2011届学生毕业设计说明书（论文）正文（测绘工程）郝敏

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1 绪论

1.1 概述

全球卫星定位系统(GPS)是美国继阿波罗登月计划和航天飞机计划之后的又一重大空间计划。1993年7月进入轨道可正常工作的Block I试验卫星和BlockII，和BlockIIA型工作卫星的总和已达24颗，系统已具备了全球连续导航定位能力，故美国国防部正是由于1993年12月18日正式宣布全球定位系统已具备初步工作能力。GPS系统定位精度高，不受昼夜的影响，使它在军事、交通运输、测量等诸多领域得到了广泛的应用与研究，它的建立使导航技术以及定位技术产生了根本性变革。[14]

GPS定位技术在各个方面得到了广泛的应用，尤其在测绘领域，在此领域中GPS定位技术主要表现在建立和维持全球性的参考框架以及建立各级国家平面控制网方面，它在布设城市控制网、工程测量控制网。进行的各种工程测量中叶有较广泛的应用并且在航空摄影测量、地籍测量、海洋测量中的应用也很广泛。测量工作中为了得到测区内所有GPS点的正常高，必须由一些已知点及其高程异常进行拟合以求得未知点的高程异常。GPS水准高程拟合模型研究的目的就是在于运用不同的数学模型，进行模型优选，实现GPS大地高和正常高之间的转换。通过对GPS高程拟合模型的研究，找到一种较好解决这类问题的方法，从而使GPS高程拟合问题变得简单易行。进而提高GPS水准精度，其技术意义和实用价值都是十分深远的。GPS高程测量既有优点也有缺点，优点是实时，快速，需要较少的人力，缺点是不能直接应用于实际应用中。随着现在社会的发展，科技的进步，软件的开发，GPS高程也受到了很大的关注，我们所希望得到的就是使用GPS高程测量，而不是传统的精密水准测量，这种想法为GPS高程测量带来了很大的发展空间，所以为了提高GPS高程测量精度就变得尤为重要其中要解决的关键问题就是如何提高高程系统之间的转换精度。

目前，我国的高程系统采用了似大地水准面的黄海高程系统，GPS 采用的是WGS-84 地心坐标系。由于GPS 导航定位用的参考面不同，所以研究大地高与正常高之间的转换方法，在工程测量上被广泛应用。但在高程方面由于受坐标系不一致的影响，其精度一直被认为不太可靠。对于未进行大地水准面精化的地区，为了实现GPS 高程与正常高之间的转化，满足一般工程需要，可以通过高程拟合的方法实现其转换。所以再建立高程拟合时就要选择正确的模型，才能够提高高程拟合精度。本文通过最优回归理论来建立各种拟合模型，在度昂像是的各种模型中，通过实例比较，应用MATLAB编程，选择最优拟合模型，如果选择了正确的模型，为今后的工程应用提供有益的参考。

1.2 本文研究目的和主要内容

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对于GPS定位技术现在以进行传统面控制测量。通过高程从中得出较高精度的大地高，但是由于受到种种限制我们在将大地高转换为正常高的过程中，使得得到的大地高的精度并不高。这使GPS在生产时间中的应用受到了限制。

研究最优回归理论的目的就是为了在进行GPS高程拟合时，找到最优模型来解决在高程转换中所提到的问题。那么对于不同的测区，我们就会选择不同的模型，在我们已经得到高程数据时，对高程数据通过最优回归理论进行数据拟合，使我们所得到的模型为最优模型。

本文的主要内容就是利用高程拟合中的各种方法，尤其是通过对多项式法中的各种模型的比较及不同的模型在不同的区域中的精度的大小。通过比较得到最优回归模型（对于不同的测区文章所采用的方法不同）。文章主要列举了带状区域和面状区域在多项式法中选择的最优模型。在通过阅读大量的文献的基础上，结合最优回归理论建立区域内似大地水准面模型。

1.3 国内外研究现状

GPS定位技术最近几年里在很多领域得到了广泛的应用，这主要是由于GPS的优点， GPS测量的数据具有精度较高、测量效率高，能够大大提高工作效率。GPS测量对于布设不同的控制网、建筑施工测量等方面都起到了很大的作用。使GPS测量在各个领域都显示出了它的快速、实时的优越性。对于GPS高程的缺点，国内外也给予了普遍的关注。国内外在GPS高程拟合的方法上进行了深入的研究，以便使 GPS高程能更广泛的应用到测量领域。GPS高程转换实际上就是求出大地高和正常高的高程异常。当前我们可以归纳出国内外进行GPS高程转换的方法主要有加权均值法、多面函数法、解析多项式法、移动拟合法、神经网络法、非参数回归法对于这些方法都有各自的优缺点。比如加权均值法，充分考虑了已知点和未知点之间距离对高程异常的影响若以内插点到已知点的平面距离的函数为权，则只顾及了已知点距内插点的远近的影响，不能反映出水准重合点的分布及周围地形的起伏，多项式拟合似大地水准面，拟合范围越大，高程异常的变化越复杂，削高补低的误差也越大等等。根据实际工程状况，以上这些不同的拟合模型适用于不同的GPS测区，也可以不同种模型进行组合和叠加组成新的拟合方法，但是这么多种方法最后都要归结于多项式法。通过建立不同的多项式的模型，对不同区域的点位进行高程拟合，选择一种点位精度较高的模型进行回归，从而得到最优回归模型。

