各省2009届高三数学期末模拟分类汇编 - 数列4

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2009届广东省高三数学模拟试题分类汇总——数列

一、选择题

1、（2009潮州）等比数列则数列A

{an}的首项与公比分别是复数i?2(i是虚数单位)的实部与虚部，

{an}的前10项的和为（ ）A

20 B 210?1 C ?20 D ?2i

2、（2009揭阳）已知的斜率（ ）A

?an?是等差数列，a4?15，S5?55，则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线

A．4

1B4 C．－4 D．－14

3、（2009广东五校）在等差数列?an?中，a1??2008，其前n项的和为Sn．若

S2007S2005??220072005，则S2008?（ ）B （A）?2007 （B）?2008 （C）2007 （D）2008 4、（2009番禺）首项为?30的等差数列,从第7项开始为正,则公差d的取值范围是 （ ）C A. 5?d?6 B. d?6 C. 5?d?6 D. d?5 5、（2009北江中学）一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为 （ ）C A.14 B.16 C.18 D.20

6、（2009珠海）等差数列中,

{an}的前n项和为Sn,S9??18,S13??52,等比数列{bn}b5?a5,b7?a7,则b15的值为（ B ）学科网

B．-64 C．128 D．-128网

B.21

C.19

D.17

A．64 A.15

7、（2009澄海）．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于( )D 8、（2009澄海）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若|a3|?|a11|，且公差d?0，则当Sn取

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D．7或8

最大值时，n?（ ）C A．4或5

B．5或6

C．6或7

9、（2009韶关）已知等差数列 A．

{an}满足a1?a2?a3???a101?0，则有（ ） C

a1?a101?0 B．a1?a101?0 C．a1?a101?0 D．a51?51

10、（2009中山一中）已知在等差数列｛的最小值为（ ）B A．60 二、解答题

1、（2009深圳福田）已知数列

B．62

an｝中,a1?120,d??4,若Sn?an(n?2)，则n

D．72

C．70

?an?是等差数列， a2?6,a5?18；数列?bn?的前n项和是Tn，

1Tn?bn?12且． (Ⅰ) 求数列(Ⅲ) 记?an?的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列?bn?是等比数列；

cn?an?bn，求?cn?的前n项和Sn 解：(Ⅰ)设?an?的公差为d，则：a2?a1?d，a5?a1?4d，

?a1?d?6??a1?4d?18，∴∵∴

a2?6，a5?18，∴a1?2,d?4． ………………………2分

an?2?4(n?1)?4n?2． …………………………………………4分

12T?b?1b?b?T1，由121，得13． …………………5分

（Ⅱ）当n?1时，111?Tn?1?bnTn?1?1?bn?12，2当n?2时，，

11Tn?Tn?1=(bn?1?bn) bn?(bn?1?bn)22∴，即． …………………………7分

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1bn=bn?13 ∴． ……………………………………………………………8分 21?b?∴n是以3为首项，3为公比的等比数列． …………………………………9分 211bn??()n?1?2?()n333． ……………………………10分 （Ⅲ）由（2）可知：

11cn?an?bn?(4n?2)?2?()n?(8n?4)?()n33． …………………………………11分 ∴

1111Sn?c1?c2???cn?1?cn?4?()?12?()2???(8n?12)?()n?1?(8n?4)?()n3333． ∴

11111Sn?4?()2?12?()3???(8n?12)?()n?(8n?4)?()n?13333． ∴31211111Sn?Sn?Sn?4??8?()2?8?()3???8?()n?(8n?4)?()n?13333333 ∴121n?1()?[1?()]413??8?3?(8n?4)?()n?11331?3 811??4?()n?1?(8n?4)?()n?1333． ………………………………………13分 1Sn?4?4(n?1)?()n3． …………………………………………………14分 ∴2、（2009金山中学（一））已知曲线C：xy=1，过C上一点的直线交曲线C于另一点

An(xn,yn)作一斜率为

kn??1xn?2An?1(xn?1,yn?1)，点列An(n?1,2,3,?)的横坐标构成数列

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{

xn}，其中

x1?117．

（1）求

xn与xn?1的关系式；

11?x?23}是等比数列；

（2）求证：{n23n(?1)x?(?1)x?(?1)x???(?1)xn?1(n?N,n?1)。 123（3）求证：

y?解：（1）过C：

1x上一点An(xn,yn)作斜率为kn的直线交C于另一点An?1，

11?y?yxxn11kn?n?1n?n?1????xn?1?xnxn?1?xnxn?1?xnxn?2， ----------------------------3分

