第八章 静电场中的导体和电介质

第八章 静电场中的导体和电介质

一、基本要求

1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。

2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。

3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡

导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量

在均匀各向同性介质中

???D??E??0?rE

介质中的高斯定理

????D?ds??Qi自

si3．电容器的电容

C?电容器的能量

Q ?U1Q2W?

2C4．电场的能量 电场能量密度

w?电场能量

1??E?D 2W??VwdV

三、例题

8-1 下列叙述正确的有（Ｂ）

（Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。

103

（Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。

i??解：选（B）。由高斯定理??E?ds??qi/?0，由 ?q?0???0，但场强则

不一定为零，如上题。

（C）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。

8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。

解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O点的电势为

U1??点电荷Ｑ2在球心的电势为

Q14??0R

U2?所以，O点的总电势为

Q2Q2 ?4??0?3R12??0RU0?U1?U2?由于整个导体球壳为等势体，则

Q2?3Q1

12?0RUA?U0?Q2?3Q1

12?0R8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。

解：连接前，空心球电势U1?Q1，所以带电量为

4??02R104

Q1?8??0RU1

实心球电势U2?Q24??0R，所以带电量为

Q2?4??0RU2

连接后，两球电势相等，但总电量不变。有

??U2??U? 或 U1Q1?8??0R??Q24??0R

Q'1?Q'2?Q1?Q2

联立解得

Q1??8??0R2U1?U2(2U1?U2） U?? 338-4 一不带电的导体壳，壳内有一个点电荷q0，壳外有点电荷q1和q2。导体壳不接（Ａ）q1与q2的电量改变后，壳内场强分布不变。 （Ｂ）q1与q2在壳外的位置改变后，壳内的场强分布不变。 （Ｃ）q0的电量改变后，壳外的场强分布不变。 （Ｄ）q0在壳内的位置改变后，壳外的场强分布不变。

8-5 如图，半径为Ｒ的不带电的金属球内有两个球形空腔，在两个空腔中分别放点电荷q1和q2，在金属球外放一点电荷q3，它们所带电荷均为q。若q1和q2到球心距离都是

地，下列说法中正确的是（A、B、D）；若导体壳接地，下列说法中正确的是（A、B、C、D）。

R/2，q3到球心距离r??R，则q1受力为_______，q2受力为_________，q3受力约为

________。

解：q1、q2受力为0。球为等势体，球外表面感应电荷均匀分布，电场在球外也呈径向对称分布。由高斯定理球外场强为

E?所以，q3受力约为

q1?q2

4??0r2q3(q1?q2)2q2 F??224??0r4??0r8-6 半径分别为Ｒ1和Ｒ2（Ｒ1＜Ｒ2 ）互相绝缘的两个同心导

体球壳，内球带电＋Ｑ。取地球与无限远的电势均为零。求

（１）外球的电荷和电势。

105

（２）将外球接地后再重新绝缘，此时外球的电荷和电势。 （３）再将内球接地，此时内球的电荷。

解：（1）由于内球带电＋Ｑ，由静电平衡条件和高斯定理知，外球壳内表面带电?Q，外表面带电?Q。

因为外球壳外面的场强为

E?所以，外球的电势为

Q4??0r2 （r?R2）

U???R2???E?dr??Q4??0r2R2dr?Q4??0R2

（2）外球接地，内表面电量不变，外表面电量变为零，电势为零。 （3）将内球接地后，内球电势为零。设内球电量变为q，则

U?q4??0R1?Q4??0R2?0 q?R1Q R28-7 在半径为Ｒ1的均匀带电Ｑ的金属球外有一层相对介电常数为?r均匀电介质，外半径为Ｒ2，画出电势Ｕ～r关系曲线和场强Ｅ～r关系曲线（r是球心到场点之间的距离）。