1.4 本文的组织结构

本文共分6部分:

第一部分介绍GPS高程拟合技术的发展现状，本文的研究背景、研究的目的及意义。

第二部分介绍了GPS高程拟合的原理及方法，重点讨论在利用多项式法并在

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此基础上深入分析。

第三部分GPS高程拟合的误差来源和精度分析。第四部分详细介绍了最优回归理论。

第五部分通过实际数据直接验证各种模型高程拟合的精度，得到最优模型。从而证明结论，以及MATLAB的编程。

第六部分通过之前的研究，得出本文的结论，并对以后的工作进行了展望。

2 GPS高程拟合原理及方法

2.1 GPS高程拟合原理

GPS高程转换到正常高的方法很多, 如GPS三角高程﹑ GPS重力高程、曲面拟合法等一系列方法。这一系列的方法都需要用到线性回归理论方面的知识。这些方法中最后都需要使用多项式法做最后的拟合，所以通过数学理论研究多项式法最后能获得较高精度的点位就变得十分有意义了。在进行GPS测量后，由GPS三维平差可得到各点的大地高，若网中有部分GPS点是水准联测点，则这些点的正常高h是已知的，即可求得这些点的高程异常。在一定范围内高程异常不为常数，但可以认为在此范围内变化平缓，可用一些数学函数来拟合，求得能反映GPS网控制范围中高程异常变化的函数，然后通过建立回归模型来求得高程异常，通过比较个中模型的精度从而得到最优的模型。 2.1.1 高程系统[14] 1.大地水准面与正高

重力位W为常数的面被称为重力等位面。由于给定一个重力等位面W，因而地球的重力等位面有无穷多个，在某一点处其重力值g与两相邻大地水准面W和W?dW间的距离dh之间具有如下关系：

dW?gdh （2-1）

重力等位面上点的重力值不一定相等，从式（2-1）得出，相邻近的等位面不一定平行。我们把众多的重力等位面中的一个特殊的面称为大地水准面，它是重力位为W0的重力等位面。在某些高程系统中把大地水准面当做是自然参考面，

由于地球内部质量的复杂多变，大地水准面与其质量的分布有密切的关系。因而大地水准面虽具有明确的物理定义，还是比较复杂，，虽然在部分地区会有起伏，但大地水准面的形状仍大致为一个旋转椭球。，从参考椭球面量至水准面的距离为沿参考椭球的法线，也可以称作大地水准面差距或大地水准面起伏，本文用符号N表示，如图2-1

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大地水准面 N 法线图2-1大地水准面起伏正高系统以不规则的大地水准面为其准面的高程系统。点的正高是从该点出发，沿该点与基准面间各个重力等位面的垂线所量测出的距离，如图2-2正高用Hg表示。

参考椭球面 P点处的重力等位面 P 地形面 H 大地水准面 N 法线图2-2大地高和正高大地高基准的参考椭球与大地水准面之间的几何关系：

N为大地水准面差距或大地水准面高，H为大地高，Hg为正高。根据物理学原

理，可以将重力位沿垂线的增量表示为：

其中g?Hg?为垂线上各点的实测重力值，那么，对dW沿垂线从大地水准面到地面某点P进行积分，有：

法线参考椭球面 N?H?Hg （2-2）

dW??g?h?dh （2-3）

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?W?Wp?W0?Geoid?dW???g?h?dh （2-4）

Geoidpp如果令沿垂线从大地水准面到地面某点P的平均重力值gm，则有

pgm??Geoidp?g(h)dhGeoid （2-5）

?hdh

即

ppm?Geoid?g(h)dh?g?hdh （2-6）

Geoidp容易得出：

Geoid?hdh?HPg （2-7）

这样就得到了正高的物理定义：

1Hg??gmGeoid?g?h?dh或Hg??W （2-8） gmGPS定位测量获得的是WGS-84椭球空间直角坐标系如图2-2中的成果，其中的高程值是地面点相对于WGS-84椭球的大地高H。由大地高的定义，不难理解，不同定义的椭球空间直角坐标系，也可构成不同的大地高程系统。

Z O为地球质心 AOC为BLH定义的零子午面（1984.0） ODE为赤道平面 EB Y C DA O X 图2-2WGS-84世界大地坐标系

2 似大地水准面与正常高

虽然正高系统具有明确的物理定义，但是由于难以直接测定沿垂线从地面

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点至大地水准面之间的平均重力值gm，所以实际上很那通过公式计算地面点的正高。为了解决这一问题，莫洛金斯基提出了正常高的概念，即用平均正常重力值?m来替代gm，从而得到正常高的定义：

H??-1P?mGeoid?g(h)dh 或 H???W?m （2-9）

由于?m是可以精确计算的，所以正常高也可以被精确确定。

似大地水准面是由各地面点沿正常重力线向下量取正常高后所得到的点构成的曲面。与大地水准面不同，似大地水准面不是一个等位面，它没有确切的物理意义，但与大地水准面较近并且在海面上与大地水准面一致。沿正常重力线方向，由似大地水准面上的点量测到参考椭球面的距离被称为高程异常，用符号?表示。如下图所示：

