2015-2016年第一学期高二理科数学试题

专题十 立体几何

1.【2015高考安徽，理5】已知m，n是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

（A）若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行

（C）若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线 （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 【答案】D

2.【2015高考北京，理4】过点(0,1),且与直线2x y 3 0垂直的直线方程是( )

A．2x y 1 0 C．2x y 1 0

B．x 2y 2 0 D．x 2y 2 0

3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

- 1 -

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 【答案】B

4.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．3 B．4 C．2 4 D．3 4

【答案】D

5.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20 ，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 【答案】B

6.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

- 2 -

A、1 B、

2

33

C、 1 2 2

3 D、

3

2 【答案】A

7.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（

A

．2 B

．4 C

．2 ．5 【答案】

C

- 3 -

）

8.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ （A

）1（B

）2 （C

）1 （D

）

【答案】B

9.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

- 4 -

）

10.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD中， ABC

2

AD//BC,BC 2AD 2AB 2 .将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成

的曲面所围成的几何体的体积为（ ）

（A）

2 4 5 （B） （C） （D）2 333

【答案】C

11.【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=

新工件的体积

）（ ）

原工件的体积

816

A. B.

9 9

12.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）

A.8cm3 B. 12cm3 C.

32340

cm D. cm

3 33

- 5 -

【答案】C.

13.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A．

1111 B． C． D． 8765

【答案】D

14.【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为

【答案】

3

【

- 6 -

15.【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a

，且其体积为，则

a ．

【答案】4

16.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为

m3 .

【答案】

83

17.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥A BCD中，

AB AC BD CD 3,AD BC 2，点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线

AN，CM所成的角的余弦值是

- 7 -

【答案】

7. 8

18.【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

19.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，已知AC BC，BC CC1，设AB1的中点为D，B1C BC1 E.求证：（1）DE//平面AA1C1C； （2）BC1 AB1.

A

A1

1

【解析】

C

1

试题分析（1）由三棱锥性质知侧面BB1C1C为平行四边形,因此点E为B1C的中点，从而由三角

- 8 -

形中位线性又因为 C C，CC1 平面 CC1 1， C 平面 CC1 1，

C CC1 C，

所以 C 平面 CC1 1．

又因为 C1 平面 CC1 1，所以 C1 C．

因为 C CC1，所以矩形 CC1 1是正方形，因此 C1 1C． 因为 C， 1C 平面 1 C， C 1C C，所以 C1 平面 1 C． 又因为 1 平面 1 C，所以 C1 1．

20.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC A1B1C1-中， BAC 90 ，

AB AC 2，A1A 4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.

（1）证明：A1D 平面A1BC；

（2）求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.

- 9 -

【答案】（1）详见解析；（2） .

18

试题分析：（1）根据条件首先证得AE 平面A1BC，再证明A1D//AE，即可得证；

（2）

作A1F BD，且A1F BD F，可证明 A1FB1为二面角A1 BD B1的平面角，再由

余弦定理即可求得cos A1FB1 ，从而求解.

试题解析：（1）设E为BC的中点，由题意得A1E 平面ABC，∴A1E AE，∵

18

AB AC，

∴AE BC，故AE 平面A1BC，由D，E分别B1C1，BC的中点，得DE//B1B且

DE B1B，从而DE//A1A，∴四边形A1AED为平行四边形，故A1D//AE，又∵AE

平面A1BC1，∴A1D 平面A1BC1；（2）作A1F BD，且A1F BD F，连结B1F，

由AE EB A1EA A1EB 90 ，得A1B A1A 4，由A1D B1D，

A1B B1B，得 A1DB B1DB，由A1F BD，得B1F BD，因此 A1FB1为二面角

- 10 -

A1 BD

B1的平面角，由A1D A1B 4， DA1B 90

，得BD ，

A1F B1F

41，由余弦定理得，cos A1FB1 . 38

21.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台DEF ABC中，AB 2DE,G,H分别为

AC,BC的中点.