则（前三个式子各式1分） 于是有：xnxn?1?xn?2 即：11?xn?23，则 xn?1?1?2xn ----------------------------4分

an?（2）记an?1?111111?????2(?)??2anxn?1?23xn?23xn?23?2xn， ----------------6分

x1?因为1111,而a1????2?07x1?23， 11?x?23}是等比数列。 ----------------------------8分

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1(?2)n?13，

an?(?2)n,则xn?2?（3）由（2）可知：

(?1)nxn?(?1)n?2?12n?(?1)n?13。 ----------------------9分 当n为偶数时有： (?1)n?1xn?1?(?1)nxn? 2n?1?2n2n?1?2n11???n?1n?n?1?n1111222n?1?2n?(2n?1?)(2n?)2?23333=， -------------11分 11于是 ①在n为偶数时有： (?1)x1?(?1)2x2???(?1)nxn?11111?2?3?4???n?122222。 ----------12分 ②在n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有： (?1)x1?(?1)2x2???(?1)n?1xn?1?(?1)nxn ?1?(?1)nxn?1?xn?1?(2?1(?2)n?13)??1?12n?13?1。 -----------------13分 综合①②可知原不等式得证。 ----------------------------14分 3、（2009湛江师院附中）已知数列项和． (Ⅰ)求数列

{an}是等差数列，且a3?5,a5?9，Sn是数列{an}的前n{an}的通项公式an及前n项和Sn；

bn?1Sn?Sn?1，且Tn是数列{bn}的前n项和，求bn与Tn．

(Ⅱ) 若数列

{bn}满足

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?a3?a1?2d?5??a5?a1?4d?9解：(Ⅰ)设数列∴

{an}的公差为d，由题意可知：

,解得:a1?1,d?2 …3分

an?a1?(n?1)d?1?2(n?1)?2n?1 …………………………………5分

(a1?an)n(1?2n?1)n??n2.22 ……………………………6分 Sn??bn?(Ⅱ)

1111???Sn?Sn?1n(n?1)nn?1 …………………………8分 ?Tn?b1?b2?b3?????bn111111111n?(?)?(?)?(?)?????(?)?1??.122334nn?1n?1n?1 ……………13分 4、（2009广州天河）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为

x1,x2,?,xn,?,x2008；y1,y2,?,yn,?,y2008 （Ⅰ）求数列

{xn}的通项公式xn；

（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}； 的一个通项公式yn，并证明你的结论; （Ⅲ）求

zn?x1y1?x2y2???xnyn(x?N?,n?2008)．

{xn}中，x1?1,xn?1?xn?2 ……2分

解：（Ⅰ）由框图，知数列∴

xn?1?2(n?1)?2n?1(n?N*,n?2008) ……4分

（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.

ny?3?1(n?N*,n?2008). ……2分 n由此，猜想证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴

yn?1?1?3(yn?1)

yn?1?1?3,y1?1?3.y?1∴n ……4分

∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

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∴∴

yn+1=3·3n－1=3n

yn=3n－1（n?N*,n?2008） ……6分

x1y1?x2y2???xnyn

（Ⅲ）zn=

=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①

则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ……2分 ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1

3(1?3n)?3?(2n?1)·3n?1n?1n?1n?13?6?(2n?1)·3?2(1?n)·3?6 1?3=2×=

n?1S?(n?1)·3?3. ……3分 ∴n又1+3+…+（2n－1）=n2

n?12z?(n?1)?3?3?n(n?N*,n?2008). ……4分 n∴

???b??是递增的等比数列，且b1?b3?5,b1b3?4. n?Nn5、（2009广州海珠区）数列(Ⅰ)求数列(Ⅱ)若

?bn?的通项公式; an?log2bn?3,求证数列?an?是等差数列;

2a?a2?a3?……?am?a46,求m的最大值. 1(Ⅲ)若

解:(Ⅰ)由 ?b1b3?4??b1?b3?5知

b1,b3是方程x2?5x?4?0的两根,注意到bn?1?bn得

b1?1,b3?4.……2分

2b?2?b1b3?4得b2?2.

?b1?1,b2?2,b3?4

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b2?2n?1n?1?b?bq?2n1?等比数列.?bn?的公比为b1,……4分

n?1a?logb?3?log2?3?n?1?3?n?2.……6分 n2n2(Ⅱ)

∵

an?1?an???n?1??2???n?2??1……8分

?数列?an?是首相为3,公差为1的等差数列. ……9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知数列

?an?是首相为3,公差为1的等差数列,有

a12?a2?a3?……?am=a12?a1?a2?a3?……?am?a1 m?m?1?m2?m3?m?3??1?3?6?3m?22……11分 =

2a46?48 m2?m6?3m??4822?,整理得m?5m?84?0, 解得?12?m?7.……13分 ?m的最大值是7. ……14分 an??n?N???a?0,a1?2,a3?8.

