数学建模

中原工学院信息商务学院

数 学 建 模 试 题

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目录

问题： ......................................................................................................... 3 一、问题重述............................................................................................. 4 二、问题分析............................................................................................. 4 三、模型假设............................................................................................. 4 四、模型求解。 ........................................................................................ 5 五、模型结果分析 .................................................................................... 7 六、附录： ................................................................................................. 8

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问题：

从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.，设跑步距离d=1000m，跑步最大速度?m=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v按以下步骤进行讨论： （1） 不考虑与的方向，设将于淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总林雨

量。

（2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?，如图一，

建立总林雨量与速度v及参数a、b、c、d、u、w、?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算?=0，?=30度时的总淋雨量。

（3） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?，如图一，

建立总林雨量与速度v及参数a、b、c、d、u、w、?之间的关系，文速度v多大，总淋雨量最少，计算?=30度时的总淋雨量

? c a

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一.问题重述

当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。通过模型的建立，绘出以淋雨为纵轴、人的跑步速度为横轴的图象。在解决这些问题后，更深一步的拓展一下模写出雨线方向与跑步方向不在同一平面时模型的变化。

二.问题分析

当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。

对于问题（1），在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。在人跑的速度达到最大值?m所淋到的雨量最少。

对于问题（2），当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成?角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分，竖直方向所淋到雨的面积为S'，水平方向所淋到的面积为S''。便可根据题的要求解出模型。

对于问题（3），当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成?角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。

1）当人的水平速度慢于雨的水平速度，雨水就会淋湿头部和后背。 2）当人的水平速度等于雨的水平速度，雨水就会淋湿头部。

3）当人的水平速度快于雨的水平速度，雨水就会淋湿头部和前胸。 根据题中所给数据便可建立模型并求解。

三、.模型假设

1）在下雨过程中，雨速u保持不变。

2）人在跑步过程中以恒定的速度?跑完全程。

3）在模型的建立过程中，把人体视为一个高为a、厚为c、宽为b的长方体。

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四、模型求解。

W=（1）：总淋雨量为：

10S? t (升) ，其中 S?2ab?2ac?bc平方米，t?d/?m3600秒，代入数据可以求出淋雨量为2.44升。：

（2）问题（2）模拟图形如图所示

设为降雨量，u为雨速，为雨滴的密度，可以列出下列等式： 由于

，所以可以推出：

代入数据求得：

-

；

? c a b （2）图

设为降雨量，u为雨速，为雨滴的密度，可以列出下列等式： 由于

，所以可以推出：

代入数据求得：-

；

因为水平方向的速度u’’=u+ ，竖直方向的速度 ’

=u ,

所以导出：

‘

=u’ ,

’’

=u’’ ,

总淋雨量为：W=（S'?'t 3600 +S''?''t3600）?10?2 （升），

其中：S’=2ab+2ac+bc , S’’=2ab+2ac 。

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代入数据：

++0.81 （升）。

当=0°时，W=1.49 （升）； 当=30°时，W=1.72 （升）。 由建立的模型可知，因为0°

，所以W是速度v的减函数，当速度达到最大

值时，淋雨量达到最小值。由此可见，当人迎着雨跑时，人淋雨量的多少和人的跑动速度大

小的变化是减函数的关系，为了淋到最少的雨，我们只能尽量跑得快些。

（3）：当雨从背面下过来时，人淋雨量的多少和雨的水平方向速度有关，现在分情况讨论：

c a （3）图

一）当人的跑步速度慢于雨的水平速度，即 ??usin? ，雨会淋湿你的后背和头部，求得的结果为：

?dab?dabucos? （升）（usin???）+；

??二）人走的速度等于雨滴的水平速度时，即??usin? ，人在雨中只会淋湿上面，求

?bcducos?的的结果为：W? （升）；

usin?并且可以求得当??30度时，人的淋雨量为0.346升。

三）人行走的速度快于雨滴的水平速度时 ，即??usin? ，雨会淋湿你的 前胸

?abd?bcd(??usin?)?ucos? （升）和头部 ，求得的结果为：W?。 ??W?从而可知：ccos??asin? 时，则跑的速度越大淋雨量就越少；

ccos??asin?

时，则跑的速度尽可能小淋雨量就越少。

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由此可知，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和人跑的速度有关，所以不是跑的越快淋雨量就越少。

五、模型结果分析

经过解题可知：

对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。不符合现实中的实际情况。

对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。

对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。

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六、附录：

模型符号说明：

1） 在下雨过程中，雨速u保持不变。人在跑步过程中以恒定的速度?跑完全程。

a —— 人体的身高

b —— 人体的宽度

c —— 人体的厚度

d —— 人跑步的全程

?m —— 人跑步的最大速度

u —— 雨滴的速度

? —— 降雨量

? —— 人的跑步速度

W —— 人在跑步中的淋雨量

S —— 人在雨中会被雨淋的面积

t —— 人在雨中跑步的时间

? —— 雨滴的密度

S'、S'' —— 雨从前方下时，上方的雨和水平的雨淋到的面积

? —— 雨从正面下来时，雨线和竖直方向夹角

? —— 雨从后面下来时，雨线和竖直方向夹角

? —— 当雨线方向与人的跑步方向不一至时，雨线方向和水平方向所成的夹

角。

2）在模型的建立过程中，把人体视为一个高为a、厚为c、宽为b的长方体。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e046.html