福建省泉州市南安市中考数学模拟试卷（含解析）

中考数学模拟试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．﹣2017的倒数是（ ） A．2017 B．﹣2017 C．2．下列计算正确的是（ ） A．a+a=a

2

D．﹣

B．a?a=a C．（﹣a）=a

23329

D．（3a）=9a

33

3．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是（ ）

A． B． C． D．

4．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形

5．为促进朗诵艺术的普及、发展，挖掘播音主持人才，某校初二年级举办朗诵大赛，凡凡同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） 中位数 9.2 众数 9.3 平均数 9.1 方差 0.3 A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

6．已知点P（3﹣3a，1﹣2a）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

7．正六边形的外接圆半径为1，则它的内切圆半径为（ ） A．

B．

C．

D．1

=1的解是负数，则a的取值范围是（ ）

8．已知关于x的分式方程

A．a＜1 B．a＞1 C．a＞1且a≠2 D．a＜1且a≠

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=130°，则∠ACB的度数是（ ）

1

A．115° B．120° C．125° D．130°

10．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），其部分图象如图所示，给出下列四个结论：

①a＜0； ②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b=0；④若点P（x0，y0）在抛物线上，则ax02+bx0+c≤a﹣b+c．其中结论正确的是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 11．因式分解：m+6m+9= ．

12．共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区提供自行车单车共享服务．截至去年底，中国共享单车市场整体用户数已达到18860000，这个数据用科学记数法表示为 ． 13．方程x﹣5x=0的解是 ．

14．已知三角形的两边分别是2cm和4cm，现从长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm五根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是 ．

15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，连接AE、DE，若AD=DE=2，∠BAE=15°，则CE的长为 ．

2

2

16．如图，已知一次函数y=kx﹣4k+5的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（p，q）．当一次函数y的值随x的值增大而增大时，p的取值范围是 ．

2

三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 17．计算：（）﹣2+（

+

）0﹣

÷

．

18．请先将下式化简，再选择一个使原式有意义的数代入求值． （

﹣1）÷

．

19．如图，点A、B、E、D在同一直线上，AC∥DF，AE=BD，AC=DF． 求证：∠C=∠F．

20．某中学组织学生参加交通安全知识网络测试活动．小王对九年（3）班全体学生的测试成绩进行了统计，并将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，绘制成如下的统计图（不完整），请你根据图中所给的信息解答下列问题： （1）九年（3）班有 名学生，并把折线统计图补充完整；

（2）已知该市共有12000名中学生参加了这次交通安全知识测试，请你根据该班成绩估计该市在这次测试中成绩为优秀的人数；

（3）小王查了该市教育网站发现，全市参加本次测试的学生中，成绩为优秀的有5400人，请你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因；

（4）该班从成绩前3名（2男1女）的学生中随机抽取2名参加复赛，请用树状图或列表法求出抽到“一男一女”的概率．

3

21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12．

（1）用尺规作图的方法作AB的垂直平分线MN，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求第（1）题中的CM的长．

22．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲从A地去B地，乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速度是原来的2倍，如图是甲、乙两人离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题： （1）A、B两地的距离是 千米，a= ； （2）求P的坐标，并解释它的实际意义；

（3）请直接写出当x取何值时，甲乙两人相距15千米．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当BD=3，DF=

时，求直径AB．

4

24．如图，直线y=x+n与x轴交于点A，与y轴交于点B（点A与点B不重合），抛物线y=﹣x2﹣2x+c经过点A、B，抛物线的顶点为C． （1）∠BAO= °； （2）求tan∠CAB的值；

（3）在抛物线上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

25．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且EG、FH均过正方形的中心O．

（1）填空：OH OF （“＞”、“＜”、“=”）；

（2）当四边形EFGH为矩形时，请问线段AE与AH应满足什么数量关系； （3）当四边形EFGH为正方形时，AO与EH交于点P，求OP2+PH?PE的最小值．

5

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．﹣2017的倒数是（ ） A．2017 B．﹣2017 C．【考点】17：倒数．

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解：﹣2017的倒数是﹣故选：D．

2．下列计算正确的是（ ） A．a+a=a

2

D．﹣

，

B．a?a=a C．（﹣a）=a

23329

D．（3a）=9a

33

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．

【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．

【解答】解：A、a+a=2a，故原题计算错误； B、a?a2=a3，故原题计算正确； C、（﹣a）=a，故原题计算错误； D、（3a）3=27a3，故原题计算错误； 故选：B．

