第五章 刚体力学

第五章 刚体力学

在前面的机械运动研究中，主要考虑的是不计体积和形状的物体——质点。然而在更多的情况下，我们所遇到的物体体积和形状不可忽略，例如地球的自转、车轮在地面上的滚动、雷达的扫动、运动员的腾挪翻转、机械的运转等。很显然这些物体的运动比质点的运动规律要复杂地多，因此必须找到一种方法研究这类物体的机械运动。这种方法要满足两个条件：第一简单。第二要能够沿用前面所学过的质点运动的一整套方法。

这个方法就是刚体力学研究方法，在这个方法中建立了这类物体对象的理想模型——刚体。虽然是理想模型，却可以与实际物体联系起来，上述运动中的物体可看成刚体，实际物体在形变不大的情况下都可看成刚体。

刚体的定义是：它一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。

由于刚体是质点系，所以研究方法将会充分利用质点运动的研究成果，这符合知识学习的连贯性、继承性、体系性。另外刚体中任意两质点在运动中距离始终保持不变，如果研究出刚体中任一质点的运动规律，再研究出其它质点相对该质点的运动，则整个刚体的运动就掌握了，因此这种方法是简单的。不能当作刚体的更复杂物体对象将会用流体力学一类的方法进行研究。

第一节 刚体的运动

在确定研究对象为刚体之后，接下来就要分析刚体运动的特点，掌握这些特点后，就可以针对刚体每一类运动分别展开研究。

通过分析刚体运动可分为如下的几种： 一、平动

（a） （b）

图5－1 刚体的平动

1.定义：刚体上任一给定直线（或任意二质点间的连线）在运动中空间方向始终不变而保持平行，叫做刚体的平动（图5－1）。

2.性质：平动时刚体内所有质点的位移矢量、瞬时速度矢量、瞬时加速度矢量都相同，即运动规律一样。知道一个质点运动规律，就可知刚体整体和刚体内其它质点的运动规律。

我们可以选取刚体上一个特定点的运动来代表刚体的运动，该点的位置和运动规律与整个刚体的质量和所受合外力有关，即满足：刚体的质量与刚体质心的加速度的乘积等于刚体所受的合外力。 用式子表示为

?Fii?Mac。

在前面质点运动的章节中出现的大物体都是在做刚体平动一类的运动，所以都被当作质点来对待的。

3.自由度：确定刚体平动的自由度为三个。 自由度：决定物体的空间位置所需要的独立坐标个数。是描述物体运动自由程度的物理量。

独立坐标：描写物体位置所需的最少的坐标数。

例如描述一个质点，在直角坐标下，需要x、y、z三个独立的坐标，即3个自由度。刚体的整体运动与刚体中一个质点的运动相同，所以该刚体内质点的自由度就是刚体的自由度。

二、刚体的定轴转动

图5－2 刚体的定轴转动

1.定义：若刚体运动时，所有质点都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，该直线相对刚体的位置和取向始终不变，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作固定转轴。例如门的转动、电风扇的转动等运动（图5－2）。

2.性质：刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体上轴以外的质点绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。转动时，轴外各点在同一时间间隔?t内，走过的弧长虽不同，但角位移??都一样。和转轴相平行的线上各质点的运动情况完全一样。

图5－3 刚体的定轴转动分析

3.自由度：1个。定轴转动刚体的自由度就是刚体转动时的角位置坐标θ。

如图所示（图5－3）：建立O-xyz系，z轴与转轴重合，转轴上一点确定为坐标原点O，如果刚体不转动，则在此坐标系中刚体各质点的位置就确定了。当刚体定轴转动时，截取刚体一个剖面O-xy平面（其余平面都与该平面平行），除O点外，再选刚体上任一点A，A的位置变化可用OA与x轴的夹角θ的增量??来确定，刚体中任一质点的位置变化都可用??来确定。θ确定了刚体中任一质点的位置，确定了刚体在转动时的整体位置，此θ角称为绕定轴转动刚体的角位置坐标。θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z 轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。

4．转动平面：垂直于转轴的平面。例如上面提到的O-xy平面（及其平行面）。在刚体转动分析中，要用到转动平面。研究刚体的整体转动规律，往往是对刚体中每个质点的运动分析综合得到的。而刚体转动时，每个质点都有在转动平面上做圆周运动。