似大地水准面 ? 法线参考椭球面图2-3似大地水准面和参考椭球面点相对于似大地水准面的高度被称为正常高，表示为H?。?与H?的关系为

N?Hg???H? (2-10)

可以利用式(11-12)将高程异常?转换为大地水准面差距： N???gm??m?mHg (2-11)

其中，gm为大地水准面与地球表面间铅垂线上的真实平均重力值，?m为从参考椭球沿法线方向至近似地球面的平均正常重力值。根据式(11-11)和式(11-12)，可以得到Hg与H?间的转换关系：

H?=Hg?gm??m?mHg (2-12)

正高和正常高系统都是世界上采用非常广泛的高程系统。正高或正常高都

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可以通过传统的几何水准来确定，这种方法虽然非常精密，但却费时费力。从目前的理论和技术水平来看，GPS定位技术是一种可在一定程度上替代几何水准的高效方法。采用GPS技术所确定出的大地高精度可优于1cm，要将所确定出的大地高转换为正高或正常高而又不降低精度，需要具有相同的精度的大地水准面或似大地水准面。大地水准面或似大地水准面为地形测图、GPS水准、导航、水道测量、海洋测量和其他一些卫星定位应用提供了将大地高转换为正高的基础。

3 参考椭球面与大地高

大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点沿通过该点的参考椭球面法线至参考椭球面的距离。大地高也称为椭球高，本文用符号H表示。

大地高是一个纯几何量不具有物理意义。它是大地坐标的一个分量，与基于参考椭球的大地坐标系有着密切的关系。显然，大地高与大地基准有关，同一个点在不同的大地基准下，具有不同的大地高。 4.不同高程系统间的关系

可将大地高、正高和正常高之间的相互关系总结如下：

H?Hg?N 或 Hg?H?N (2-13) H?H??? 或 H??H?? （2-14）

H??Hg?

gm??m?mHg 或 Hg?H???m?gmH? (2-15) ?m2.1.2 GPS高程测量的基本原理

在采用传统地面观测技术确定地面点的位置时，平面位置和高程通常是分别独立确定的，这样做的原因主要有两个：一个是平面位置和高程分别基于不同的参考基准，确定平面位置时通常以参考椭球面为基准，而确定高程时，则以大地水准面或似大地水准面为基准；另一个是确定平面位置和高程所采用的观测方法不同，水平位置通常通过侧水平角、侧边的方法来确定，而高程则是通过水准测量或测竖直角和侧边的方法来确定，由于观测方法不尽相同，因而进行观测时所要求的观测条件也不相同。

GPS通过观测值能得到网中每两点间的地心WGS-84坐标系中的坐标差

?Xs?(?x?y?z)Ts提供了地面点间位置和高程信息。如何求出地面点的高程(正常高)需要经过一些中间步骤，现介绍其基本过程。GPS测得的基线向量?Xs进行自由网平差，求出该网点地心坐标。取网中至少三个已知控制点，点位的大地坐标经纬度L,B和大地高H都已知，求出坐标值。转换公式为：

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?x??(N(B)?H)cosBcosL????? X?y??(N(B)?H)cosBsinL? (2-16)

??2??z????((1?e)N(B)?H)sinB??式中

e2?2f?f2，N(B)?a/1?e2sin2B f是椭球体参数

通过使用七参数法使用已知点上大地直角X坐标为控制公式为：

?x??xs??1???y???0 ?y???s????z????0?zs???010??x???y?????0x0?zsyss??z??0yzs0??xss? (2-17) ??m1zs?yx0?ss????x????y???z???式中?x，?y，?z为平移参数，m为尺度比，?x，?y，?z是旋转参数由此求得GPS测点的直角坐标，再通过变换即得与已知点相同椭球上的经度、纬度和大地高：

L?arctg(y/x)?ze2N(B)?1?B?arctg?2(1?)? （2-18） 2x?yN(B)?H??H?x2?y2?N(B)cosB众所周知，大地高是地面点至椭球面的高程，在正常的工程实践中是海拔高程(正常高)，两个基准面之差为该点的高程异常，即椭球面至似大地水准面之间的高差，表达式为：

H正?H?? （2-19）

式中H正，H分别为正常高、大地高，?为高程异常。还有一种是求出正常高高差，原理如下：

由GPS获得的基线向量通过网中至少三个已知点，经式(2-20)（?xs?ys?zs）维直角坐标系中公式为：

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?m??xx0?zy?x???s??sss?????y????y???yz0?x???x? （2-21）

s????s??ss??y????????z?zz?yx0????s??sss???z??求得GPS测点三维坐标差。由类似的式(2.19) 换到椭球面上，再由（2-22）求得正高高差：

?H正??H??? (2-22)

以上所述的GPS测高计算过程全由软件实施。由于坐标系转换时采用了不同的参数选取法，经转换后的GPS网点与相应地面网点仍有间隙， GPS亦即转换后网点坐标与地面网系统并不兼容，这对于城市网和工程控制网而言，不能说不是一个问题。为了使GPS网点坐标与地面网系统兼容在我国自行开发的软件中采取了系列的措施。