3．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是（ ）

3

2

6

A． B． C． D．

【考点】U1：简单几何体的三视图．

6

【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形． 【解答】解：A、正方体的左视图与主视图是全等的正方形，不符合题意； B、长方体的左视图和主视图分别是不全等的长方形，符合题意； C、球的左视图与主视图是全等的圆形，不符合题意； D、圆锥的左视图和主视图是全等的等腰三角形，不符合题意； 故选B．

4．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）?180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得， （n﹣2）?180°=3×360°， 解得n=8，

∴这个多边形为八边形． 故选C．

5．为促进朗诵艺术的普及、发展，挖掘播音主持人才，某校初二年级举办朗诵大赛，凡凡同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） 中位数 9.2 众数 9.3 平均数 9.1 方差 0.3 A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

【考点】W7：方差；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．

【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．

【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：A．

7

6．已知点P（3﹣3a，1﹣2a）在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集；D1：点的坐标． 【分析】由点P在第四象限，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵点P（3﹣3a，1﹣2a）在第四象限， ∴

，

解不等式①得：a＜1； 解不等式②得：a＞． ∴a的取值范围为＜a＜1． 故选C．

7．正六边形的外接圆半径为1，则它的内切圆半径为（ ） A．

B．

C．

D．1

【考点】MM：正多边形和圆．

【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB，OG； ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=60°， ∴OG=OA?sin60°=1×

=

，

∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．

故选B．

8

8．已知关于x的分式方程

=1的解是负数，则a的取值范围是（ ）

A．a＜1 B．a＞1 C．a＞1且a≠2 D．a＜1且a≠ 【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．

【分析】求出方程的解，根据已知方程的解为负数和x+1是分母得出2a﹣2＜0，x+1≠0，求出即可． 【解答】解：x+1=2a﹣1， x=2a﹣2， ∵关于x的分式方程∴2a﹣2＜0，x+1≠0， ∴a＜1，2a﹣2≠﹣1， ∴a＜1且a≠， 故选D．

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=130°，则∠ACB的度数是（ ）

=1的解是负数， =1，

A．115° B．120° C．125° D．130°

【考点】M5：圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，

9

则∠ADB=AOB=65°，

∴∠ACB=180°﹣∠ADB=115°． 故选A．

10．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），其部分图象如图所示，给出下列四个结论：

①a＜0； ②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b=0；④若点P（x0，y0）在抛物线上，则ax02+bx0+c≤a﹣b+c．其中结论正确的是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【分析】利用抛物线开口方向可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；利用顶点坐标得到抛物线的对称轴，然后利用对称轴方程可对③进行判断；利用二次函数的性质可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b﹣4ac＞0，所以②正确；

∵抛物线y=ax+bx+c的顶点为D（﹣1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣

=﹣1，

2

2

∴b=2a，即2a﹣b=0，所以③正确； ∵抛物线y=ax+bx+c的顶点为D（﹣1，2）， ∴x=﹣1时，y有最大值2，

∴点P（x0，y0）在抛物线上，则ax02+bx0+c≤a﹣b+c，所以④正确． 故选D．

2

10

二、填空题（每小题4分，共24分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 11．因式分解：m2+6m+9= （m+3）2 ． 【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【分析】直接运用完全平方公式进行分解． 【解答】解：m+6m+9=（m+3）．

12．共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区提供自行车单车共享服务．截至去年底，中国共享单车市场整体用户数已达到18860000，这个数据用科学记数法表示为 1.886×107 ．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：18 860 000=1.886×10， 故答案为：1.886×107．

13．方程x﹣5x=0的解是 x1=0，x2=5 ． 【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法． 【解答】解：直接因式分解得x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5．

14．已知三角形的两边分别是2cm和4cm，现从长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm五根小木棒中随机抽一根，抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率是 【考点】X4：概率公式．

【分析】根据三角形三边的关系确定三角形第三边的取值范围，然后根据概率公式求解． 【解答】解：∵三角形的两边分别是2cm和4cm， ∴第三边取值为大于2cm小于6cm，

∴2cm、3cm、4cm、5cm、6cm五根小木棒中3cm、4cm、5cm三根小棒满足条件，

．

2

7

n

2

2

11

∴抽到的木棒能作为该三角形第三边的概率为， 故答案为．

15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，连接AE、DE，若AD=DE=2，∠BAE=15°，则CE的长为

