Hermite矩阵与反Hermite矩阵

Hermite矩阵与反Hermite矩阵

摘 要

Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.

关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.

Abstract

The Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.

Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix

目 录

一、引言 ································································································· (01) 二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 ··························· (01) 三、Hermite矩阵的性质定理

（一）Hermite矩阵的性质 ··································································(02) （二）Hermite矩阵的定理 ··································································(02) （三）Hermite矩阵的正定性 ······························································(05)

四、反Hermite矩阵的性质定理

（一）反Hermite矩阵的性质 ·····························································(14) （二）反Hermite矩阵的定理 ·····························································(15)

五、结论 ································································································· (20) 参考文献 ················································································· (21) 致谢 ························································································· (22)

Hermite矩阵与反Hermite矩阵

一、引言

众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.

作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite矩阵正定性几个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.

二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义

定义 1 设A是一个n阶复矩阵，即A?Cn′n，AH为A的共轭转置，AH=A， 则将称A为Hermite 矩阵.若A=-AH，则称之为反Hermite矩阵.

定义 2 设A是一个n阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n维复向量X，均有XHAX>0，则称A为Hermite 正定矩阵.

定义 3 设A是一个n阶复矩阵，AH为A的共轭转置，若AAH=AHA，则称A为正规矩阵.

定义 4 设A是一个n阶复矩阵，AH为A的共轭转置，AHA=AAH=E，

1

则将称A为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.

三、Hermite矩阵的性质定理

（一）Hermite矩阵的性质

由Hermite矩阵的定义可知，Hermite矩阵具有如下简单的性质

[1][2]：

（1）对所有A?Cn′n，则A+AH，AAH和AHA都是Hermite矩阵； （2）如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵； （3）如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；

（4）如果A，B是Hermite矩阵，则对实数k，p，kA+pB也是Hermite矩阵；

（5）如果A，B是Hermite矩阵，则AB是Hermite矩阵的充分必要条件是

AB=BA；

（6）A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n阶方阵S，SHAS是Hermite矩阵.

（二）Hermite矩阵的定理

定理3-1 若A是n阶复矩阵，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意X?Cn，XHAX是实数；

证明 必要性 因为XHAX是数，所以

(XHAX)=(XHAX)H=XHAHX=XHAX

因此XHAX是实数.

充分性 因为对于任意X，Y?Cn，XHAX,YHAY，(X+Y)HA(X+Y)都是实数，而

(X+Y)HA(X+Y)=(XH+YH)A(X+Y)=XHAX+XHAY+YHAX+YHAY 于是对任意X，Y?Cn，XHAY+YHAX是实数，令

2

TTY=(0,?,0,1,0,?,0)X=(0,?,0,1,0,?,0)， ??????jk则XHAY+YHAX=ajk+akj是实数，这表明ajk与akj的虚部值相等，但符号相反，即

Im(ajk)=-Im(akj)

再令

TTY=(0,?,0,1,0,?,0)X=(0,?,0,i,0,?,0)， ??????jk其中i=-1，XHAY+YHAX=-iajk+iakj是实数，则ajk与akj的实部相等，即

Re(ajk)=Re(akj)

因此

ajk=akj，j,k=1,2,3,?,n

即A是Hermite矩阵.

定理3-2[4]（Hermite矩阵的谱定理） 设A?Cn′n是给定的，则A是Hermite矩阵当且仅当存在一个酉矩阵U?Cn′n和一个实对角矩阵L Cn′n，使得

UHAU=L=diag(l1,l2,?,ln)，其中l1,l2,?,ln均为实数，此外，A是实Hermite

矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵P?Cn′n和一个实对角矩阵

L Cn′n，使得PHAP=L=diag(l1,l2,?,ln)，其中l1,l2,?,ln均为实数.

虽然Hermite矩阵的实线性组合总是Hermite矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite矩阵，例如，如果A是Hermite矩阵，那么，只有当A=0时iA才是Hermite矩阵.另外，如果A和B是Hermite矩阵，那(AB)H=BHAH=BA，因此，AB是Hermite矩阵，当且仅当A与B可交换.

定理3-3 设A为n阶Hermite矩阵，则 （ⅰ）A是正规矩阵且所有特征值全是实数；

（ⅱ）A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.