（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；

（Ⅱ）若CF 平面ABC，AB BC,CF DE ， BAC 45 ,求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小

.

- 11 -

试题解析：

(I)证法一：连接DG,CD，设CD GF O，连接OH， 在三棱台DEF ABC中，

AB 2DE,G为AC的中点

可得DF//GC,DF GC 所以四边形DFCG为平行四边形 则O为CD的中点 又H为BC的中点 所以OH//BD

又OH 平面FGH, BD 平面FGH, 所以BD//平面FGH．

证法二：

在三棱台DEF ABC中，

- 12 -

由BC 2EF,H为BC的中点

因为 BD 平面 ABED 所以 BD//平面FGH （II） 解法二：

作HM AC 于点M ，作MN GF 于点N ，连接NH 由FC 平面ABC ，得HM FC 又FC AC C 所以HM 平面ACFD 因此GF NH

所以 MNH 即为所求的角

- 13 -

所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60 .

22.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N （1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线MN//平面BDH （3）求二面角A EG M的余弦值

.

- 14 -

【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.

【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示

.

- 15 -

所以OM//CD，且OM

1

CD， 2

1

NH//CD，且NH CD，

2

所以OM//NH,OM NH， 所以MNHO是平行四边形， 从而MN//OH，

又MN 平面BDH，OH 平面BDH， 所以MN//平面BDH.

（3）连结AC，过M作MP AC于P.

- 16 -

在正方形ABCD EFGH中，AC//EG， 所以MP EG.

过P作PK EG于K，连结KM， 所以EG 平面PKM， 从而KM EG.

所以 PKM是二面角A EG M的平面角. 设AD 2，则CM 1,PK 2， 在Rt

CMP中，PM CMsin45 在Rt

KMP中，KM 所以cos PKM

PK . KM. 即二面角A EG

M23.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马

P ABCD中，侧棱PD 底面ABCD，且PD CD，过棱PC的中点E，作EF PB交

PB于点F，连接DE,DF,BD,BE

.

- 17 -

（Ⅰ）证明：PB 平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

πDC，求的值． 3BC

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

2

. 2

故 BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD DC 1，BC

，有BD ，

- 18 -

在Rt△PDB中, 由DF PB, 得 DPF FDB

π, 3

则

tan

πBD tan DPF ,

解得 .

3PD

所以

DC1 BC DCπ

时，

BC3

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为

24.【2015高考广东，理18】如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE FG；

（2）求二面角P-AD-C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

【解析】（1）证明：∵ PD PC且点E为CD的中点，

∴ PE DC，又平面PDC 平面ABCD，且平面PDC 平面ABCD CD，PE 平面PDC，

∴ PE 平面ABCD，又FG 平面ABCD，

- 19 -

∴ PE FG；

（2）∵ ABCD是矩形，

∴ AD DC，又平面PDC 平面ABCD，且平面PDC 平面ABCD CD，AD 平面ABCD，

∴ AD 平面PCD，又CD、PD 平面PDC， ∴ AD DC，AD PD，

∴ PDC即为二面角P AD C的平面角，

在Rt PDE中，PD 4，DE

1

AB

3，PE ， 2

∴

tan PDC

PE即二面角P AD

C；

DE（3）如下图所示，连接AC，

∵ AF 2FB，CG 2GB即

AFCG

2， FBGB

∴ AC//FG，

∴ PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，

- 20 -

在

PAC中，PA

5，AC

由余弦定理可得

cos PAC

PA AC PC

2PA AC

222

， ∴ 直线PA与直线

FG． 25.【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台ABCD A1B1C1D1上、下底面分别是边

长为3和6的正方形，AA1 6，且

AA1 底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上.

（1）若P是DD1的中点，证明：AB1 PQ；

（2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P QD A的余弦值为

积.

3

，求四面体ADPQ的体7

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