2.2 GPS高程拟合的方法

要想获得高程拟合的结果只要确定大地水准面差距即可，根据之前的大地高、正高之间的关系

N?H?Hg （2-23）

N为大地水准面差距，H为大地高，Hg为正高所以只要确定了大地水准面

差距即可。

确定大地水准面差距的基本方法有天文大地方、大地水准面模型法、重力测量法和几何内插法及残差模型法等方法。 2.2.1 天文大地法

天文大地法的基本原理是利用天文观测数据并结合大地测量结果，确定出一些点上的垂线偏差，这些同时具有天文和大地观测资料的点被称为天文大地点，然后再利用这些垂线偏差来确定大地水准面差距。具体用来确定大地水准面差距的天文大地法有两种。

方法一：测定A、B两点间加入了垂线偏差改正的天顶角，计算出两点之间大地高之差?HAB，利用水准测量的方法测定出两点之间的正高之差?HgAB或正常高之差?H?AB。这样，就可以得出两点间大地水准面差距的变化?NAB或高程异常的变化??AB：

?NAB=?HAB-?HgAB （2-24） ??AB=?HAB-?H?AB （2-25）

如果采用上述方法，确定出了一系列相互关联点之间的大地水准面差距变化

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或高程异常变化，并且已知其中一个点上的大地水准面差距或高程异常，则可以确定出其它点上的大地水准面差距或高程异常。

方法二：要确定A、B两点之间大地水准面差距之差，首先设法确定出从A点到B点路线上的垂线偏差?，然后沿路线AB进行垂线偏差的积分，即得：

BB?NAB?NB?NA????dS?EAB 或 ?NAB?NB?NA????0dS

AA式中：?为在地面上所观测到的垂线偏差；EAB为正高改正，且有

EAB??B45g??0A?450dh?45gm1??0?450Hg1?45gm2??0?450Hg2 （2-26）

?0为改化到大地水准面上的垂线偏差。

天文大地法所采用的基本数据为垂线偏差，它们是由二维大地平差所计算出的大地坐标与相应天文方法所确定出的天文坐标之间的差异。由于在该方法中需要利用大地测量成果来确定垂线偏差，因而采用该方法所获得的大地水准面差距信息是相对于大地测量成果所对应的局部参考椭球的，它是一种获得相对于参考椭球所隐含的局部大地基准的大地水准面差距的方法。该方法所得到的大地水准面差距信息本质上是天文大地点间的倾斜，大地水准面的剖面通过一系列的天文大地点来确定。另外，该方法仅适用于具有天文坐标的区域，其精度与天文大地点间的距离、各剖面间的距离、大地水准面的平滑程度以及天文观测的精度等因素有关，整体相对大地水准面差距的精度可能仅有几米。 2.2.2 大地水准面模型

大地水准面模型是一个代表地球重力场形状的数学面，通常由有限阶次的球谐多项式构成，具有如下形式：

GMnmaxnaen*N?()Pnm(sin?)[Cnmcosm??Snmsinm?] （2-27） ??R?n?2m?0R式中：?，?为计算点的地心纬度和经度；R为计算点的地心半径；?为椭球上的正常重力；ae为地球赤道半径； G为万有引力常数；M为地球质量；Pnm*为n次m阶伴随Legendre函数；Cnm、Snm为大地水准面差距所对应的参考椭球重

力位的n次m阶球谐系数；nmax为球谐展开式的最高阶次。

大地水准面模型的基本数据为球谐重力位系数，所得到的大地水准面差距信息相对于地心椭球，模型精度取决于用作边界条件的重力观测值覆盖面积和精度、卫星跟踪数据数量和质量、大地水准面平滑性以及模型最高阶次等因素，旧旧的针对一帮用途的大地水准面模型的绝对精度低于1米，但目前最新的大地准面模型的绝对精度有了显著提高，达到了几个cm。另外，通过模型所得到的相对大地水准面差距的精度要比绝对大地水准面差距的精度高，因为，计算点处所存在的偏差将在大地水准面差距的求差过程中被大大地削弱。实践中，要得到特

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定位置处的大地水准面差距，可首先提取该位置所处规则化格网节点上的模型数据，然后使用双二次内插方法来估计所需要的大地水准面差距。大地水准面模型的适用性很广，可在陆地、海洋和近地轨道中使用，不过目前全球性的模型在某些区域其精度和分辨率很有限。 2.2.3 重力测量法

重力测量方法的基本原理是对地面重力观测值进行Stokes积分，得出大地水准面差距，其中，Stokes积分为

N?R4?????gS(?)dS （2-28）

s式中：R为地球平均半径；?为全球正常重力的平均值；S(?)为Stokes函数；?g为某个表面单元的重力异常（等于归化到大地水准面上的观测重力值减

?为从从地心所测量的计算点与重力异常点去椭球上相应点处的正常重力值）；间的角半径。

原则上积分应在全球范围内进行，在未采用空间技术之前，特别是在未具有由球谐系数所提供的全球重力场之前，由于需要全球的重力异常，从而限制了该重力测量方法的使用。现在，重力测量技术实际上是Stokes积分与球谐模型的组合，即

