上海市松江区2016年中考数学三模试卷含答案解析

上海市松江区2016年中考数学三模试卷（解析版）

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分） 1．下列分数中，能化为有限小数的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（ ） A．a﹣c＞b﹣c

B．c﹣a＞c﹣b

C．ac＞bc

D．＞

3．数据﹣2，﹣2，2，2的中位数及方差分别是（ ） A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．0，4 D．﹣2，2

4．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A．y=﹣

B．y= C．y=﹣（x＞0）

D．y=（x＜0）

5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD相交于点O，已知△AOD和△AOB的面积分别为2和4，则△ACD的面积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，则圆心O关于直线AB的对称点O′和⊙O的位置关系是（ ）

A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定

二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 7．计算：

= ．

8．分解因式：4x2﹣y2= ． 9．已知函数f（x）=10．函数11．方程12．不等式：

，那么f（10）= ．

中自变量x的取值范围是 ． 的根是 ． ＜

的解集是 ．

13．在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机的摸取一个球，摸到的是黄球的概率是 ．

14．已知一次函数y=kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），则一次函数解析式为 ．

15．如图，点G是△ABC的重心，DE过点G且平行于BC，点D、E分别在AB、AC上，设

=，

=，那么

= ．（用、表示）

16．学习了统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制一幅不完整的统计图（如图所示）．已知骑车的人数占全班人数的30%，结合图中提供的信息，可得该班步行上学的有 人．

17．当相交的两个圆，其中任意一个圆的圆心都在另一圆的外部时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别为3和4，且两圆“外相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是 ．

18．如图，Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着C点旋转，使得B点落在AB上的B′处，A点落在A′处，则AA′= ．

三、解答题（共7小题，满分78分） 19．计算：

+（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+

）0．

20．解分式方程：．

21．现要建造一段铁路，其路基的横断面ABCD是等腰梯形，上底CD=8米，高DH为2.5米，坡度i=1：1.2． （1）求路基底AB的长；

（2）一段铁路长为2000米，工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，原计划需要55天，但在开工时，甲工程队改进了设备，工作效率提高了25%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（路基的土方=路基的横断面的面积×路的长度）

22．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于C、D两点，和x轴交于A点，y轴交于B点．已知点C的坐标为（3，6），CD=2BC． （1）求点D的坐标及一次函数的解析式； （2）求△COD的面积．

23．如图，已知△ABC中，AB=AC，将△ABC沿着EF折叠，使点B落在边AC上，记为点D，且DF=DC．

（1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）求证：

=

．

24．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求这个二次函数的解析式； （2）联结AC，求∠BAC的正切值；

（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．

25．如图，?ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G． （1）若DE⊥AB时，求DE的长度；

（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．

2016年上海市松江区中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分） 1．下列分数中，能化为有限小数的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可得出答案． 【解答】解：A、=0.1235，故本选项正确； B、=0.111111…，故本选项错误； C、D、

=0.083333…，故本选项错误； =0.066666…，故本选项错误；

故选A．

【点评】本题主要考查了有理数，用到的知识点是有理数的除法法则，在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关键．

2．如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（ ） A．a﹣c＞b﹣c

B．c﹣a＞c﹣b

C．ac＞bc

D．＞

【分析】根据不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；根据不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【解答】解：A、不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），故A正确； B、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故B错误； C、c＜0时，不等号的方向改变，故C错误； D、c＜0时，不等号的方向改变，故D错误； 故选：A．

【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变．

3．数据﹣2，﹣2，2，2的中位数及方差分别是（ ） A．﹣2，﹣2 B．2，2 C．0，4 D．﹣2，2

【分析】直接利用中位数的定义以及结合方差公式分别分析得出答案． 【解答】解：∵﹣2，﹣2，2，2的中间是﹣2和2， ∴该组的中位数是：0，平均数为：0，

方差为： [（﹣2﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2（2﹣0）2] =4． 故选：C．

【点评】此题主要考查了中位数以及方差，正确把握相关定义是解题关键．

4．下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A．y=﹣

B．y= C．y=﹣（x＞0）

D．y=（x＜0）

k＞0， 【分析】根据反比例函数的性质：图象在每一象限内y随x的增大而减小，可得答案． 【解答】解：A、y=﹣中k=﹣1＜0，图象在每一象限内y随x的增大而增大，故A错误；B、y=中k=1＞0，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而减小，但函数在x的整个取值范围内并不满足y随x的增大而减小，故B错误； C、y=﹣中k=﹣1＜0，图象在每一象限内y随x的增大而增大，故C错误； D、y=中k=1＞0，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，故D正确； 故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，k＞0，图象在每一象限内y随x的增大而减小，k=﹣1＜0，图象在每一象限内y随x的增大而增大．

