南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试数学

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

参考公式

锥体的体积公式：V?Sh，其中S为底面积,h为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题

纸的指定位置上.

1.若集合A?(??,1]，B???1,1,2?，则A13B= ▲ ．

2.设复数z?a?i（其中i为虚数单位），若zz?2，则实数a的值为 ▲ ．

3.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中样本中A型号产品有16件， 那么此样本的容量n= ▲ ．

4.从1,2,3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是 偶数的概率为 ▲ ．

开始 输入x x?0 否 x?x?2 是 c?2x 5.如图所示流程图中，若输入x的值为?4，则输出c的值为 ▲ ． x2y2??1的离心率为2，则实数m的值为 ▲ ． 6.若双曲线

2m7.已知y?f?x?为定义在R上的奇函数，且当x?0时，

输出c 结束 第5题 f?x??ex+1，则f??ln2?的值为 ▲ ．

8.已知等比数列?an?为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2?2，S3=7，则a5的值为

P ▲ ． 9.如图，PA?平面ABC，AC?BC，PA?4，AC?3，BC?1，

F

A C

E,F分别为AB,PC的中点，则三棱锥B?EFC的体积为 ▲ ． 10.设A???x,y?3x?4y?7?，点P?A，过点P引圆?x+1?2?y2=r2?r?0?

E B

第9题

高三数学试卷 第 1 页 共 6 页

的两条切线PA,PB，若?APB的最大值为11.设函数f(x)?sin(?x?值范围是 ▲ ．

?3，则r的值为 ▲ ．

?3)，其中??0.若函数f?x?在[0,2?]上恰有2个零点，则?的取

12.若正实数a,b,c满足ab?a?2b，abc?a?2b?c，则c的最大值为 ▲ ．

3213.设函数f?x??x?ax?a?0,x?0?，O为坐标原点，A?3,?1?，C?a,0?，对函数图象上

的任意一点B，都满足OA?OB?OA?OC成立，则a的值为 ▲ ． 14.若数列?an?满足a1?0,a4n?1?a4n?2?a4n?2?a4n?3?3，

a4na1?4n?1?，其中n?N?，且a4n?1a4n2对任意n?N?都有an?m成立,则m的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)

在?ABC中，设a,b,c分别为角A,B,C的对边，记?ABC的面积为S，若2S?AB?AC. （1）求角A的大小； （2）若c?7，cosB?

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别是棱BC,CC1上的点(其中点D不同于点C)，且AD?DE，F为棱B1C1上的点，A1F?B1C1于点F.

4，求a的值. 5求证：(1)平面ADE?平面BCC1B1；

(2) A1F//平面ADE.

高三数学试卷 第 2 页 共 6 页

17. (本小题满分14分)

第16题

盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f?x??mlnx?x?600x?6?4?x?22,m?R?，其中x为每天的2x?144时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6. （1）求实数m的值；

（2）求近期每天在[4,22]时段空气质量指数最高的时刻.（参考数值：ln6?1.8）

18. (本小题满分16分)

x2y2已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直

ab线l:y?k?x?m??m?R?与椭圆交于P、Q两点. （1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.

①若m?0，求k1k2的值； ②若k1k2??

高三数学试卷 第 3 页 共 6 页

1，求实数m的值. 4

19. (本小题满分16分)

若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点. 设函数f(x)?x3?tx2?1?t?R?.

（1）若函数f(x)在(0,1)上无极值点，求t的取值范围；

（2）求证：对任意实数t，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行；

（3）当t=3时，函数f(x)的图象存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条

件的平行切线共有几组.

20. (本小题满分16分)

已知数列?an?, 其中n?N?.

（1）若?an?满足an+1?an?qn?1q?0，n?N?.

??① 当q?2,且 a1?1 时，求a4的值；

② 若存在互不相等的正整数r,s,t，满足2s?r?t，且ar,as,at成等差数列，求

q的值；

（2）设数列?an?的前n项和为bn，数列?bn?的前n项和为cn，cn=bn+2?3,n?N?，

若a1?1, a2?2, 且 an?12?anan+2?k恒成立，求k的最小值.

高三数学试卷 第 4 页 共 6 页

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数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（在A、B、C三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写

在答题纸的指定区域内） A.（选修4—2：矩阵与变换）

?a 0?直线l:2x?y?3?0经矩阵M???变换后还是直线l，求矩阵M的特征值. 1 d??