5．刚体定轴转动描述的两套物理量：角量和线量。 （1）角量描述：适用于对刚体整体转动描述的需要。

1）角位移??：定轴转动刚体在?t时间内角坐标的增量 。 任意质点的角位移是相同的——是一整体运动的量。

面对z 轴观察：逆时针转动，???0；反之，???0。 2）角速度?：

d?(rad/s) （5－1） dt面对z 轴观察：逆时针转动，??0；反之，??0。 3）角加速度?：

??d?d2????2(rad/s2) （5－2）

dtdt加速转动，?与ω同号；??0，反之，??0。

图5－4 加速转动 图5－5 减速转动

（2）线量描述：适用于对刚体中某质点mi运动描述的需要，常用的线量为：

1）位置矢量r，2）瞬时速度v，3）瞬时加速度a。

（3）角量和线量的关系：刚体中质点运动线量与整个刚体角量之间是可以互相转换，这种转换在推导刚体整体运动规律特别重要。现考察刚体转动平面上任一质点（图5－6），其质量为mi，转动半径为ri，则有如下变换关系：

1）质点mi线速率与刚体角速度的关系：

vi??ri （5－3）

2）质点mi法向加速度与刚体角速度的关系：

an??2ri （5－4）

3）质点mi切向加速度与刚体角加速度的关系：

at?ri? （5－5）

图5－6 角量与线量的关系 三、刚体的平面运动

1.定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行，刚体的转轴始终与这些平面垂直。例如手榴弹在空中翻转飞行、车轮在地面向前滚动、黑板擦擦黑板的运动等。

2.性质：刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。刚体的平面运动可看成是刚体的平动与刚体定轴转动的叠加。

3.自由度：3个。

因为：由平面运动的特点，可用与固定平面平行的刚体的任一剖面（截面）来研究，此截面位置一经确定，刚体的位置便确定了。通常选择此平面内刚体上某点的位置坐标（x，y） 和绕过该点轴旋转的角度θ来描述刚体的位置。 四、刚体的一般运动

刚体的一般运动可以看成是刚体的平动与刚体的非定轴转动的叠加。例如陀螺在地面上的转动（图5－7），一方面陀螺绕自转轴转动，一方面陀螺的自转轴在空间的位置和取向也在不断变化。刚体的一般运动（图5－8）的自由度为6个：确定刚体质心位置的3个坐标（x，y，z），确定通过质心转轴的空间取向2个坐标（?，?），确定刚体相对转轴转过的角度1个坐标（?）。

图5－7 陀螺的运动 图5－8 刚体的一般运动

本章只研究刚体的平动、定轴转动、平面运动。

第二节 刚体定轴转动

一、力矩

刚体是怎样由静止的状态变为绕固定轴转动的？换句话说刚体的转动运动状态的改变与什么物理量有关？通过实践可以发现，这个物理量不仅与力有关，还和力的作用点以及力的方向有关。这个物理量就是外界施加在刚体上的相对于固定轴的力矩，正是在力矩的作用下刚体绕定轴可以越转越快或越转越慢。

图5－9 刚体受到的外力矩作用

如图5－9考察绕固定Z轴转动刚体中的一个转动平面，设有一个外力F作用在P点，F

不一定落在转动平面内，这个力相对于Z轴的力矩等于什么呢？

按照力矩的定义：

???M?r?F （5－6）

r为转轴到力点的位置矢量，也是力点做圆周运动的转动半径矢量。这个力矩是不是都

会改变刚体相对Z轴的转动呢？下面进一步分析：将力F分解为平行于轴的分力F1和垂直于轴的分力F2 ，F1产生的力矩不会影响刚体绕Z轴的转动，只有F2产生的力矩才会改变刚体绕Z轴的转动。也就是外力矩与定轴方向相同或相反就会使静止刚体绕轴逆（顺）时针方向转动，外力矩与定轴方向垂直静止刚体不动。

可绕定轴转动的力矩分量：

MZ?r?F2 （5－7）

大小为：

MZ?rF2sin? （5－8）

在刚体定轴转动计算力矩时，只需考虑外力平行于转动平面的分量F2，外力垂直于转动平面的分量F1不用考虑。在下面的转动定律推导中就是这样处理的。

二、定轴转动定律

图5－10 力矩与刚体转动的关系

相对于转轴的外力矩会改变刚体的定轴转动状态，刚体可以从静止到转动或从转动到静止。究竟在外力矩的作用下刚体转动的规律是怎样的呢？

下面开始进行研究，研究的出发点是刚体中的一个任意的质点。如图5－10，刚体转动平面中任意一点P点，P点是一个质点，设其质量为mi，所受外力和内力分别为Fi、fi，其加速度为ai。如前所述Fi、fi是外力和内力落在转动平面上的分量，由于刚体绕定轴转动，质点只能在转动平面内运动，其所受外力和内力垂直于转动平面分量的总和一定为零。

据此质点mi满足的动力学方程：

???Fi?fi?miai （5－9）

动力学法向分量方程：

Ficos?i?ficos?i??miain??miri?2 （5－10）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dzut.html