证明 （ⅰ）A为n阶Hermite矩阵，由定理3-2可知A必酉相似于实对角矩阵L，即存在n阶酉矩阵U，使得

3

UHAU=L

其中L=diag(l1,l2,?,ln)，li(i=1,2,?,n)是A的是特征值，且

AHA=A2=AAH

即A是正规矩阵.

设AH=A，l为A的特征值，非零向量a为l的特征向量，即

Aa=la，aHAa=laHa

又

aHAa=(AHa)a=(Aa)Ha=laHa

所以

laHa=laHa

即 l=l 所以l为实数.

（ⅱ）设l，m是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x，y，则

Ax=lx，Ay=my

从而

yHAx=lyHx，xHAy=mxHy

因为A是Hermite矩阵，l，m均为实数，则

yHAx=myHx

于是

(l-m)yHx=0

由于l1m，故x与y正交.

]定理3-4[5（Hermite矩阵的惯性定理） 设H是n阶Hermite矩阵，则H（复）

合同与

4

骣Ip??A=?????桫-Iq÷÷÷÷， ÷÷÷0÷而且p,q由H唯一确定.其中A称为H的规范型，In表示n阶单位矩阵，p,q，

p-q分别称为H的正惯性指数、负惯性指数和符号差.

注：由惯性定理导出的Hermite矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .

下面讨论一下Hermite矩阵的正定性.

（三）Hermite矩阵的正定性

在讨论Hermite矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR分解定理及其引理.

n′n矩阵UR分解定理 设A?Cn，则A可以唯一地分解为

A=UR或A=RU11

其中U，U1?Un′n，R是正线上三角阵，R1是正线下三角阵。（即R和R1的主对角线上元素全是正的）.

引理 若A是正线上三角阵，又是酉矩阵，则A是单位阵.

与实对称矩阵一样，同样我们可以利用Hermite二次型的正定，来定义Hermite矩阵的正定.

定义 由n个复变量x1,x2,?xn，系数为复数的二次齐式

f(x1,x2,?xn)=邋nnaijxixj

（3-1）

i=1j=1其中aij=aji，称为Hermite二次型.记

骣a11????a21A=????????an1桫a12a22?an2?a1n÷÷÷?a2n÷÷÷ ÷?÷÷÷÷?ann÷则A为Hermite矩阵.我们称矩阵A为Hermite二次型矩阵，并且称A的秩为

5

Hermite二次型的秩.于是，Hermite二次型（3-1）可改写成

f(x)=xHAx

其中x=(x1,x2,?xn)T，因此，一个Hermite二次型与一个Hermite矩阵相对应.如果对任一组不全为零的实数x1,x2,?xn，都有f(x1,x2,?xn)>0( 0)，则称该二次型齐式是正定的（非负定的），并称相对应的Hermite矩阵A是正定的（非负定的）.

正定（非负定）矩阵具有如下基本性质： （1）单位矩阵I>0；

（2）若A>0，数k>0，则kA>0； （3）若A>0，B>0，则A+B>0； （4）若A30，B30，则A+B 0.

显然这些基本性质可以由定义直接推导得出，下面我们给出Hermite矩阵A正定（半正定）的条件.

定理3-5 设A是n阶Hermite矩阵，f(x)=xHAx，则下列命题等价： （1）A是正定矩阵；

（2）对任意n阶可逆矩阵P，PHAP都是Hermite正定矩阵； （3）A的n个特征值均为正数；

（4）存在n阶可逆矩阵P，使得PHAP=I； （5）存在n阶可逆矩阵Q，使得A=QHQ；

（6）存在正线上三角矩阵R,使得A=RHR，且分解是唯一的； （7）存在n阶可逆Hermite矩阵S，使得A=S2. 证明 首先按(1)揶(2)(3)揶(4)(5)揶(6)(1)进行证明.

(1)T(2) 对任意n阶可逆矩阵P及任意y?Cn且y10，y令x=P，则x?Cn且x10

yH(PHAP)y=xHAx>0

6

故PHAP是Hermite正定矩阵；

(2)T(3) 对Hermite矩阵A，存在酋矩阵U使得

UHAU=diag(l1,l2,?,ln)

（3-2）

其中l1,l2,?,ln为A的特征值，由定理3-5（2）知diag(l1,l2,?,ln)是正定矩阵，则l1,l2,?,ln均为正数；

(3)T(4) 因为A的特征值l1,l2,?,ln均为正数，令

P1=diag(则

111,,?,) l1l2lnHHHP1UAUP1=P1diag(l1,l2,?,ln)P1=I

令P=UP1，代入上式得

PHAP=I，P是可逆矩阵.