．

【考点】LB：矩形的性质．

【分析】只要证明∠ADE=∠EDC=30°，在Rt△DEC中，根据EC=DE?cos30°计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠C=90°，AD∥BC， ∵∠BAE=15°， ∴∠DAE=75°， ∵DA=DE，

∴∠DAE=∠DEA=75°， ∴∠ADE=∠EDC=30°， ∴EC=DE?cos30°=2×故答案为

．

=

，

16．如图，已知一次函数y=kx﹣4k+5的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（p，q）．当一次函数y的值随x的值增大而增大时，p的取值范围是

＜p＜4 ．

12

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】先根据一次函数的解析式，得到一次函数y=kx﹣4k+5的图象经过点（4，5），过点（4，5）分别作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于B点和C点，根据点A（p，q）只能在B点与C点之间，即可求得p的取值范围是＜p＜4． 【解答】解：一次函数y=kx﹣4k+5中，令x=4，则y=5， 故一次函数y=kx﹣4k+5的图象经过点（4，5），

如图所示，过点（4，5）分别作y轴与x轴的垂线，分别交反比例函数图象于B点和C点， 把y=5代入y=，得x=； 把x=4代入y=，得y=，

所以B点坐标为（，5），C点坐标为（4，）， 因为一次函数y的值随x的值增大而增大， 所以点A（p，q）只能在B点与C点之间的曲线上， 所以p的取值范围是＜p＜4． 故答案为：＜p＜4．

三、解答题（共86分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．

13

17．计算：（）+（

﹣2

+）﹣

0

÷．

【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂． 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂的意义和二次根式的除法法则运算． 【解答】解：原式=4+1﹣=5﹣3 =2．

18．请先将下式化简，再选择一个使原式有意义的数代入求值． （

﹣1）÷

．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=当a=2时，原式=2﹣1=1．

19．如图，点A、B、E、D在同一直线上，AC∥DF，AE=BD，AC=DF． 求证：∠C=∠F．

?

=

?

=a﹣1，

【考点】KD：全等三角形的判定与性质．

【分析】先根据平行线的性质，以及等式性质，得出∠A=∠D，AB=DE，进而判定△ABC≌△DEF，进而得出∠C=∠F． 【解答】证明：∵AC∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=BD， ∴AE=BE=BD﹣BE， 即AB=DE，

14

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠C=∠F．

20．某中学组织学生参加交通安全知识网络测试活动．小王对九年（3）班全体学生的测试成绩进行了统计，并将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，绘制成如下的统计图（不完整），请你根据图中所给的信息解答下列问题： （1）九年（3）班有 50 名学生，并把折线统计图补充完整；

（2）已知该市共有12000名中学生参加了这次交通安全知识测试，请你根据该班成绩估计该市在这次测试中成绩为优秀的人数；

（3）小王查了该市教育网站发现，全市参加本次测试的学生中，成绩为优秀的有5400人，请你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因；

（4）该班从成绩前3名（2男1女）的学生中随机抽取2名参加复赛，请用树状图或列表法求出抽到“一男一女”的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VD：折线统计图． 【分析】（1）根据成绩为良好的人数以及百分比，即可得到九年（3）班的人数，根据成绩为一般的人数为：50﹣15﹣20﹣5=10（人），即可补充折线统计图；

（2）利用该市中学生总数乘以成绩为优秀的人数所占的百分比，即可得到结论；

15

（3）根据样本是否具有代表性和广泛性，说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因；

（4）根据题意列表，进而求出抽到“一男一女”的概率． 【解答】解：（1）20÷40%=50（人）；

成绩为一般的人数为：50﹣15﹣20﹣5=10（人） 折线统计图如图所示：

故答案为：50；

（2）该市在这次测试中成绩为优秀的人数为：12000×

=3600（人），

答：估计该市在这次测试中成绩为优秀的人数为3600人； （3）实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因：

小王只抽查了九年（3）班的测试成绩，对于全市来讲不具有代表性，且抽查的样本只有50名学生，对于全市12000名中学生来讲不具有广泛性； （4）列表如下：

男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 由上表知：P（一男一女）==．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12．

（1）用尺规作图的方法作AB的垂直平分线MN，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求第（1）题中的CM的长．

16

【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．

【分析】（1）根据尺规作图的方法，作AB的垂直平分线MN，分别交BC、AB于点M、N； （2）根据线段垂直平分线的性质，得出∠BAM=∠B=30°，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠CAM=90°，再根据含30度角的直角三角形的性质，得出MC=2AM=2BM，最后求得CM的长．