N?NL?NS （2-29）

式中，NL通过计算获得，NS是由表面重力积分所得出的短波信息，不过所采用的是下面经过修改的公式：

RNS?4???02???00f(?)?g?d?d? （2-30）

‘积分仅在以计算点为中心、半径为?0的有限区间中进行，而?g为

‘=?g+?gL （2-31） ?gGM?gL=2Rnmaxaenn*()?Pnm(sin?)[Cnmcosm??Snmsinm?] （2-32） ?Rn?2m?0采用重力测量法所得到的大地水准面差距信息是相对于地心椭球的，其基本数据是计算点附近的地面重力观测值，仅适用于具有良好局部重力覆盖的区域。采用该方法所得到大地水准面差距的精度与重力观测值的质量和覆盖密度有关。与大地水准面模型法类似，该方法确定出的相对大地水准面差距精度要优于绝对大地水准面模型，其相对精度可达数十几万分之一。 2.2.4 几何内插法

在一个点上进行GPS观测，可以得到该点的大地高H，若能得到该点的正高Hg，就可根据式（2-32）计算出该点的大地水准面差距N：

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N?H?Hg （2-33）

式中H可以通过水准测量确定。简单的介绍常用的多项式插值算法

在进行多项式插值时采用不同次的多项式，如何将大地水准面差距表先为下面的多项式的形式：

(1)零次多项式（常数拟合）：

N?a0

(2)一次多项式（平面拟合）

N?a0?a1dB?a2dL

(3)二次多项式（二次曲面拟合）：

N?a0?a1dB?a2dL?a3dB2?a4dL2?a5dBdL

dB?B?B0;dL?L?L0;B0?式中：

11B;L0??L;n为进行了GPS观测的点?nn的数量。

利用其中一些具有水准资料的所谓公共点上大地高和正高，可以计算出这些点上的大地水准面差距N。若要采用零次多项式进行内插，要确定一个拟合系数，至少需要一个公共点；若要采用一次多项式进行内插，要确定3个拟合系数，至少需要3个公共点；若要采用二次多项式进行内插，要确定6个拟合系数，至少需要6个公共点.以进行二次多项式拟合为例，存在一个这样的公共点，就可以列出一个方程

Ni?a0?a1dBi?a2dLi?a3dBi2?a4dLi2?a5dBdLii

若存在m个这样的公共点，则可列出一个由m个方程所组成的方程组

?N1?a0?a1dB1?a2dL1?a3dB12?a4dL12?a5dB1dL1?22?N2?a0?a1dB2?a2dL2?a3dB2?a4dL2?a5dB2dL2 （2-34） ????22?N?a?adB?adL?adB?adL01m2m3m4m?a5dBmdLm?m将上式写成矩阵形式则有

V?Ax?L （2-35）

式中：

?1dB1?1dB2A??????1dBmx??a0V??N1a1dL1dL2Lma2a3dB12dB22?dBm2a4TdL12dL22dLm2a5?TdB1.dL1dB2.dL2dBm.dLm???;????

N2?Nm?淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 13 页共 41 页

通过最小二乘法可以求解出多项式的系数

x??APA?T??APL? （2-36）

?1T式中，P为大地水准面差距值的权阵可根据大地高和正高的精度加以确定。几何内插法简单易行，不需要复杂的软件，可以得到相对于局部参考椭球的大地水准面差距信息，适用于那些具有足够既有正高又有大地高的点并且其分布和密度都较为合适的地方。该方法所得到的大地水准面差距精度和与公共点分布、密度和质量及大地水准面的光滑度等因素有关。由于该方法是一种纯几何方法进行内插是没有考虑大地水准面起伏变化，因而一般仅适用于大地水准面较为光滑的地区，如平原地区。这些区域，拟合的准确度可优于1dm。另外通过这方法得到的拟合系数，仅适用于确定这些系数的GPS网范围内。

2.3 几种常用的GPS 高程拟合法

2.3.1 多项式拟合法

多项式模型公式为：

n0kZ?X,Y???k?0?ai?0k,iX?k?i?Yi, （2-37）

具体参见几何内插法中的举例。

2.3.2 加权均值法

加权均值法:加权均值法的实质都是根据水准重合点上的高程异常值的加权均值估计插值点的高程异常。加权均值法的出发点是以计算为中心，取拟合半径内已知函数值的权中数。已知数据点上的权按其距中心点的不同范围用不同的权函数确定，以保证越靠近计算点的已知点的权越大，远离计算点的已知点的权迅速减小。在加权均值局部内插模中科选拟合模型的半径为R=3km，并规定：

1/r??2 ?(x)??27/4R??r/R?1??0?则内插函数模型为：

0?r?R/3R/3?r?R （2-38）

r?RN22?N??r/?r?????????????F?x,y???i?1?i?i?1?i???i?r?0r?0 （2-39）

式中ri???x?xi???y?yi??