5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD相交于点O，已知△AOD和△AOB的面积分别为2和4，则△ACD的面积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据题意求出△ADB的面积，根据等底同高的三角形的面积相等解答即可． 【解答】解：∵△AOD和△AOB的面积分别为2和4， ∴△ADB的面积为6， ∵AD∥BC，

∴△ACD的面积=△ADB的面积=6， 故选：D．

【点评】本题考查的是梯形的性质和三角形的面积计算，掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．

6．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，则圆心O关于直线AB的对称点O′和⊙O的位置关系是（ ）

A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定

【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB，并作点O关于AB的对称点O′，设⊙O的半径为R，则OD=

，可得OO′，利用圆和直线的位置关系可得结论．

【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，并作点O关于AB的对称点O′，设⊙O的半径为R，

∵OD⊥AB，△ABC为正三角形， 则OD=AOsin30°=R， ∴OO′=R，

∴圆心O关于直线AB的对称点O′和⊙O的位置关系是在圆上，

故选B．

【点评】本题主要考查了圆和直线的位置关系，掌握点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外?d＞r；②点P在圆上?d=r；①点P在圆内?d＜r是解答此题的关键

二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分） 7．计算：

= 5

．

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案． 【解答】解：原式=故答案为：5

．

=5

．

【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．

8．分解因式：4x2﹣y2= （2x+y）（2x﹣y） ．

【分析】没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式． 【解答】解：4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y）．

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，是基础题．

9．已知函数f（x）=

，那么f（10）= 2 ．

【分析】根据已知直接将x=10代入求出答案． 【解答】解：∵f（x）=∴f（10）=故答案为：2．

【点评】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键．

=2．

，

10．函数

中自变量x的取值范围是 x≥2 ．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【解答】解：依题意，得x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2．

【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 11．方程

的根是 x=10 ．

【分析】把方程两边平方去根号后求解． 【解答】解：两边平方得：x﹣1=9 x=10．

检验：当x=10时， 原方程的左边=3，右边=3 ∴x=10是原方程的根． 故答案为：10．

【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，要把求得的x的值代入原方程进行检验．

12．不等式：

＜

的解集是 x＜2 ．

【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【解答】解：去分母，得3x﹣6＜4﹣2x， 移项合并，得5x＜10， 系数化为1，得x＜2． 故答案是：x＜2．

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意在不等式两边都除以一个负数时，应改变不等号的方向这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：

①在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； ②在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； ③在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

13．在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机的摸取一个球，摸到的是黄球的概率是

．

【分析】先求出球的总个数，再用黄球的个数÷球的总个数可得黄球的概率．

【解答】解：∵一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的红球4个、白球5个、黄球3个，共12个，

∴从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．已知一次函数y=kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），则一次函数解析式为 y=x+3 ．

【分析】先根据截距可确定b的值，利用待定系数法可求得一次函数的解析式． 【解答】解：因为一次函数y=kx+b在y轴上的截距为3， 所以b=3，

设一次函数的解析式为y=kx+3， 把x=1，y=4代入解析式可得：4=k+3， 解得：k=1

所以一次函数的解析式为：y=x+3， 故答案为：y=x+3

【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答本题要注意待定系数法求一次函数的解析式．

=，

15．如图，点G是△ABC的重心，DE过点G且平行于BC，点D、E分别在AB、AC上，设

=，

=，那么

=

﹣

．（用、表示）

【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），求得

与

的数量关系，然后再根据

=

﹣

，可得

与

、

的数量关系．

【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点F．

∵DE∥BC，

∴AG：AF=DE：BC； 又∵点G是△ABC的重心， ∴AG：AF=2：3， ∴DE：BC=2：3；即∵∴

=

﹣

， ﹣

）=．

﹣

，

：

=2：3；

=（

故答案为： ﹣

【点评】本题主要考查了三角形的重心、平面向量．在解答此题时要注意两点：①三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即AG：GF=2：1，而不是AG：AF=2：1；②平面向量是有方向的．