【解答】解：（1）如图所示，MN即为所求；

（2）如图，连结AM， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴MB=MA

∴∠BAM=∠B=30°， ∴∠AMC=30°+30°=60°， 又∵AB=AC， ∴∠C=∠B=30°，

∴∠CAM=180°﹣60°﹣30°=90°， ∵在Rt△ACM中，∠C=30°， ∴MC=2AM=2BM， 又∵BC=12， ∴3BM=12，即BM=4， ∴MC=2BM=8．

22．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲从A地去B地，乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速度是原来的2倍，如图是甲、乙两人离B地的距离y（千米）和时间x

17

（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题： （1）A、B两地的距离是 90 千米，a= 2 ； （2）求P的坐标，并解释它的实际意义；

（3）请直接写出当x取何值时，甲乙两人相距15千米．

【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）观察函数图象即可得出A、B两地的距离，由乙往返需要3小时结合返回时的速度是原来的2倍，即可求出a值；

（2）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙离B地的距离y和时间x之间的函数关系式，令两函数关系式相等即可求出点P的坐标，再解释出它的实际意义即可； （3）分0≤x＜1.2、1.2≤x＜2和2≤x≤3三段，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）观察函数图象可知：A、B两地的距离是90千米， ∵乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速度是原来的2倍， ∴a=3×

=2．

故答案为：90；2．

（2）设甲离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数关系式为y=kx+b，乙离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数关系式为y=mx+n， 将（0，90）、（3，0）代入y=kx+b中，

，解得：

，

∴甲离B地的距离y和时间x之间的函数关系式为y=﹣30+90； 将（0，0）、（2，90）代入y=mx+n中，

，解得：

，

∴此时y=45x（0≤x≤2）；

将（2，90）、（3，0）代入y=mx+n中，

18

，解得：，

此时y=﹣90x+270（2≤x≤3）．

∴乙离B地的距离y和时间x之间的函数关系式为y=令y=﹣30+90=45x，解得：x=1.2， 当x=1.2时，y=45x=45×1.2=54， ∴点P的坐标为（1.2，54）．

点P的实际意义是：甲、乙分别从A、B两地出发，经过1.2小时相遇，这时离B地的距离为54千米．

（3）当0≤x＜1.2时，﹣30x+90﹣45x=15， 解得：x=1；

当1.2≤x＜2时，45x﹣（﹣30x+90）=15， 解得：x=1.4；

当2≤x≤3时，﹣90x+270﹣（﹣30x+90）=15， 解得：x=2.75．

综上所述：当x为1、1.4或2.75时，甲乙两人相距15千米．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点E． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）当BD=3，DF=

时，求直径AB．

．

【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．

【分析】（1）连结OD．根据垂直的定义得到∠DFA=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=

19

∠C，∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠C，根据平行线的性质得到∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF．于是得到结论；

（2）连结AD，根据勾股定理得到CF==，根据相似三角形的性质得到AF=

=

，于是得到结论．

【解答】（1）证明：连结OD． ∵EF⊥AC， ∴∠DFA=90°， ∵AB=AC， ∴∠1=∠C， ∵OB=OD， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠C， ∴OD∥AC，

∴∠EDO=∠DFA=90°，即OD⊥EF． ∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连结AD， ∵AB是直径 ∴AD⊥BC， 又AB=AC， ∴CD=BD=3， 在Rt△CFD中，DF=，

∴CF=

=，

在Rt△CFD中，DF⊥AC， ∴△CFD∽△DFA， ∴

=

，即AF=

=，

∴AC=CF+AF=+=5，

∴AB=AC=5．

20

24．如图，直线y=x+n与x轴交于点A，与y轴交于点B（点A与点B不重合），抛物线y=﹣x﹣2x+c经过点A、B，抛物线的顶点为C． （1）∠BAO= 45 °； （2）求tan∠CAB的值；

（3）在抛物线上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）求直线AB与两坐标轴的交点坐标，得OA=OB，可得结论；

（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，证明∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，利用勾股定理计算BC和AB的长，根据正切的定义代入求值即可；

（3）分两种情况：①当点P在CA左侧时，如图2，延长BD交抛物线于点E，此时，点P与点E重合，点P的坐标是（﹣4，6）；

②当点P在CA右侧时，如图3，作辅助线，直线CF与抛物线的交点就是P点． 【解答】解：（1）y=x+n， 当x=0时，y=n，则B（0，n）， 当y=0时，x=﹣n，则A（﹣n，0）， ∴OA=OB=n，