??在拟合中可用向径距离?来代替r来定权即在权函数中用?i?r??h212212?1221?来

代替r。

2.3.3 多面函数法[17]

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多面函数模型是美国Hardy教授于1977年提出的 ,来解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题。多面函数的解算有最小二乘配置和推值法的特点。最小二乘配置法中的协方差函数是一种统计函数，在高程异常资料稀少的地区很难确定，而多面函数的核函数可以按几何关系确定，它是距离的函数，且顾及了待定点和已知点间的相关关系，起权系数矩阵的作用。似大地水准面上任意一点高程异常的表达式可用下式表示:

???kiQ?x,y,xj,yj? （2-40）

j?1n其中?为高程异常；ki是待定系数；Q?x,y,xj,yj?是x和y的核函数；m为核函数的个数；?xj,yj?为已知点坐标。常用的核函数一般取下面的对称型的距离函数：

Q?x,y,xj,yj???x?x???y?y?2jj2?? （2-41）

其中，?为光滑系数，系数越大，多面函数越平滑越光滑。

若m?n个已知水准点，可选其中n个为核函数的中心点Pj?xj,yj?令：

Qij?Q?xi,yi,xj,yj? 则所选各已知点应满足：

n?i??kiQij?i?1,2,?,m? （2-42）

j?1由该公式可列出误差方程:

?v1??v??Q11?2???Q????21??????vm?Q12Q22??ki???1??Q1n??????k2????2? （2-43） ?Q2n????????????k?????n??n?或：V?QK?? （2-36）

经最小二乘平差得：

K?QTQQT? （2-44）

任意一点P?xp,yp?的高程异常?p为：

???1?p?QTp.K （2-45）

其中：

TQP??QP1QP2?QPn?

QPj?Q?xp,yp,xj,yj?

若将全部已知水准点取为核函数的中心点。即m?n则：

K?Q?1? （2-46）

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T?P?QPQ?1? （2-47）

展开得：

?P??QP1QP2?PPn? （2-48）

?Q11Q12?Q1n???1??Q????Q?Q12222n???2? （2-49） ????????????QQ?Qn2nn???n??n1?12.3.4 BP神经网络法[]

该方法是使用输出后的误差来估计输出层的直接前导层的误差，再用这个误差来估计再前一层的误差，这样循环往复的传递，能得到其他各层的误差，通过改变网络的链接权值，使网络的输出接近期望的输出值。

BP 网络(Back Propagation NW) 是一种误差反向传播的多层前馈网络。它是由输入层、输出层和一层或多层隐含层组成，曾与层之间无反馈连接并且神经元之间无任何连接，但是对于临近层的神经元之间有连接。该算法属有导师训练类，它是多层映射网络并且采用最小均方差的学习方式，是目前在工程上使用最普遍的网络。本文列举的转换GPS高程的五层BP神经网络结构（参见图2-3）。网络共设五层，由下至上依次为输入转换层、输入层、隐含层、输出转换层。网络只设一个隐含层，但另外增加了一个输入数据转换层和一个输出数据转换层。本文所采用的标准输入、输出数据限定范围为0到1，但是实际工程应用中的参数（X,Y），其数值都非常大，因此，输出数据范围可设定为0.2-0.8或者是0.1-0.9可避开网络的饱和区.

输入转换层和输出转换层的计算公式因工程而异，具体应用时最好通过编程由电脑实现自动转换流程图如下：

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 16 页共 41 页

图2-3五层BP神经网络结构

2.3.5 Akima插值法

[11]

Akima插值法是在两个测点之间进行内插，除需要用到两个实测值外，还要周围相近邻的四个实测点上的观测值。也就是说共需六个实测点。设已知数据点为?xi,yi??i?1,2,3,?n?，通过找一条光滑曲线y?f?x?使其满足yi?f?xi?。显然如果已知每个数据点上的导数，那么在任何两个相邻的数据点x1与xi?1之间就有四个条件即

?yi?f?xi???yi?1?f?xi?1? （2-50） ?'?y1?ti?y'?t?i?1i?1从而可以唯一的确定一个三次多项式曲线，并且有上式后两个条件可以看出，这样确定的整条曲线是光滑的。由此可以看出确定每一个数据上的导数是一个关键的问题。

2.4 Matlab在高程拟合中的应用

使用Matlab编程来解决高程拟合镇南关出现的问题已经越来越受到人们的注重。Matlab是美国MathWorks公司的商业数学软件，用于算法开发、数据分析数据可视化等的计算语言和交互式环境，其主要包括Matlab和Simulink两大部分。Matlab的基本数据单位是矩阵，它的表达式与数学工程计算中常用的形式十分相似。主要功能包括：数据分析和可视化；数值计算；符号计算；文字处理；SMULNK动态仿真。由于以上优点，Matlab越来越多的应用到工程中去算速度。其工作流

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程如图（2-4）

坐标数据预处理（以一定的格式组织拟合数据包括把数据表示成矩阵的形式数据的中心化）采用最小二乘法求解拟合模型系数带入数值求各模型的拟合高程异常值? 比较已测点高程异常值，并求残差比较未测点高程异常值，并作检核内符合精度评估外符合精度评估比较选择最优结果，确定模型，输出结果图2-4 Matlab高程拟合工作流程

2.5 小结

本章主要论述了确定大地水准面差距的基本方法天文大地法、大地水准面模型法、重力测量法和几何内插法等方法以及几何内插法中的几种具体的方法，尤其是几何内插法多项式法是本文的重点。

