y＝f(x)，x∈[0,2]的最值？

由于f(x)是关于x的三次函数，因此，f(x)在[0,2]上的最值为函数f(x)在[0,2]上的端点值或极值．从而只要求出f(x)在[0,2]上的端点值f(0)，f(2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可．

基础问题3：如何求f(x)在[0,2]上的极值？

要求f(x)在[0,2]上的极值，应利用导数研究函数f(x)在区间[0,2]上的单调性，即研究f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)(0≤x≤2)的函数值符号，由于0≤x≤2，所以0≤3(x－1)2≤3.故应分3(a－1)≥0,3(a－1)≤－3，－3<3(a－1)<0，即a≥1，a≤0,0

基础问题4：如何比较|f(0)|、|f(2)|、|f(x)极大值|与|f(x)极小值|的大小？

计算f(x)极大值＋f(x)极小值＝2>0，f(x)极大值－f(x)极小值>0，从而可确定f(x)极大值>|f(x)极小值|.因此22|f(x)|max＝max{|f?0?|，|f?2?|，f?x?极大值}，由于0|f(2)|，≤a<1时，|f(2)|＝f(2)≥|f(0)|.

3322

故当0

33的大小即可．

[规范解答不失分]

(1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3. 2分 又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4. 4分 (2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故

(ⅰ)当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a. 5分

(ⅱ)当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0,2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1. 6

分

(ⅲ)当0

x f′(x) f(x) 0 3－3a (0，x1) ＋ ↗ x1 0 极大值 f(x1) (x1，x2) － ↘ x2 0 极小值 f(x2) (x2,2) ＋ ↗ 2 3a－1 ①①

由于f(x1)＝1＋2(1－a)1－a，f(x2)＝1－2(1－a)·1－a， 8分

故f(x1)＋f(x2)＝2>0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a)· 1－a>0，从而f(x1)>|f(x2)|.

所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)}. 10分

2a.当0

3a2?3－4a?2?1－a?1－a＋2－3a分

2③

b.当≤a<1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)．又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)1－a－(3a－2)＝

323④

，所以当≤a<时，f(x1)>|f(2)|.故f(x)max＝f(x1)＝1＋2(1－a)1－a.

342?1－a?1－a＋3a－2

12分

3④

当≤a<1时，f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1. 13分 4a2?3－4a?

③

②

，f(0)>|f(2)|.又f(x1)－f(0)＝2(1－a)1－a－(2－3a)＝

>0，故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a)1－a. 11

综上所述，|f(x)|max

??1＋2?1－a?1－a，0

3

?3a－1， a≥.?4

[易错警示要牢记]

3－3a， a≤0，

14分

易错 点一 易错 点二 易错 点三 易错 点四 ①处易忽视对a≤0和a≥1两种情况的讨论，而直接令f′(x)＝0，求出x1＝1－1－a，x2＝1＋1－a而导致解题错误 ②处易发生不会比较f(x1)与|f(x2)|的大小，造成问题无法求解，或求解繁琐，进而造成解题失误 ③处易发生不知如何比较f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成问题无法后续求解．事实上，此处的分类依据是：先比较出f(0)与|f(2)|的大小，然后利用二者中的较大者再与f(x1)比较大小 ④处易忽视要得出f(x1)与f(0)及f(2)的大小关系，只需判断3－4a的符号即可，从而不能恰当分类，导致无法求解或求解错误

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