2019-2020学年江西省上饶市新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题

同步练习 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线2y 4x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )

A ．1716-

B ．1516-

C ．1716

D ．1516

2．若函数f(x)=

21x a x ++(a ∈R)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1

3．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是

①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0；

③方程()()1

2G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数．

A ．②③

B ．①②③

C ．②

D ．③④

4．若变量x,y 满足约束条件2

22

x y x y ≤

??≤??+≥?则目标函数2z x y =+的取值范围是

A ．[2,6]

B ．[2,5]

C ．[3,6]

D ．[3,5]

5．在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲:我的成绩最高.

乙:我的成绩比丙的成绩高

丙:我的成绩不会最差

成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（ ） A ．甲、丙、乙 B ．乙、丙、甲

C ．甲、乙、丙

D ．丙、甲、乙

6．设i 为虚数单位，复数2a i

i +-为纯虚数，则a =（ ）．

A ．2

B ．-2

C ．12-

D ．1

2

7．区间[0，5]上任意取一个实数x ，则满足x ∈[0，1]的概率为

A ．1

5 B ．4

5 C ．5

6 D ．1

4

8．设，则在点处的切线的斜率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且P （X ≤4）=0.88，则P （0

A ．0.88

B ．0.76

C ．0.24

D ．0.12 10．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）

A ．15

B ．14

C ．13

D ．12

11．函数2cos 3y x x =+-在区间0,

2π??????上的最大值是（ ） A ．32π

- B ．6

π C ．23- D ．13- 12．已知点，抛物线的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若，则的值等于（ ）

A ．

B ．

C ． 2

D ．4

二、填空题：本题共4小题 13．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则()|P B A =______. 14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．

15．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．

16．已知向量a b ，的夹角为60?，且||1,||2a b ==，则(2)=a a b ?+________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t y t =-??=+?

（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρ?=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．

（1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；

（2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求

||||

ON OM 的最大值.

18．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）.

（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

19．（6分）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

（1）求在1次游戏中,

①摸出3个白球的概率;

②获奖的概率;

（2）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列.

20．（6分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.

(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望；

(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

21．（6分）已知*,m n ∈N ，定义()()()()121!n n n n n m f m m ---+=

.

（1）求()()442,5f f 的值；

（2）证明：()211223n k n n k k f k n -=???=???∑.

22．（8分）已知0a >且1a ≠，()21log 1a a f x x a x ??=

- ?-??

（1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 的奇偶性，并判断当01a <<时()f x 的单调性；

（3）若()f x 是()1,1-上的增函数且()()2110f m f m -+-<，求m 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】

【分析】 由抛物线方程化标准方程为214x y =-，再由焦半径公式12M p PF y =-=，可求得M y 。 【详解】 抛物线为214

x y =-，由焦半径公式11216M M p PF y y =-=-=，得1516M y =-。选B. 【点睛】

抛物线焦半径公式： 抛物线22(0)y px p =>，的焦半径公式2

P p PF x =+

。 抛物线22(0)y px p =->，的焦半径公式2

P p PF x =-+。 抛物线22(0)x py p =>，的焦半径公式2

P p PF y =+。 抛物线22(0)x py p =>，的焦半径公式2P p PF y =-+。 2．B

【解析】

【分析】

根据奇函数的性质，利用()00f =，代入即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数()21

x a f x x +=+是定义域R 上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得()00f =，

代入可得()200001

a f +=

=+，解得0a =，故选B. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质()00f =是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．A

【解析】

【分析】

本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．

【详解】

画出函数f(x)=x ?[x]的图象，如下图所示．

由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；

函数f(x)的最小值为0，故②正确；

函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()

1

2

G x f x

=-有无数个零点，故③正确；

函数f(x)有增有减，故④不正确．

故答案为②③．

【点睛】

本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．

4．A

【解析】

【分析】

画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A点时纵截距最大，z最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z最小．

【详解】

画出可行域，如图所示：

将2

z x y

=+变形为

1

22

z

y x

=-+，平移此直线，

由图知当直线过A （2，2）时，z 最大为6，当直线过（2，0）时，z 最小为2，

∴目标函数Z ＝x+2y 的取值范围是[2，6]

故选A ．

【点睛】

本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题． 5．D

【解析】

【分析】

假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意．

【详解】

若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；

若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；

若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙．

A 、

B 、

C 、

D 中只有D 可能．

故选D ．

【点睛】

本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．

6．D

【解析】

【分析】 整理2a i i +-得：()()21225

a a i a i i -+++=-，由复数2a i i +-为纯虚数列方程即可得解． 【详解】 因为()()()()()()22122225

a i i a a i a i i i i ++-+++==--+ 又它是纯虚数，所以

2105a -=，解得：12a = 故选D

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题．

7．A

【解析】

【分析】

利用几何概型求解即可.