6、（2009湛江21中）已知数列是等比数列,且n(1)求数列?an?的通项公式; 1111??????1aa2a3an(2)求证:1； (3)设

bn?2log2an?1,求数列?bn?的前100项和.

.解：(1)设等比数列

?an?的公比为q.

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3?1则由等比数列的通项公式又

an?a1q

n?1得

a3?a1q,

?q2?8?4,2

an?0,?q?2LL?2分?n?1na?2?2?2LL?3分?a??nn?数列的通项公式是.

?2?1?1?1?L?1a1a2a3an11111112?2n?2??2?3?L?n?122221?2

1?1?nLL?6分?,2 1Qn?1,?1?n?1LL?7分?,2 ?1111???L??1LL?8分?.a1a2a3an ?3?由bn?2log22n?1?2n?1LL?9分?,又Qbn?bn?1?2n?1???2?n?1??1???2?常数?,?数列?bn?是首项为3,公差为2的等差数列LL?11分?,

?数列?bn?的前100项和是S100?100?3?100?99?2?10200LL?12分?2

7、（2009深圳九校）等差数列等比数列，其中{an}的公差d?0，它的一部分组成数列ak1,ak2,ak3,?,akn为

k1?1，k2?5，k3?17. ak1,ak2,ak3,?,akn的公比q；

（Ⅰ）求等比数列（Ⅱ）记

f(n)?kn，求f(n)的解析式； k1?k2???kn的值;

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（Ⅲ）求

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2a?a1?a17 ………………………1分 5解：（Ⅰ）依题意有：

2?(a?4d)?a1(a1?16d) 1

解得：a1?2d. ………………………3分

?q?

a5a1?4d2d?4d???3a1a12d ………………………5分

akn?3akn?1（Ⅱ）解法1： ………………………6分 ?

a1?(kn?1)d?3a1?(kn?1?1)d，又a1?2d，

?kn?3kn?1?2 ………………………8分

?kn?1?3(kn?1?1)

?{kn?1}是等比数列， ……………………9分 ?kn?1?(k1?1)3n?1?2?3n?1

n?1?k?2?3?1 n

?f(n)?2?3n?1?1 ………………………10分

解法2： ∵∴

akn是等比数列的第n项，又是等差数列的第

kn项

akn?a1?3n?1 ………………………7分

akn?a1?(kn?1)dn?1a?3?a1?(kn?1)d ………………………9分 ∴1由（Ⅰ）知a1?2d

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?kn?2?3n?1?1

n?1?f(n)?2?3?1. ………………………10分

1?3nk1?k2???kn?2(1?3???3)?n?2??n?3n?n?11?3（Ⅲ）……14分

n?11?2??a?SS2n?1，?bn?为等差数列，且a1?b1，8、（2009普宁）设数列n的前项和为n，且na2(b2?b1)?a1．

（1）求数列

?an?和?bn?通项公式；

cn?（2）设bnan，求数列?cn?的前n项和Tn ?S1?1．…………1分 （1）当n?1时，a1当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2?111)?(2?)?2n?12n?22n?1，此式对n?1也成立．

?an?1*2n?1(n?N)．…………3分 b2?b1?从而b1又因为?a1?1，a11??2a212． ?bn?为等差数列， ?公差d?2，…………5分

?bn?1?(n?1)?2?2n?1．…………6分

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cn?（2）由（1）可知所以

2n?1?(2n?1)?2n?112n?1，…………7分

Tn?1?1?3?2?5?22???(2n?1)?2n?1． ①…………8分

①?2得

2Tn?1?2?3?22?5?23???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n． ②…………9分

①-②得：

?Tn?1?2(2?22???2n?1)?(2n?1)?2n…………11分

2(1?2n?1)?1?2?(2n?1)?2n1?2 ?1?2n?1?4?(2n?1)?2n ??3?(2n?3)?2n．…………13分 ?Tn?3?(2n?3)?2n．…………14分

9、（2009广东六校一）已知数列（Ⅰ）求数列?an?的首项a1?12S?nan?n?1?2，前n项和n．

?an?的通项公式； 2Sn?1nbn??n?2?TTn?bn??b?0Sn1n?1． nn（Ⅱ）设，，为数列的前项和，求证：

解：（Ⅰ）由

a1?122，Sn?nan， ①

2S?(n?1)an?1， ② n?1∴

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22a?S?S?na?(n?1)an?1，即 nnn?1n①－②得：

ann?1??n?2?an?1n?1， 4分 ananan?1a3a2????aaaa2a1 n?1n?2∵1?