16．学习了统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制一幅不完整的统计图（如图所示）．已知骑车的人数占全班人数的30%，结合图中提供的信息，可得该班步行上学的有 8 人．

【分析】根据题意和统计图可知骑车的人数有12人占总数的30%，从而可以得到调查的学生总数，进而可以得到步行的学生人数． 【解答】解：由题意可得， 调查的学生数为：12÷30%=40，

故该班步行上学的学生有：40﹣20﹣12=8（人）， 故答案为：8．

【点评】本题考查条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

17．当相交的两个圆，其中任意一个圆的圆心都在另一圆的外部时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别为3和4，且两圆“外相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是 4＜d＜7 ．

【分析】先利用两圆相交的判定方法得到1＜d＜7，再根据“外相交”的定义得到d＞3且d＞4，然后根据写出满足所有不等式的公共部分即可． 【解答】解：∵⊙O1、⊙O2相交， ∴4﹣3＜d＜4+3，即1＜d＜7， ∵两圆“外相交”， ∴d＞3且d＞4，

∴两圆的圆心距d的取值范围为4＜d＜7． 故答案为4＜d＜7．

【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离?d＞R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切?d=R﹣r（R＞r）；两圆内含?d＜R﹣r（R＞r）．

18．如图，Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着C点旋转，使得B点落在AB上的B′处，A点落在A′处，则AA′=

．

【分析】由旋转的性质可证明△ACA′∽△BCB′，依据相似三角形的性质可得到AA′=BB′，接下来，过点C作CD⊥AB，然后依据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可求得BB′的长，从而得到问题的答案． 【解答】解：过点C作CD⊥BB′．

∵BC=B′C

∵由旋转的性质可知：AC=A′C、∠BCB′=∠ACA′，BC=B′C， ∴△ACA′∽△BCB′． ∴AA′：BB′=4：3． ∴AA′=BB′． ∵BC=B′C，DC⊥BB′， ∴BD=B′D．

∴BB′=2BD=2×3×=∴AA′=

×=

．

．

．

故答案为：

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得BB′的长以及AA′与BB′的关系是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分78分） 19．计算：

+（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+

）0．

【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和开方，然后根据同级运算要按照从左到右的顺序进行，求出算式【解答】解：=2=2

+4﹣9+1 ﹣4

+（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+

）0

）0的值是多少即可．

+（﹣2）2﹣（）﹣2+（π+

【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．

①a﹣p=（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

20．解分式方程：

．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16=x﹣2， 整理得：x2+3x﹣10=0，即（x﹣2）（x+5）=0， 解得：x=2或x=﹣5，

经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣5．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

21．现要建造一段铁路，其路基的横断面ABCD是等腰梯形，上底CD=8米，高DH为2.5米，坡度i=1：1.2． （1）求路基底AB的长；

（2）一段铁路长为2000米，工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，原计划需要55天，但在开工时，甲工程队改进了设备，工作效率提高了25%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（路基的土方=路基的横断面的面积×路的长度）

【分析】（1）要求AB长度需求AE长度和BE长度．依据题意可知，需从C点向AB作垂线，垂足为F，求得BF长度，则可求出答案；

（2）根据计划和实际分别列出两个等量关系式，根据方程组求解． 【解答】 解：（1）过点C作CF⊥AB于点F， ∵路基的横断面ABCD是等腰梯形， ∴AH=FC，

∵高DH为2.5米，坡度i=1：1.2， ∴

=

=

，

解得：AH=3， 则AH=BF=3m， ∵DC=8m， ∴HF=8m，

故AB=AH+HF+FB=14m， 答：路基底AB的长为14m；

（2）设原计划甲每天完成x土方，乙每天完成y土方； v=sh=×2.5×（8+14）×2000=55000（立方），

由题意得：解得

．

，

答：甲工程队原计划每天完成400土方，乙工程队原计划每天完成600土方．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及二元一次方程组的应用，注意过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形是常用辅助线方法．

22．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于C、D两点，和x轴交于A点，y轴交于B点．已知点C的坐标为（3，6），CD=2BC． （1）求点D的坐标及一次函数的解析式； （2）求△COD的面积．

【分析】（1）由点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数m的值，根据比例关系即可找出点D的横坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征和m得值即可得出点D的坐标，再结合点C、D的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）过点C（3，6）， ∴m=3×6=18．

