09秋复变试卷A

中国地质大学（北京） 2009年秋季学期

课程号：0402151

《复变函数与积分变换》期末考试（A）试卷

考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟

班号 学号 姓名 得分 题号 得分 一 二 三 总分 一、填空题（每小题3 分，共36 分）

z1． 设e?1?3i，则z? .

2.

极限limz?0Rez2z2?? .

3. 函数f?z??z在点z?0的解析性为 . 4. 若函数f(z)在单连通域D内解析，且

f?z??0，C为D内的任意一条简单闭曲

f??z?dz? . 线，则积分?cf?z??1?5i??的敛散性为 . 5. 级数??2?n?0?6. 已知幂级数?cn?z?1?在点z?3收敛，那么该幂级数在点z?0的敛散性

nn?0??n为 .

sinz7. z?0是函数f?z??的 阶极点.

z31?2?zsin,?? . 8. 留数Res??z??第 1 页 共 4 页 2010年1月

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?f?z??n,0? . ??fz?az9. 设在z?R内解析，k为正整数，那么Res?k?n??z?n?0?10. 积分

1dz? . ?z?z?2?z?111. 设f?t??5sin2t?3cos2t，则L 12. 在拉普拉斯积分变换下，卷积t4?f?t?? = .

?t6= .

二、证明题（每小题 6 分，共24 分）

1．若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数fz在下半平面内解析.

2．设函数f(z)在z?1上解析，且

??f?0??1，证明：

1

2?i

1?dz???2?z?fz?2?f??0? . ???z?zz?1?3．证明：若z0是f(z)的m阶极点（m>1），则 z0是

f??z?的m+1阶极点.

j???4．设F ?f?t??=F ???,证明：F ?tf?2t??=F???.

4?2?

5．设F

?f?t??=F ???, f?t??f?t??jf?t?,其中f?t?,f?t?都是实变量t的实函数，

1212证明： ReF???=

??????f1?t?cos?t?f2?t?sin?t?dt.

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三、解答题（每小题 8 分，共40分）

1. 求出常数a,b, 使函数f?z??x?ay?i?x?by?解析，并求f??z?.

2. 计算积分I

3. 将函数f?z??洛朗级数.

4. 利用留数计算实积分I??

5. 用拉普拉斯变换解方程：

?z?R?1dz.其中R?1,2，方向逆时针. 2z?z?1??z?2?1分别在：（1）1?z???，（2）0?z?1?1内展成

z?1?z?cos?x?1?dx. 2??x?1??y????t??y??t??1,y?0??y??0??y???0??0.

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