(4)T(5) 因为存在n阶可逆矩阵P使得PHAP=I，则令Q=P-1,有

A=QHQ

(5)T(6) 因为A=QHQ，其中Q为可逆矩阵，根据矩阵UR 分解定理得到

Q=U1R，其中U1是酉矩阵，R是正线上三角阵，因此

A=QHQ=RHU1HU1R=RHR

现证分解的唯一性：设A有两种正线上三角分解，即

A=RHR=R1HR1

故

E=(RH)-1R1HR1R-1=(R1R-1)H(R1R-1)

容易验证R1R-1仍是上三角阵，又由上式知R1R-1是酉矩阵，根据引理可得

R1R-1=E，即R1=R.

7

(6)T(1) 因为A=RHR，所以

f(x)=xHAx=xHRHRx=(Rx)H(Rx)

由于R为正线上三角阵，故当x10时，Rx10，于是

f(x)=xHAx=(Rx)H(Rx)>0

此即f(x)是正定的.

下面证明(5)T(1)，(1)?(7)

(5)T(1) 因为存在n阶可逆矩阵Q,使得A=QHQ，则对任意x?Cn且x10都有Qx10，从而xHAx=(Qx)H(Qx)>0.故A是正定矩阵.

(1)T(7) 设l为A的任一特征值，x为相应的特征向量，则

Ax=lx

因为A是正定矩阵，所以lxHx=xHAx>0，从而l>0.因此A的特征值均为正数.由（3-2）得

A=Udiag(l1,l2,?,ln)UH

其中l1,l2,?,ln为A的正特征值.令

S=Udiag(l1,l2,?,ln)UH

则S是n阶可逆Hermite矩阵，并且A=S2.

(7)T(1) 因为存在n阶可逆Hermite矩阵S使得A=S2=SHS，类似于(5)T(1)即知A是正定矩阵.

定理3-6 设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价 （1）A是非负定矩阵；

（2）对于任何n阶可逆矩阵P，都有PHAP是Hermite非负定矩阵； （3）A的n个特征值均为非负数；

骣Ir（4）存在n阶可逆矩阵P，使得PHAP=???0桫0÷ ，其中r=rank(A)； ÷÷0 8

骣l1p11l1p12?l1p1n鼢骣l1p11l2p12?lnp1n珑鼢珑珑鼢l2p21l2p22?l2p2n鼢l1p21l2p22?lnp2n珑鼢珑鼢= 珑鼢珑鼢???鼢???珑鼢珑珑鼢桫珑lnpn1lnpn2?lnpnn鼢l1pn1l2pn2?lnpnn桫比较等式两端得

lipij=ljpij，(i,j=1,2,?,n)

当li1lj时,pij=0,故lipij=于是有

diag(l1,l2,?,ln)UHU1=UHU1diag(l1,l2,?,ln)

ljpij；当li=lj时，lipij=ljpij，

即

H=H1

四、反Hermite矩阵的性质定理

（一）反Hermite矩阵的性质

根据反Hermite矩阵的定义可知，不难得出反Hermite矩阵具有如下一些性质

[1][2][3]：

（1）对所有A?Cn′n，A-AH是反Hermite矩阵； （2）如果A是反Hermite矩阵，则A'是反Hermite矩阵；

（3）如果A是反Hermite矩阵，则对正整数k，A2k是Hermite矩阵； （4）如果A是反Hermite矩阵，则A的奇数次方也是反Hermite矩阵；

B是反Hermite矩阵，p，（5） 如果A，则对实数k，kA+pB也是反Hermite矩阵；

（6）如果A，B是反Hermite矩阵，则AB是反Hermite矩阵的充分必要条件是AB=-BA；

（7）A是反Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意n阶方阵S，SHAS是反Hermite矩阵.