n?1n?2212????n?1n43nn(?1)，

an?∴

1n(n?1)。 8分

Sn?11nb??1?n?2?Sn?n2?Snn?1，∴n（Ⅱ）∵， 10分

∴ Tn?b1?b2???bn 1??11?n??2?2???2?n? ?12 ?1?11?n???1?2?2?3???n??n?1????? 1?n2??n??1???n?1n?1?? ． n2Tn?n?1． 14分 故

1y?x?1B(1,y),B(2,y),?,B(n,y)(n?N )122nn210、（2009番禺）已知点1在直线上，点

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A)，对1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),……，An(xn,0)顺次为x轴上的点,其中x1?a(0?a?1于任意n?N，点证明：数列求

*An,Bn,An?1构成以?Bn为顶角的等腰三角形, 设?AnBnAn?1的面积为Sn．

?yn?是等差数列；

S2n?1；（用a和n的代数式表示） ?1?8n??*SSTT设数列?2n?12n?前n项和为n，判断n与3n?4(n?N)的大小，并证明你的结论；

O ． ．http:B2 B1 //www.jkzyw.x

y ． Bn 1y?x?1B(1,y),B(2,y),?,B(n,y)(n?N )122nn2解：（1）由于点1在直线上， *1yn?n?12则， ……1分 yn?1?yn?12，所以数列?yn?是等差数列 ……2分 因此xn?xn?1?n,x?xn?1?2n, ……3分 2（2）由已知有，那么n同理

xn?1?xn?2?2(n?1),

xn?2?xn?2， ……4分

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以上两式相减，得

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∴∴

x1,x3,x5,...,x2n?1,...成等差数列；x2,x4,x6,...,x2n,...也成等差数列， x2n?1?x1?(n?1)?2?2n?a?2， ……5分

x2n?x2?(n?1)?2?(2?a)?(n?1)?2?2n?a ……6分

点

A2n?1(2n?a?2,0),A2n(2n?a,0)，则A2n?1A2n?2(1?a)，A2nA2n?1?2a， 1yn?n?1,2而 12n?1S2n?1?S?A2n?1B2n?1A2n??2(1?a)?y2n?1?(1?a)y2n?1?(1?a)?22 ……8分 ∴

1S2n?S?A2nB2nA2n?1??2a?y2n?ay2n?a(n?1)2（3）由(1)得:， ……9分 a(1?a)(n?1)(2n?1)?a?1?a?(n?1)(2n?1)(n?1)(2n?1)S2nS2n?1??????228?2?则 2而

S2nS2n?1?0，则nTn??8k?1(k?1)(2k?1)， ……11分 nn161??1Tn???16????)k?1(2k?2)(2k?1k?1?2k?12k?2? 即

1111??11Tn?16?(?)?(?)???(?)?34562n?12n?2?? ∴

1111111??11Tn?16?(?)?(?)???(?)?2(????)?34562n?12n?2462n?2?? ∴

111??1Tn?16???????2n?22? ……12分 ?n?2n?3∴

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111??2n?22n?2(n?2)(2n?2)， 由于

(n?2)(2n?2)?而n?2?2n?23n?4?22,

12114???(n?2)(2n?2)3n?4, 从而 n?22n?23n?, 4 ……13分 则114??同理:n?32n?13n?4…… 114??2n?2n?23n?4 以上n?1个不等式相加得：2(1114(n?1)????)?n?2n?32n?23n?4 1112(n?1)?????2n?23n?4， 即n?2n?38n?2(n?1)1?Tn?16?????3n?42?3n?4 ……14分 从而 111111n????????n2?1n2?2n2?(3； 4)说明：（1）也可由数学归纳法证明 3456n?1xn?x?x?2n,?(?1)nn?1（2）本题也可以求出的通项公式，由两边同时除以， xn?1xnn?1??2?(?1)n,n?1n(?1)(?1) bn?令

xnn?1(?1)n，则bn?1?bn?2?(?1)n,

bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)?(b3?b2)???(bn?bn?1)(n?2)

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bn??a?2[(?1)2?1?(?1)3?2?(?1)4?3????(?1)n(n?1)](n?2)

利用错位相减法可求出：

234n(?1)n?2?1(?1)n?(2n?1)?1n2[(?1)?1?(?1)?2?(?1)?3????(?1)(n?1)]??(?1)(n?1)?22(?1)n(2n?1)?1?2abn??2则，

2n?1?(?1)n(1?2a)xn?(?1)bn?2则，n?1时，也符合上式，

n2n?1?(?1)n(1?2a)xn?(?1)bn?2则对任意正整数n都成立．

n下同上述解法

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