解：利用高斯定理

??2?D?ds?D?4?r?Q内自

sD?Q内自4?r2

??由于D??E，且

?0?Q内自??Q?Q?所以，场强分布为

r?R1R1?r?R2 r?R2??0?Q?E??2?4??0?rrQ??4??r20?r?R1R1?r?R2 r?R2106

下面求电势分布：

r?R2时

U???r???E?dr??RQ4??0r2dr?Q4??0r

R1?r?R2时

U????r??R2E?dr??rQ4??0?rrQ?2dr??Q?Q4??0r

2R2dr

Q4??0?rr?4??0?rR24??0R2r?R1时

U???r??R1R2E?dr??0dr??rR1Q4??0?rrQ2dr??Q?Q4??0r

2R2dr?Q4??0?rR1?4??0?rR2?4??0R2Ｕ～r曲线和Ｅ～r曲线如图所示：

8-8 如图，一无限大均匀带电介质平板Ａ，电荷面密度为?1，将介质板移近导体Ｂ后，Ｂ导体外表面上靠近Ｐ点处的电荷面密度为?2，Ｐ点是Ｂ导体表面外靠近导体的一点，则Ｐ点的电场强度大小为__________________。 解：仅知P点附近电荷面密度，其它地方不知，不能用场强叠加方法。做如图所示的高斯面，其底面面积s很小，可认为s面上各点场强相等。由于导体表面是等势面，所以s面上各点场强垂直于导体表面。P点在底面上，另一底面在导体内部，面上各点场强为零。由高斯定理，得

EPs??2s/?0 EP??2/?0

8-9 将一带电导体平板Ａ和一电介质平面Ｂ平行放置，如图所示。在真空中平衡后，

107

Ａ两侧的面电荷密度分别为?1和?2，则Ｂ的面电荷密度?3等于___________。

解：在导体平板内任找一点P，则

???EP?E1?E2?E3?0?1?2?3?0

2?02?02?0所以

?3??1??2

8-10 半径为Ｒ、相对介电常数为?r均匀电介质球中心放一点电荷

Ｑ，球外是真空，在距中心ｒ＞Ｒ的Ｐ点场强大小为__________。

解：利用高斯定理容易求得Ｐ点场强E?Q4??0r2。

8-11 平行板电容器中充满某种均匀电介质，电容器与一个电源相连，然后将介质取 出，则电容器的电容量Ｃ、电量Ｑ、电位移D、电场强度E、板间电压Ｕ与取出介质前相比，增大的有_______，减小的有__________，不变的有__________。

解：介质取出前，有

E?U?U?s?s D??E? C? Q?U dddd介质取出后，有

E??U?s?sU D?0 C?0 Q?0U dddd所以，各量均无增大，减小的有C、Q、D，不变有E、U。

8-12 一球形电容器由半径为Ｒ的导体球壳和与它同心的半径为４Ｒ的导体球壳所组成，Ｒ到２Ｒ为相对电容率为?r?2的电介质，２Ｒ到４Ｒ为真空。若将电容器两极板接在电压为Ｕ的电源上，求

（1）电容器中场强的分布；（2）电容器的电容。

?Q，由高斯定理容易求得场强分布 解：不妨先设内外球壳电量分别为?Q、Q???4??0?rr2E??Q?2??4??0rR?r?2R2R?r?4R

电容器两极板之间的电压为

4R?2R4RQ QQ??U??E?dr??dr?dr?2R4??0r2RR4???r28??0R0r所以

Q?8??0RU

108

（1）电容器中场强的分布

?RU?2E??r2RU?2?r（2）电容器的电容

R?r?2R

2R?r?4RQ?8??0R UC?8-13 半径分别为Ｒ1和Ｒ2的同轴导体圆筒间充满相对电容率为?r的均匀电介质。 现使圆筒带电，单位长度电荷各为＋?1（内筒）和＋?2（外筒），如图所示。

（1）求两筒间的电压；

（2）设轴线上电势为零，分别求Ｐ点和Ｑ点的电势。（Ｐ和Ｑ与轴分别相距rP和rQ） 解：（1）场强分布为

?0?E???1??2??0?rr两筒间电压

r?R1R1?r?R2

U??R2R1??R2E?dr??R1?1?1dr?lnR2/R1

2??0?rr2??0?rUP?0

（2）设轴线上电势为零，则

UR1?UQ??Edr??R1rQrQR1?1?1dr?lnrQ/R1

2??0?rr2??0?rUQ???1lnrQ/R1

2??0?r8-14 将一空气平行板电容器与电源相连进行充电，使电容器储存能量Ｗ1。若充电后断开电源，然后将相对介电常数为?r的电介质充满该电容器，电容器储存的能量变为Ｗ2，则比值Ｗ1/Ｗ2=______________；如果充电后不断开电源，则比值Ｗ1/Ｗ2=______________。

解：（1）若充电后断开电源，则Q不变。因为

?S1Q2W? C?

d2C

109

所以

W1C2?????r W2C1?0（2）如果充电后不断开电源，则U不变。因为

所以

110

W?12CU2 W1C1?W??0?1 2C2??r

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dzkr.html