【详解】

由几何概型的概率公式得满足x ∈[0，1]的概率为

10155

-=. 故选：A

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．A

【解析】

【分析】

曲线在点处的切线的斜率为. 【详解】

，

.

【点睛】

本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.

9．B

【解析】

【分析】

正态曲线关于x μ=对称，利用已知条件转化求解概率即可．

【详解】

因为随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2X =，(4)0.88P X ≤=，

(4)(0)10.880.12P X P X ∴≥=≤=-=，

(04)12(4)10.240.76P X P X ∴<<=-≥=-=，故选B ．

【点睛】

本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题．

10．D

【解析】

分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.

详解：111223122412C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为1132353310

C C A ?=. 11．B

【解析】

【分析】

函数()2cos 3,0,2f x y x x x π??==+-∈????

，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性．

【详解】

函数()2cos 3,0,2f x y x x x π??==+-∈????

， ()'12sin f x x =-，

令()'0f x =，解得6x π

=．

∴函数()f x 在0,6π??????

内单调递增，在,62ππ?? ???内单调递减． ∴6x π

=时函数()f x 取得极大值即最大值．

2cos 366

66f ππππ??=+-= ???． 故选B ．

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.

12．C

【解析】

试题分析：设,是点到准线的距离，,,即,那么

,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选

C ．

考点：抛物线的简单性质

【思路点睛】此题考察抛物线的性质，和数形结合思想的考察，属于偏难点的基础题型，对于抛物线的考察不太同于椭圆和双曲线，对应抛物线的基础题型，当图形中有点到焦点的距离，就一定联想到点到准线的距离，再跟据平面几何的关系分析，比如此题，，转化为，那分析图像等于知道

的余弦值，也就知道了直线

的斜率，跟据斜率的计算公式，就可以得到结果． 二、填空题：本题共4小题 13．49

【解析】

【分析】

首先第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出白球为事件B ，分别求出(),()P A P B ，利用条件概率公式，即可求解．

【详解】 由题意，事件A“第一次摸到红球”的概率为：6()10

P A =， 又由“第一次摸到红球且第二次摸到白球”的概率为6424()10990P A B =?=， 根据条件概率公式，可得()()24104|()9069

P A B P B A P A ==?=， 故答案为

49

． 【点睛】 本题主要考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力．

14．43

【解析】

【分析】

【详解】

∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又

直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）

2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d

，2d =

≤即3k 2≤4k ，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43

. 15．431

【解析】

数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，1，1、 3，3，1，1．

所以共有44444442218432A A A +==种不同排法．

16．3

【解析】

【分析】

运用向量的数量积的定义可得????????????????，再利用向量的平方即为模的平方，计算可得答案.

【详解】

解：????????????????????????????????????.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的运算，相对简单.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=

（2

1

【解析】

【分析】

（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；

（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．

【详解】

（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，

由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4cos sin ρθθ

=+． 由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，

设(),Q ρθ，则,4P ρθ?? ???

， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρ

θ=，即8cos ρθ=，

所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．

（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=

+，8cos ρθ=， 所以4cos sin OM αα

=+，||8cos ON α=， 所以(

)||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα??=+=++=++ ??

?， 所以当π8

α=时，||||ON OM

1． 【点睛】 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．

18．（1）123437151,,,248a a a a ====，1212

n n n a --=；（2）证明见解析. 【解析】

试题分析：（1）分别令1,2,3,4n =，可求解1234,,,a a a a 的值，即可猜想通项公式n a ；（2）利用数学归纳法证明.

试题解析：（1）123437151,,,248a a a a ====，由此猜想1212

n n n a --=； （2）证明：当1n =时，11a =，结论成立；假设n k =（1k ≥，且k N +

∈），结论成立，即1212k k k a --= 当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即

122k k a a +=+，所以111121

22212222

k k k k k k a a +-+--++-===，这表明当1n k =+时，结论成立， 综上所述，1212n n n a --=()

n N +∈.