对于基于Matlab的高程拟合主要是用于比较各种拟合法的精度，但本文主要研究的就是基于最优回归理论下的高程拟合的研究，主要是以之前所提到的在几何内插多项式法。

那么就可以提出下面的问题了：

1、就多项式而言，二次多项式即二次曲面拟合中所提到的模型：

Ni?a0?a1dBi?a2dLi?a3dBi2?a4dLi2?a5dBdLii N1?a0?a1dB1?a2dL1?a3dB12?a4dL12

等都是二次曲面

2、当我们每次提到二次曲面时都会想到的是未知的6个参数，即上面所提的至少需要6个公共点，但是，不是对于每个区域的拟合精度都是含有六个参数时是最好的，所以本文提出了最有回归理论下的最优模型的选择，主要是在多项式

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 18 页共 41 页

中进行研究。具体实例参见第五部分的实例分析。

3 GPS高程拟合的精度分析

GPS高程拟合误差主要有:GPS测量和据处理引起的误差还有误差和已知点误差，模型在建立时的误差。

3.1 GPS测量及数据处理误差

3.1.1 GPS测量引起的误差

GPS测量中出现的各种误差按其来源大致包括与卫星有关的误差；信号传播误差（电离层延迟，对流层折射，多路径效应）；观测误差和接收设备的误差等。 3.1.2 GPS数据处理误差

GPS数据处理误差包括相位整周模糊度解算对GPS高程的制约及星历和参考坐标对高程的制约还有部分的天线高对高程测量的影响，当然GPS数据处理中模型引起的误差也是不可避免

3.2水准点引起的误差

用于拟合的水准点的精度大小，直会接作为误差传播到拟合的结果中。所以外业水准数据的精度是影响GPS高程拟合精度的关键因素。因此对已知水准点可以根据要求确定取舍。

3.3 拟合模型引起的误差

对于任何区域如果涉及到的GPS高程拟合，都不能用固定的模型来进行拟合。尽管有大量数据及资料表明:在地势比较平坦的地区，可以使用数学拟合法把GPS大地高转换为GPS高程就能达到四等几何水准的精度。但是由于测区不确定性和环境及认为的不定因数会直接影响拟合的结果所以对于模型的选择需要经过多次验证才能得到改厕去的理想模型。有其实本文所研究的多项式模型，文章选择拟合点的数量以及拟合点的分布都会对拟合的结果产生很大的影响。所选模型是要拟合整个区域的最佳的似大地水准面或高程异常面。如何在带状区域和面状区域利用最优回归理论来获得高程拟合模型市提高拟合结果的精度和可靠性这也是本文研究的重点。

3.4 GPS高程精度评定

在GPS高程可以通过两种方法来研究一是内符合精度，二是外符合精度在学过最优回归理论后游游其他的准则来评定GPS高程拟合的精度。详细请参见第四部分。现先介绍内符合精度和外符合精度和GPS水准当中的精度评定。 3.4.1 内符合精度

'??若己知点的己知高程异常为i，其拟合值为i，已知点个数为n，;令

V??i??i'则内符合精度定义为：

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????vv （3-1）

n?13.4.2 外符合精度

'??ii令检核点的己知高程异常，与拟合值之差V，检核点个数为n，则外符

合精度的定义为????vv n?1内符合精度与外符合精度都是一种相对意义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。 3.4.3 GPS水准相对精度评定

GPS水准相对精度评定的方法有两种:

(l)检核点到己知点的距离L，按几何水准限差(见表2一)来计算检核点拟合残差的限值，为了评定GPS的水准度可以通过残差和限值进行比较得出结果。

(2)通过GPS水准测量得出求出点间的正常高程差，在己知点和点之间间组成符合或闭合高程导线，按计算的闭合差V与表3一1中允许的残差限差比较，来衡量GPS水准测量能达到的精度。

几何水准限差表3-1

等级三等几何水准测量四等几何水准测量普通几何水准测量

允许残差（mm） ?12L ?20L ?30L

3.5小结

本章介绍了常用的GPS高程精度评定，并根据GPS高程拟合的过程分析了GPS高程拟合的误差来源。GPS测量及数据处理引起的误差和己知水准点引起的误差及拟合模型引起的误差是GPS高程转换的主要误差。在GPS测量过程中，通过对电离层模型、对流层模型的改正或将两个观测站同步求差等可以消弱电离层和对流层部分有关折射的影响，有效的提高GPS定位精度从而提高了GPS高程拟合的精度。本章对GPS数据处理误差并作了简要论述也从模型的角度进行了详细分析。

对拟合模型分析的基础上，提出了本文的研究目标: 利用最优回归理论，处理大地水准建模时所用到的多项式模型，得到最优的回归模型，以期提高似大地水准面的建模精度。

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4 最优回归理论

[12]