∵CD=2BC，BD=BC+CD， ∴BD=3BC，

∴点D的横坐标为3×3=9．

∵点D在反比例函数y=的图象上， ∴点D的坐标为（9，2）．

把点C（3，6）、点D（9，2）代入到一次函数y=kx+b（k≠0）中得：

，解得：

．

∴一次函数的解析式为y=﹣x+8．

（2）令一次函数y=﹣x+8中y=0，则0=﹣x+8，解得：x=12， 即点A的坐标为（12，0）．

∴S△COD=S△OAC﹣S△OAD=OA（yC﹣yD）=×12×（6﹣2）=24．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出点A的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

23．如图，已知△ABC中，AB=AC，将△ABC沿着EF折叠，使点B落在边AC上，记为点D，且DF=DC．

（1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）求证：

=

．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠DFC，证出BE∥DF，得出∠ABC+BE=DE，∠BFD=180°，由折叠的性质得：∠EDF=∠ABC，证出DE∥BC，得出四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论；

（2）由平行线得出得出△ADE∽△ABC，得出比例式再由菱形的性质得出DE=DF=DC，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB=AC，DF=DC，

，

，证出AE=AD，

∴∠ABC=∠C=∠DFC， ∴BE∥DF，

∴∠ABC+∠BFD=180°，

由折叠的性质得：BE=DE，∠EDF=∠ABC， ∴∠EDF+∠BFD=180°， ∴DE∥BC，

∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BE=DE，

∴四边形EBFD是菱形；

（2）证明：由（1）得：DE∥BC，四边形EBFD是菱形， ∴△ADE∽△ABC，DE=DF=DC， ∴

，

，

∵AB=AC， ∴AE=AD， ∴

=

．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质，证明四边形EBFD是菱形是解决问题的关键．

24．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求这个二次函数的解析式； （2）联结AC，求∠BAC的正切值；

（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．

【分析】（1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；

（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值；

（3）分类讨论：当∠APC=90°时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，利用（2）中结论得tan∠PAC=

=，则PC=AC，设P（t，t+1），

然后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+1﹣1）2=20，再解方程求出t即可得到时P点坐标．

【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1 ∴直线AB的解析式为y=x+1， ∵当x=0时，y=x+1=1， ∴B（0，1），

把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1； （2）如图，

∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴C（1，0），

∴BC2=12+12=2，AB2=32+（4﹣1）2=18，AC2=（3﹣1）2+42=20， 而2+18=20， ∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，

，解得

，

∴tan∠BAC===；

（3）当∠APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）； 当∠ACP=90°时，∵tan∠PAC=∴PC=AC， 设P（t，t+1），

∴t2+（t+1﹣1）2=20，解得t1=﹣﹣

+1），

，﹣

+1）．

，t2=

（舍去），此时P点坐标为（﹣

，

=，

综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（﹣

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．

25．如图，?ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G． （1）若DE⊥AB时，求DE的长度；

（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．

【分析】（1）DE⊥AB时，根据sinA=即可解决问题．

（2）如图2中，作DM⊥AB于M，根据DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解决问题．（3）分三种情形①BF=BG，②FB=FG，③GB=GF，根据BF∥AD，得出比例式，列方程即可解决．

【解答】解：（1）如图1中，

∵DE⊥AB， ∴sinA=

=，

∵AD=10， ∴DE=8． （2）如图2中，

作DM⊥AB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=AB﹣AM=8﹣6=2， ∴DG2=DM2+MG2，

∵∠DGE=∠DGA，∠GDE=∠A， ∴△DGE∽△AGD， ∴

=

，

∴DG2=AGEG， ∴DM2+MG2=AGEG，

∴82+（2+y）2=（8+y）（8+y﹣x）， ∴y=

（0＜x＜8）

（3）①当BF=FG时，∵BF∥AD， ∴

=

，

∴AD=AG=10， ∴y=2，即∴AE=2．

②当FB=FG时，∵BF∥AD， ∴

=

，

=2，解得x=2，

∴AD=DG=10， ∵DM⊥AG， ∴AM=MB=6， ∴AG=12， ∴y=4，即解得x=

．

=4，

③当GB=GF时，∵BF∥AD，∠GBF=∠BFG， ∴∠A=∠GBF，∠ADG=∠BFG， ∴∠A=∠ADG， ∵∠A=∠EDG， ∴∠EDG=∠ADG，

∴此时点E与点A重合，不合题意． 综上所述AE=2或

时，△BFG是等腰三角形．

【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．

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