考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明. 19．（I ）（i ）1.5；（ii ）

7.10

（II ）X 的分布列见解析，数学期望57 【解析】

解：(1)①设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝2325C C ·1223C C ＝15. ②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又

P(A 2)＝22322253C C C C ＋113225C C C ·1223C C ＝12

，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝710. (2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2，

P(X ＝0)＝7110??- ???2

＝9

100，

P(X ＝1)＝C 21·7107110??- ???＝21

50，

P(X ＝2)＝710?? ???2＝49

100，

所以X 的分布列是 X 0 1 2

P 9100 2150 49

100

X 的数学期望E(X)＝0×100＋1×50＋2×100＝7

5.

20． (Ⅰ)X 的分布列 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1729 12729 60729 160

729 240729 192

729 64

729

数学期望4EX =；(Ⅱ)32

81.

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1种情况有24C 种可能，第2中情况有1

4C （或3

4C ）种可能.将上述三种情况的概率相加即得到教师甲获胜的概率. 试题解析：(Ⅰ)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知，2

~(6,)3X B

6621()()()(0,1,2,3,4,5,6)33

k

k k P X k C k -==??=

X 的分布列为：

(01112260316042405192664)4729729

EX =

?+?+?+?+?+?+?==. 或因为2~(6,)3X B ，所以2

643EX =?=.

即X 的数学期望为4. 7分

(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则

224156*********()()()()()3333381

P A C C =??+??+= 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为

32

81

. 考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率. 21．（1）6,0；（2）证明见解析. 【解析】

分析：（1）先根据定义代入求求()()442,5f f 的值；（2）根据定义可得()C ,,0, 1.m

n n m n f m m n ?≤=?≥+?

，则左边化简得12233

12C 22C 32C 2C n n n n n n n ?+?+?+

+?，

利用等式1

1C C k k n n k n --?=?化简,并利用二项式定理可得结果.

详解：（1）()443262!f ?=

=，()443210

505!

f ????==．

（2）()C ,,0, 1.

m

n n m n f m m n ?≤=?≥+?

当n ＝1时，()211

2

223n k n n k k f k n -=???==???∑,等式成立．

当n≥2时，()()()()()22312

1212223232n k n n n n n n k k f k f f f n f n =???=?+?+?++???∑

1

223312C 22C 32C 2C n n n n n n n =?+?+?++?，

由于()()()()()111!!C C !!1!11!

k k

n n n n k k n n k n k k n k ---?=?=?=?-??----??， 所以()2021321111112

2C 2C 2C 2C n k n n

n n n n n k k f k n n n n -----=???=?+?+?++???∑ ()1121223n n n n --=+=?，

综上所述，对? n∈N *，()2112

223n k n n k k f k n -=???==???

∑成立． 点睛： 有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.常应用组合数性质进行转化：

11C C k k n n k n --?=?，111r r r n n n C C C ++++=.

22．（1）()()21x x a f x a a a -=

--；（2）见解析；（3

）{1m m << 【解析】

【分析】 （1）利用对数函数的性质，结合换元法，令()log a t x t R =∈则t x a =，求出()f t 的表达式即可； （2）结合（1）中()f x 的解析式，利用函数奇偶性的定义判断函数()f x 的定义域和()f x -与()f x 的关系；利用指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断法则即可求解；

（3）利用函数()f x 在()1,1-上的单调性和奇偶性得到关于m 的不等式，解不等式即可.

【详解】

（1）令()log a t x t R =∈，则t x a =，

所以()()21t t a f t a a a -=

--，即()()21

x x a f x a a a -=--. （2）由（1）知，()()21

x x a f x a a a -=--，其定义域为R ，关于原点对称， 因为()()()21x x a f x a a f x a --=-=--，所以函数()f x 为奇函数， 当01a <<时，因为x y a =是R 上的减函数，1x

x y a a -??== ???是R 上的增函数，

所以函数x y a -=-为R 上的减函数，()x x

u x a a -=-为R 上的减函数， 又因为201

a a <-，∴()()21x x a f x a a a -=--为R 上的增函数. （3）∵()()2110f m f m -+-<，∴()()2

11f m f m -<--， 又()y f x =为R 上的奇函数，∴()()

211f m f m -<-， 因为函数()y f x =在()1,1-上是增函数，∴21111m m -<-<-<，

解之得：{1m m <<

，所以实数m

的取值范围为{1m m <<. 【点睛】

本题考查换元法求函数解析式、函数奇偶性的判断、指数函数的单调性和简单复合函数单调性的判断、利用函数在给定区间上的奇偶性和单调性解不等式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；属于综合性试题、中档题.

同步练习 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在极坐标系中，由三条直线0θ=

，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14 B ．334

- C ．234- D ．13 2．若函数()ln f x x =与()()()2424g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点()1,0M 对称的点，

则实数a 的取值范围是（）

A ．[)0,+∞

B ．1,e ??+∞????