14

（8）偶数阶反Hermite矩阵的行列式为实数，奇数阶反Hermite矩阵的行列式为复数；

（9）若反Hermite矩阵A可逆，则A-1也是反Hermite矩阵 （10）若A是Hermite矩阵，则iA是反Hermite矩阵（i=（11）若A是反Hermite矩阵，则iA是Hermite矩阵（i=（12）任意A?Cn′n可写成

； -1）； -1）11A=(A+AH)+(A-AH)?H(A)22其中H(A)=S(A)，

11(A+AH)是A的Hermite部分，而S(A)=(A-AH)是A的反22Hermite部分；

（二）反Hermite矩阵的定理

定理4-1 每个A?Cn′n可以唯一地写成A=S+iT，其中S和T都是Hermite矩阵.

证明 把A写成

A=1(A+AH)+2Hi轾(-i2)(A-A) 犏臌由Hermite矩阵和反Hermite矩阵的基本性质可知，S=1(A+AH)和2T=(-i2)(A-AH)都是Hermite矩阵，根据唯一性论断，我们知道，如果

A=E+iF,其中E和F都是Hermite矩阵，那么

2S=A+AH=(E+iF)+(E+iF)H=E+iF+EH-iFH=2E

因而E=S.类似地可以证明F=T.

定理4-2 任一个n′n阶矩阵都可表示为一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵之和.

证明 设任一个n′n阶矩阵B，令

B=B1+B2，

B+B'B-B'其中B1=，B2=，由于

22

15

'骣骣B+B'鼢B+B珑'鼢B1=珑=鼢珑鼢珑2鼢桫2桫'B'+B==B1

2B'-B==-B2

2'骣骣B-B'鼢B-B珑'鼢B2=珑=鼢珑鼢珑2鼢桫2桫'B+B'B-B'显然B1=是Hermite矩阵，B2=是反Hermite矩阵.

22定理4-3 设A10，若A*（A的伴随矩阵）是偶数阶反Hermite矩阵，则 （ⅰ）A-1是反Hermite矩阵； （ⅱ）A'是反Hermite矩阵.

证明 （ⅰ） 设A10，A*是2m（m?Z+）阶反Hermite矩阵，即

(A)*'=-A*，由反Hermite矩阵的性质（8）知A*?R，又

AA*=A*A=AE，A10

故两边取行列式，得

(A)因此A?R，从而

*'=A2m-1 R

(A-1)'骣A*÷1*'1A**-1?÷=?=A=(-A)=-=-A， ()÷?÷?AAAA桫'从而A-1是反Hermite矩阵；

（ⅱ）令A=B，由于BB'-1=E，则(BB-1')=E'，从而(B-1')B'=E，

进而-B-1B'=E，于是B'=-B，因而A'是反Hermite矩阵.

定理4-4 若A是反Hermite矩阵，则

（ⅰ）A的主对角线上的元素均为0或纯虚数；

16

（ⅱ）对任何U?Cn′n，UAU'还是反Hermite矩阵. 证明 （ⅰ）设复矩阵A=(aij)n′n，则

， i,j=1,2,?,n

-A'=(-aji)n′n由于A是反Hermite矩阵,即A=-A'，故当i=j时，aii=-aii C 有

aii=0或aii为纯虚数

即A的主对角线上的元素均为0或纯虚数；

（ⅱ）对任意U?Cn′n，记B=UAU'，下证B=-B'，因为A是反Hermite矩阵,即A=-A'，故

-B=-UAU'(')=-(UAU)=-(UAU)=U(-A)U=UAU=B

''''''''这就是说，对任意U?Cn′n，A是反Hermite矩阵，UAU'还是反Hermite矩阵. 推论4[6] 若A是反Hermite矩阵，则对任意U?Cn′n，矩阵UAU'的主对角线上的元素均为0或纯虚数.

定理4-5[3] 对任意A?Cn′n，存在一个n阶酉矩阵U和一个上三角矩阵

R，使得

UHAU=R

其中R的对角元素是A的特征值.

定理4-6 若A是n阶反Hermite矩阵，则存在一个n阶酉矩阵U，使得

UHAU=D

其中D=diag(l1,l2,?,ln)，li(i=1,2,?,n)是A的纯虚数特征值.