B.（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中,圆C的极坐标方程为??2cos?，以极点O为原点，极轴Ox所在的直线

?3x?2?t??2为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?（t为参数），求直线l被

1?y?t?2?圆C截得的弦长.

C．(选修4—5：不等式选讲）

已知正实数x,y,z满足x?y?z?3xyz，求xy?yz?zx的最小值.

高三数学试卷 第 5 页 共 6 页

[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD,AD?1,

PA?AB?2,点E是棱PB的中点.

(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值； (2)求二面角B?EC?D的余弦值.

23．（本小题满分10分）

已知数列

P

E A B 第22题 C

D

?an?满足a1?1，a2?3，且对任意n?N*，都有

n成立. ?an?Cn?(an??1?)n?212012a1Cn?aC2n?aCn3?（1）求a3的值；

（2）证明：数列?an?是等差数列 .

高三数学试卷 第 6 页 共 6 页

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1 5. 4 6. 6 7. ?3 3836?54?8. 16 9. 10. 1 11. ?,? 12. 13. 14. 8

762?63?1. ??1,1? 2. ?1 3. 80 4.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写

在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）由2S?AB?AC，得bcsinA?bccosA,所以tanA?1,因为A??0,??，所以A??47243（2）?ABC中，cosB?,所以sinB?，所以sinC?sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB?..10分

1055……6分

aca7??，得，解得a=5 ....................................................................14分 sinAsinC272210?（评分细则：第一问解答中不交代“A??0,??”而直接得到“A?”的，扣1分；第二问解答中不交代“由

由正弦定理

4正弦定理得的”，扣1分.）

16．证明：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面ABC . ... .. .................. ....... .......................2分 因为AD?平面ABC，所以BB1?AD,又因为AD?DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以

AD?平面BCC1B1，又因为AD?平面ADE,所以平面ADE?平面BCC1B1.................... .................6分

(2) 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面A1B1C1 . ......................... ... ...... ........... ....... ..................8分 因为A1F?平面A1B1C1,所以BB1?A1F,又因为A11F?BC11，在平面BCC1B1中BBB1C1?B1，所以

A1F?平面BCC1B1, . ........ .............. .................. .............. ................................... ...... ...... ..........................10分 在（1）中已证得AD?平面BCC1B1，所以A1F//AD，又因为A1F?平面ADE，AD?平面ADE,

所以A1F//平面ADE. ........ .............. .................. .............. ................................... ..... .... ... ........................14分 （评分细则：第一问和第二问中应该由“直三棱柱得到侧棱BB1与底面垂直”，从而得到“BB1?AD和

BB1?A1F”，如果直接由“直三棱柱得到线线垂直”的，各扣2分；第二问中证明线面平行时若不交代“A1F?平面ADE”，扣2分.）

17．（1）由题f?6??29.6，代入f?x??mlnx?x?600x?6?4?x?22,m?R?，解得m?12……5分 2x?14412?x144?x21600(12?x)（2）由已知函数求导得：f?(x)??6002?(12?x)[?2] 22xx(x?144)(x?144)令f?(x)?0得x?12，………………………………………………………………………………………9分

x f??x? f?x? x?(4,12) x?12 x?(12,22) + f??x?=0 极大值 ? 高三数学答案 第 1 页 共 6 页

所以函数在x?12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时. ………………12分 答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时..………..……………………14分 （评分细则：第一问若不列表或文字说明单调性的扣3分；最后未给出“答”再扣2分.）

c1a2a2?8得?4，所以a?2，c?1，18．解：（1）椭圆C的离心率为e??，两准线间的距离为2a2ccx2y22??1.………………………………………………………………3分 所以b?3，所以椭圆的方程为43x02y023x022??1得y0?3?（2）设P(x0,y0)，由于m?0，则Q(?x0,?y0)，由，………………5分 4343x023?y0?y0y023所以k1k2=??2=24??…………………………………………………………8分

x0?2?x0?2x0?4x0?44（3）由（1）得A??2,0?.

