09秋复变试卷A
更新时间:2023-11-18 18:25:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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中国地质大学(北京) 2009年秋季学期
课程号:0402151
《复变函数与积分变换》期末考试(A)试卷
考试形式:闭卷考试 考试时间:120分钟
班号 学号 姓名 得分 题号 得分 一 二 三 总分 一、填空题(每小题3 分,共36 分)
z1. 设e?1?3i,则z? .
2.
极限limz?0Rez2z2?? .
3. 函数f?z??z在点z?0的解析性为 . 4. 若函数f(z)在单连通域D内解析,且
f?z??0,C为D内的任意一条简单闭曲
f??z?dz? . 线,则积分?cf?z??1?5i??的敛散性为 . 5. 级数??2?n?0?6. 已知幂级数?cn?z?1?在点z?3收敛,那么该幂级数在点z?0的敛散性
nn?0??n为 .
sinz7. z?0是函数f?z??的 阶极点.
z31?2?zsin,?? . 8. 留数Res??z??第 1 页 共 4 页 2010年1月
中国地质大学(北京) 2009年秋季学期
?f?z??n,0? . ??fz?az9. 设在z?R内解析,k为正整数,那么Res?k?n??z?n?0?10. 积分
1dz? . ?z?z?2?z?111. 设f?t??5sin2t?3cos2t,则L 12. 在拉普拉斯积分变换下,卷积t4?f?t?? = .
?t6= .
二、证明题(每小题 6 分,共24 分)
1.若函数f(z)在上半平面内解析,试证函数fz在下半平面内解析.
2.设函数f(z)在z?1上解析,且
??f?0??1,证明:
1
2?i
1?dz???2?z?fz?2?f??0? . ???z?zz?1?3.证明:若z0是f(z)的m阶极点(m>1),则 z0是
f??z?的m+1阶极点.
j???4.设F ?f?t??=F ???,证明:F ?tf?2t??=F???.
4?2?
5.设F
?f?t??=F ???, f?t??f?t??jf?t?,其中f?t?,f?t?都是实变量t的实函数,
1212证明: ReF???=
??????f1?t?cos?t?f2?t?sin?t?dt.
第 2 页 共 4 页 2010年1月
??中国地质大学(北京) 2009年秋季学期
三、解答题(每小题 8 分,共40分)
1. 求出常数a,b, 使函数f?z??x?ay?i?x?by?解析,并求f??z?.
2. 计算积分I
3. 将函数f?z??洛朗级数.
4. 利用留数计算实积分I??
5. 用拉普拉斯变换解方程:
?z?R?1dz.其中R?1,2,方向逆时针. 2z?z?1??z?2?1分别在:(1)1?z???,(2)0?z?1?1内展成
z?1?z?cos?x?1?dx. 2??x?1??y????t??y??t??1,y?0??y??0??y???0??0.
第 3 页 共 4 页 2010年1月
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