21

∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45°， 故答案为：45；

（2）由（1）得：B（0，n），A（﹣n，0）， ∵抛物线y=﹣x2﹣2x+c经过点A、B

∴，解得或（舍去）

∴A（﹣6，0），B（0，6），直线AB的解析式为：y=x+6， 抛物线为：y=﹣

﹣2x+6=﹣（x+2）2

+8，

∴抛物线的顶点为C（﹣2，8）， 设抛物线的对称轴为直线l，连结BC，

如图1，过点B作BD⊥l，则BD=CD=2，BD∥x轴， ∴∠CBD=45°， 又BD∥x轴， ∴∠DBA=∠BAO=45°， ∴∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°， 在Rt△CDB中，BC==2， 在Rt△AOB中，AB==6

，

∴在Rt△ABC中，tan∠CAB==；

（3）①当点P在CA左侧时，如图2，

延长BD交抛物线于点E，当∠PCA=∠BAC时，CP∥AB， 此时，点P与点E重合，点P的坐标是（﹣4，6）；

②当点P在CA右侧时，如图3，过点A作AC的垂线交CP于点F，过点A作y轴的平行线m，过点C作CM⊥m，过点F作FN⊥m， 由于tan∠BAC=，所以tan∠ACF=tan∠ACP=， ∵Rt△CMA∽Rt△ANF，

22

∴，，AN=CM=，NF=MA=，

∴F（﹣

，﹣）；

易求得直线CF的解析式为：y=7x+22， 由

，消去y，得x2

+18x+32=0，

解得x=16或x=﹣2（舍去）， 因此点P的坐标（﹣16，﹣90）；

综上所述，P的坐标是（﹣4，6）或（﹣16，﹣90）．

23

25．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点（不含端点），且EG、FH均过正方形的中心O．

（1）填空：OH = OF （“＞”、“＜”、“=”）；

（2）当四边形EFGH为矩形时，请问线段AE与AH应满足什么数量关系； （3）当四边形EFGH为正方形时，AO与EH交于点P，求OP+PH?PE的最小值．

2

【考点】SO：相似形综合题；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论；

24

（2）根据相似三角形的对应边成比例，即可得出AE=AH，或AE+AH=1；

（3）根据△OPH∽△EPA，即可得到PH×PE=OP×AP，据此可得OP2+PH×PE=OP2+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA，再根据△OPE∽△OEA，即可得到OP×OA=OE2，据此可得OP2+PH×PE=OE2，最后根据OE的最小值求得OP2

+PH?PE的最小值． 【解答】解：（1）如图所示，∵正方形ABCD， ∴AO=CO，∠OAH=∠OCF=45°， 又∵∠AOH=∠COF， ∴△AOH≌△COF， ∴OH=OF； 故答案为：=；

（2）当四边形EFGH为矩形时，∠HEF=90°， ∴∠AEH+∠BEF=90°，

在正方形ABCD中，∠HAE=∠EBF=90°， ∴∠AEH+∠AHF=90°， ∴∠AHE=∠BEF， ∴△AEH∽△BFE， ∴

=

，

令AE=x，AH=y，则BF=1﹣y，BE=1﹣x， ∴

=

，

即x﹣y=x2

﹣y2

=（x+y）（x﹣y）， ∴x=y或x+y=1， ∴AE=AH，或AE+AH=1；

（3）如图所示，当四边形EFGH为正方形时，∠HOE=90°，OH=OE， ∴∠OEH=∠OHE=45°， ∴∠OHP=∠PAE=45°， ∵∠HPO=∠APE， ∴△OPH∽△EPA，

25

∴

=，即PH×PE=OP×AP，

∴OP2

+PH×PE=OP2

+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA， ∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA， ∴△OPE∽△OEA， ∴

=，即OP×OA=OE2，

∴OP2

+PH×PE=OE2

，

∵当OE⊥AB时，OE最小，此时OE=， ∴当OE=时，OP2

+PH×PE最小，且等于．

26

∴

=，即PH×PE=OP×AP，

∴OP2

+PH×PE=OP2

+OP×AP=OP（OP+AP）=OP×OA， ∵∠OEP=∠OAE=45°，∠POE=∠EOA， ∴△OPE∽△OEA， ∴

=，即OP×OA=OE2，

∴OP2

+PH×PE=OE2

，

∵当OE⊥AB时，OE最小，此时OE=， ∴当OE=时，OP2

+PH×PE最小，且等于．

26

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