?x2y2?1??方法一：设P(x1,y1)，设直线AP的方程为AP：y?k1?x?2?，联立?4，消去y，得3?y?k?x?2?1?16k12?12，所以xA?x1?，………………………………………10分 (3?4k)x?16kx?16k?12?023?4k1212212112k16?8k126?8k1212k1所以x1?， 代入y?k1?x?2?得y1?，所以P(,)………………12分

3?4k123?4k123?4k123?4k121124k12?2?12k1由k1k2??得k2??，整体代换得Q(,)………………………………………13分 2244k11?12k11?12k1设M?m,0?，由P、Q、M三点共线得PM//QM，即

12k124k12?2?12k16?8k12?(?m)??(?m)，化简得?m?1??16k12?4?=0，所以m=1…16分 22223?4k11?12k11?12k13?4k1?x2y2?1??方法二：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立?4，消去y，得3?l:y?k?x?m??18mk24m2k2?12?，所以，x1?x2?………………10分 (?3k4x)?m8k?x4m?k?1x21+x20223?4k3?4k22?xx?mx?x?m??k?x1?m?k?x2?m?k?y1y21212????1， …………13分

????而k1k2?x1?2x2?2x1+2x2+2x1x2+2?x1+x2?+44222221222222mk+mk?2k?0k?0m+m?2?0，解，即，显然，所以??22224mk?16mk?16k4 ?m?1 ……………………………………………16分 得m=1或m??2（舍去）此时??0，化简得

19. 解：（1）由函数f(x)?x3?tx2?1，得f?(x)?3x2?2tx，由f?(x)?0，得x?0，或x?t，

k2?3m2?12?233. ……………………………4分 24t2222（2）方法一:令f??x??3x?2tx=p，即3x?2tx?p?0，?=4t?12p，当p??时，??0，此时

3）因函数f(x)在(0,1上无极值点，所以t?0或t?1，解得t?0或t?高三数学答案 第 2 页 共 6 页

23233x2?2tx?p?0存在不同的两个解x1,x2.……………………………………………………………………8分

（方法二：由（1）知f?(x)?3x2?2tx，令f?(x)?1，则3x2?2tx?1?0，所以??(?2t)2?12?0，即对任意实数t，f?(x)?1总有两个不同的实数根x1,x2，所以不论t为何值，函数f(x)在两点x?x1，x?x2处的切线平行.…………………………………………………………………8分）

232232设这两条切线方程为分别为y?3x1?2tx1x?2x1?tx1+1和y?3x2?2tx2x?2x2?tx2+1，若两

????切线重合，则

?2x13?tx12+1=?2x23?tx22+1,即2?x12+x1x2?x22??t?x1?x2?，即

2t3，化简得

2??x1?x???22?1?x2，而x?t?1xx1?x2=2x??2t2x1?x2=9，此时

?x1?x2?2??x1?x2?4t24t2?4x1x2???0，与x1?x2矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任

99意实数t，函数f(x)的图象总存在两条切线相互平行……………………………………………………10分 （3）当t=3时f(x)?x3?3x2+1，f?(x)?3x2?6x，由（2）知x1+x2=2时，两切线平行.设

A?x1,x13?3x12+1?,B?x2,x23?3x22+1?,不妨设x1?x2，

232过点A的切线方程为y?3x1?6x1x?2x1?3x1+1…………………………………………………11分

??所以

3，

31两条平

2行线间的，化简得

1距

2离

1d?2x2?2x?3?x?x1?9?x?2x1?212?2?2x2?x??x222?x????11?2xx1?3?x?x2???21?9?x?2x1?21=1+9??x1?1??1?，……………………………………………………………………………13分

??2223???1，即???1??2?????9???，1?即令?x1?1?=????0?，则??1??9?1?x1?1?62?0?=1为一解，?2?8??10=0有两个异于1的正根，所以这样的?有，显然???1??2??8???102解，而?x1?1?=????0?, x1?x2, x1?x2=2，所以

3

所以满足此条件的平行切线共有3组 ...................................................……16分 x1有3解，

20．解：（1）由a4?a3?4，a3?a2?2，a2?a1?1，累加得a4?8.……………………………………3分 （2）①因an?1?an?qn?1，所以an?an?1?qn?2，

，a2?a1?1，当q?1时，an?n，满足题意；

1?qn1?qn?1?a1，所以an??a1………………………………………………5分 当q?1时，累加得an?1?1?q1?q若存在r,s,t满足条件，化简得2qs?qr?qt，即2?qr?s?qt?s?2qr?t?2s?2，

此时q?1（舍去）………………………………………………………………………………………………7分

高三数学答案 第 3 页 共 6 页

综上所述，符合条件q的值为1. ………………………………………………………………………………8分 （2）②由cn?bn?2?3,n?N*可知cn?1?bn?3?3,两式作差可得：又由c1?1,c2?4，bn?3?bn?2?bn?1，可知b3?4,b4?7故b3?b2?b1，所以bn?2?bn?1?bn对一切的n?N恒成立……………………11分