证明 由定理4-5可知，存在一个n阶酉矩阵P,使得

A=PRPH

其中R是上三角矩阵，记

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骣r11???0??琪R=?0????????0桫r12r220?0r13r23r33?0?r1n÷÷÷?r2n÷÷÷?r3n÷ ÷÷÷?÷÷÷÷?rnn÷由于AAH=AHA,令RHR=RRH,即

骣r11珑珑珑r12珑珑珑琪?珑珑珑r1n桫骣骣0?0鼢r11r12?r1nr11r12?r1n r11珑鼢 珑 r珑鼢r22??鼢0r?r0r?r珑222n222n 12鼢 ?鼢 = ?琪琪琪??0鼢?????????鼢 ?鼢 ? ?鼢 r2n?rnn鼢0?0r0?0r桫桫nnnn r1n0?0?÷÷÷r22??÷÷÷ ÷??0÷÷÷r2n?rnn÷?因此R=diag(r11,r22?，rnn)，即存在n阶酉矩阵U，使得

UHAU=D=diag(l1,l2,?,ln)

由于AH=-A，有DH=-D，即

li=-li，i=1,2,?,n

从而li(i=1,2,?,n)是纯虚数.

定理4-7 设A为n阶反Hermite矩阵，则 （ⅰ）A的特征值均为纯虚数；

（ⅱ）A的不同特征值所对应的特征向量相互正交. 证明 （ⅰ）由定理4-4可以直接得出.

（ⅱ）设l，m是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x，y，则

Ax=lx，Ay=my

从而

yHAx=lyHx，xHAy=mxHy

因为A是反Hermite矩阵，l，m均为纯虚数，则

yHAx=myHx

于是

18

(l-m)yHx=0

由于l1m，故x与y正交.

定理4-8 设A、B都是Hermite矩阵或都是反Hermite矩阵，则 （ⅰ）AB+BA为Hermite矩阵； （ⅱ）AB-BA为反Hermite矩阵.

证明 （ⅰ）设A、B都是Hermite矩阵，即AH=A，BH=B，则

AB+BA=AHBH+BHAH

=(BA)+(AB)

HH=(BA+AB)

即AB+BA为Hermite矩阵；

同理可证当A、B都是反Hermite矩阵时AB+BA为Hermite矩阵.

（ⅱ）当A、B都是Hermite矩阵，即AH=A，BH=B，则

HAB-BA=AHBH-BHAH=(BA)-(AB)

=(BA-即AB-BA是反Hermite矩阵；

同理可证当A、B都是反Hermite矩阵时AB-BA为反Hermite矩阵.

定理4-9 若A、B都是反Hermite矩阵，则AB为Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA，即A、B可交换.

证明 因为A、B都是反Hermite矩阵，则A=-AH，B=-BH. 必要性 由AB=BA，得

HHA)B=-(AB-B)A

HHAB=BA=(-BH)(-AH)=(AB)

H所以AB为Hermite矩阵；

充分性 因为AB为Hermite矩阵，则

HHAB=(AB)=轾-A-B()()=BA 犏臌HH即A、B可交换.

19

推论5 若A为Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，则AB为反Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA.

B为反Hermite矩阵，B=-BH. 证明 因为A为Hermite矩阵，则A=AH，必要性 由AB=BA，得

AB=BA=(-BH)(AH)=-(AB)

H所以AB为反Hermite矩阵；

充分性 因为AB为反Hermite矩阵，则

AB=-(AB)=-(BH)(AH)=BA

H从而AB=BA.

五、结论

作为一个矩阵，Hermite矩阵在矩阵理论中地位不言而喻，本文对Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义，性质，基本定理以及Hermite的正定性做了初略地归纳总结，并通过一些证明来更好的理解定理，以此来达到更完整的认识和学习Hermite矩阵.当然，对于Hermite矩阵和反Hermite矩阵，其内容永不止如此，这些都有待进一步的研究.

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参考文献

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致 谢

本论文是在我的指导老师戴立辉教授悉心指导下完成的，他渊博的专业知识，严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，朴实无华、平易近人的人格魅力深深地感染和激励着我。无论是在理论学习阶段，还是在论文的选题、资料查询、开题、研究和撰写的每一个环节，直到论文的最终完成，戴老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此，谨向戴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

此外，我还要特别感谢各位老师和同学在这四年对我的关心和帮助，因为有他们的支持，我才能顺利完成该论文。

最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！

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