C ．[)1,+∞

D ．[),e +∞

3．计算：20182019C =（ ） A ．2018 B ．2019 C ．4037 D ．1

4．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移

6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x = B ．6x π

= C ．4x π= D ．2

x π= 5．如图所示是()()sin 0y A x A ω?ω=+>>0,的图象的一段，它的一个解析式是（ ）

A ．2sin 233y x π??=+ ??

? B ．2sin 324x y π??=+ ??? C ．2sin 33y x π??=- ??? D ．22sin 233y x π??=

+ ??? 6．已知函数()32114332f x x mx x =

-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,5

B ．[]2,4

C ．(,1][1,)-∞-+∞

D ．(],4-∞ 7．已知,2παπ??∈????，1sin 62πα??+= ??

?，则()tan 2απ+等于（ ）

A

B

．C

D ．1 8．已知函数()2ln x f x x x =++.正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，则下述结论中正确的一项

是( )

A

．12x x +≥ B

．12x x +< C

．12x x +≥ D

．12x x +<

9．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为

23

，则甲获胜的概率为 ( )． A ．22123221333C ??????+ ? ? ???????

B ．22232233

C ????+ ? ????? C ．22112221333C ??????+ ? ? ???????

D ．211

12221333C ??????+ ? ? ??????? 10．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）

A ．(),0-∞

B ．()0,∞+

C ．(),2-∞

D ．()2,+∞

11．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．-1 12．已知1

32a -=，21log 3b =，12

1log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>

二、填空题：本题共4小题

13

．在2)n x

的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n 等于_________. 14．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．

15．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P

是曲线(x C y sin ααα

?=??=??：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．

16．某保险公司新开设了一项保险业务.规定该份保单任一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为保证公司收益不低于a 的

110

，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为____________元.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建

立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+??=?

（t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B

两点，且AB =l 的倾斜角α的值．

18．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

参考公式：方差公式：()()()2222121n S x x x x x x n ??=

-+-+-??，其中x 为样本平均数.()()()

1

1222

11?n n

i i

i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx ====---?==--∑∑∑∑，??a y bx =-。 19．（6分）已知函数f （x ）＝xe x

（1）求函数f （x ）的极值．

（2）若f （x ）﹣lnx ﹣mx ≥1恒成立，求实数m 的取值范围．

20．（6分） [选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+??

=?

（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)若点A 的极坐标为(2,)3

π，M 是曲线C 上的一动点，求MAO ?面积的最大值． 21．（6分）已知函数3()61f x ax x =-+，a R ∈.

（1）若2a =，求()f x 的极值；

（2）若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围.

22．（8分）已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.

（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；

（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】

【分析】

求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3πθ=

与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,

3πρ?? ???，然后利用三角形的面积公式121sin 23S πρρ=可得出结果. 【详解】

设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3π

θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ?

? ???

， 则22cos sin 133π

πρρ+=

，即22112ρρ+=

，得21ρ=.

因此，三条直线所围成的三角形的面积为

)1211sin 11232S πρρ=

=??=， 故选：B.

【点睛】 本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

2．C

【解析】

【分析】

首先求()g x 关于点()1,0M 的函数，转化为其与ln y x =有交点，转化为ln x a x x

=-，这样a 的范围就

是ln x y x x

=-

的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题. 【详解】 设(),P x y 关于()1,0M 的对称点是()2,P x y '--在()()2

424g x x a x a =-+-+- 上， ()()()2

224224y x a x a y x ax -=--+--+-?=-，

根据题意可知，ln y x =与()2y x ax a R =-∈有交点， 即2ln ln x x x ax a x x =-?=-

， 设ln x y x x

=- ()0x >， 221ln x x y x

-+'=， 令()2

1ln h x x x =-+，()0x > ()120h x x x

'=+>恒成立， ()h x ∴在()0,∞+是单调递增函数，且()10h =，

()h x ∴在()0,1()0h x <，即0y '<，()1,+∞时()0h x > ，即0y '> ，

ln x y x x

=-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以当1x =时函数取得最小值1，

即1y ≥ ，

a ∴的取值范围是[

)1,+∞. 故选C.

【点睛】

本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求()g x 关于M ()1,0对称的函数，根据函数有交点转化为ln x a x x

=-，0x >，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.

3．B

【解析】

【分析】

直接利用组合数公式求解即可．

【详解】 由组合数公式可得201820192019!20192018!1!

C ==?.

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