*对bn?3?bn?2?bn?1，bn?2?bn?1?bn两式进行作差可得an?3?an?2?an?1,

又由b3?4,b4?7可知a3?1,a4?3，故an?2?an?1?an,(n?2)……………………………………13分

222又由an?aa?(a?a)?a?(a?a)?(a?a)?an?1?(an?2an?1) ?2n?1n?3n?1nn?1n?2n?1n?1n222??an?1?anan?2,n?2,所以an?2?an?1an?3?an?1?anan?2 ，……………………………………15分

22n?15所以当n?2时|an,当时?aa|?5|a?1nn?2n?1?anan?2|?3,故k的最小值为.………………16

附加题答案

21（A）解：设直线l上一点(x,y)，经矩阵M变换后得到点(x?,y?)，

?a 0??x??x???x??ax所以?，即，因变换后的直线还是直线l，将点(x?,y?)代入直线l的方程， ????y??y???y?x?dy1 d???????3??2a?1?2?a?于是2ax?(x?dy)?3?0，即(2a?1)x?dy?3?0，所以?，解得?2，………………6分

?d??1???d?1??a0所以矩阵M的特征多项式f(?)??(??a)(??d)?0，

?1??d解得??a或??d，所以矩阵的M的特征值为21（B）解：由??2cos?，得?2?2?cos?3与1.…………………………………………………10分 2，所以x2?y2?2x?0，所以圆C的普通方程为(x?1)2?y2?1，

圆心C(1,0)，半径r?1，………………………………………………………………………………………3分

?3x?2?t??2，消去参数t，得直线l方程为x?3y?2?0，…………………………………………6分 又??y?1t?2?所以圆心到直线l的距离d?1?212?(3)2?1，所以直线l被圆C截得的弦长为2高三数学答案 第 4 页 共 6 页

1212?()2?3. ……………………………………………………………………………………………10分

221.（C）因xyz?1，所以x2y2?y2z2?2x2y4z2?2y，

同理y2z2?z2x2?2z，z2x2?x2y2?2x，…………………………………………………………………5分 三式相加，得2(x2y2?y2z2?z2x2）?2(x?y?z)?6，

所以x2y2?y2z2?z2x2?3，当且仅当x2y2=y2z2=z2x2取等，即x?y?z?1，

所以x2y2?y2z2?z2x2的最小值为3. ……………………………………………………………………10分 22.解：（1）因PA?底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直， 以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

又因PA?AB?2，AD?1，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，…2分 因E棱PB的中点，所以E(2222,0,).所以EC?(,1,?)，PD?(0,1,?2)， 2222所以cos?EC,PD??1?166?，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为………6分

3311?1??1?22222,1,?)，BC?(0,1,0)，DC?(2,0,0)， 22（2）由（1）得EC?(?22x1?y1?z1?0?设平面BEC的法向量为n1?(x1,y1,z1)，所以?2， 2?y?0?1令x1?1，则z1?1，所以面BEC的一个法向量为n1?(1,0,1)，

?22x2?y2?z2?0?设平面DEC的法向量为n2?(x2,y2,z2)，所以?2， 2?2x?02?令z2?2，则y2?1，所以面DEC的一个法向量为n2?(0,1,2)， 所以cos?n1,n2??21?1?1?2?3，由图可知二面角B?EC?D为钝角， 33. …………………………………………………………………10分 3n?an?1Cn?(an?2?1)?2n?1中，

所以二面角B?EC?D的余弦值为?01223.（1）解：在a1Cn?a2Cn?a3Cn?高三数学答案 第 5 页 共 6 页

1令n?1，则a1C10?a2C1?a3?1，由a1?1，a2?3，解得a3?5. ……………………………………3分

（2）假设a1，a2，a3，，ak是公差为2的等差数列，则ak?2k?1

①当n?1时，a1=1,a2?3,a3?5, 此时假设成立……………………………………………………………4分 ②当n?k时，若a1，a2，a3，

012由a1Ck?1?a2Ck?1?a3Ck?1?，ak是公差为2等差数列……………………………………………5分

?1?akCkk?)?2k?2，k?2， 1?(ak?1?1对该式倒序相加，得(a1?ak)2k?1?2(ak?1?1)?2k?2，所以ak?1?ak?a1?1?2，

ak?1?2k?1?2(k?1)?1

根据①、②可知数列?an?是等差数列.………………………………………………………………………10分

高三数学答案 第 6 页 共 6 页

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