在应用回归费明细处理实际问题时，我们首先需要解决的问题就是回归方程的选择，对于回归模型而言，所谓回归方程的选择包括：

(1)回归方程选择的类型，即判断式使用线性回归模型还是非线性回归模型来处理生产实践中的问题。统计学上称之为回归模型的线性检验。

(2)模型选定后，自变量的选择问题。根据专业的统计的方法，确定因变量和对其有影响的自变量，是否影响一个线性回归模型，这时回归方程的选择就成为了回归自变量的选择。

在实践学习中做回归分析时，将各种与因变量有关或可能有关的自变量引起回归方程，其结果是将一些对因变量影响很小甚至没有影响的自变量也包含在回归方程中，从而使计算量增加，因变量预报的精度下降。对有些实际中遇到的问题，某些自变量的观测数据的获得是十分昂贵的，如果这些自变量本来就对因变量没影响，或者影响较小，而我们又都将其加入回归方程，那么一定会造成观测数据收集和模型应用的费用都会增加，因此选择一个“最优”的自变量子集是非常重要的。

4.1 Gauss-Markov假设

假设根据经验或专业理论确定一切可能对因变量Y有影响的自变量共有

p?1，记为X1,...,XP?1,它们与Y一起适合线性回归模型即：

Y??0??1X1?...??P?1XP?1?e （4-1）

其中e为误差项，它表示除了X1,...,XP?1之外其它因素对Y的影响以及试验或测量误差。?0,?1,...,?p?1是待估计的未知参数，我们获得了n组观测数据（xi1,...,xi,p?1,yi）, i?1,2,...,n之后，便有：

yi??0??1xi1?...??p?1xi,p?1?ei，i?1,2,...,n （4-2）

其中误差项ei（i?1,2,...,n）满足如下假设：（a）E(ei)?0，

（b）Var(ei)??2，（等方差）（4-3）（c）Cov(ei,ej)?0,i?j.（不相关）这就是所谓的Gauss-Markov假设

在Gauss-Markov假设中，a所显示误差项不包含任何系统的趋势，因而观测值yi的均值：

E(yi)??0??1xi1?...??p?1xi,p?1, i?1,2,...,n, （4-3）

这就是说，观测值yi大于或小于其均值E(yi)的波动完全是一种随机性的，

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 21 页共 41 页

这种随机性来自误差项ei。我们所了解的是一个随机变量的方差描述的该随机变量取值散布程度的大小，因此假设第二项要求ei是等方差，也就是要求不同次的观测yi在其均值附近波动程度是一样的。一般不容易达到，所以一般我们会放松为Var(ei)??i2，i?1,2,...,n。第三个的假设等价于在进行不同次的观测时是不相关的。在实际应用中这个假设比较容易满足。但是在一些实际问题中，误差往往是相关的，这时估计问题比较复杂，在这就不讨论了

4.2 RMSq准则

如果模型（3-2）就是真实模型，那么统计建模的任务就是利用一些统计方法通过（4-2）式来估计未知参数?1,...?p?1和?2，对估计的回归方程作统计分析，根据需要，用所估计的回归方程对因变量Y进行预测。有些自变量对Y没大影响或者统计出的结果页没有明显的影响，则我们就有可以从全部自变量挑选一些，比如，前q-1个自变量X1,...,Xq?1，成为一个“最优”自变量子集。于是相应的“最优”回归方程为

Y??0??1X1?...??q?1Xq?1?e （4-4）

我们一般称（4-4）为选模型，而称（4-1）为全模型，现在我们所要讨论的三个问题：

回归方程（4-1）减少自变量后，对回归方程的估计有怎样的影响? 回归方程（4-1）减少自变量后，对因变量的预测有什么影响? 如何评价所选择的回归方程是“最优”的。

通过对有关书籍的学习，我了解到残差平方和RSS的大小反映了实际数据和理论模型的偏离程度，是评价回归方程的一个重要标准。一般来说，RSS愈小，数据与模型拟合的愈好，记选模型（4-4）下的残差平方和为RSSq，由定理

（a）RSS?y'(I?X(X'X)?1X')y （4-6）（b）??是?的无偏估计则有：

?2RSS （4-5） n?pRSSq?y'(I?Xq(Xq'Xq)?1Xq')y，（4-6）

其中y?(y1,...,yn)'

?1x11?x1,q?1???1x?x212,q?1?Xq??????????1x?x?n1n,q?1??

x当在选模型中再增加一个自变量。记作q相应的设计矩阵记为，其中

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xq??x1q,?,xnq?，这时的残差平方和为

'RSSq?1?y'(I?Xq?1(Xq?1'Xq?1)?1Xq?1')y （4-7）

记：

'a?(Xq'Xq)?1Xq'xq,b?1?xq'xq?xqXq(Xq'Xq)?1Xq'xq,c??ab （4-8）

利用分块矩阵求逆公式有

'?XXqq'?1(Xq?1Xq?1)??'?xX?qq?1'??X'X??1c?Xqxq????qq?'??xqxq?c'b??? （4-9）

于是

Xq?1(Xq?1'Xq?1)?1Xq?1'??Xq'?XqXqxq??'?xX?qq'Xqxq??'xqxq???1'?Xq???x'???q? （4-10）

' =Xq(Xq'Xq)?1Xq'?Xqaba'Xq'?xqcXq'?Xqcxq

从而

Xq?1(Xq?1'Xq?1)?1Xq?1?Xq(Xq'Xq)?1Xq?b(Xqa?xq)(Xqa?xq)'?0通过（4-6）和（4-7）两式得

RSSq?1?RSSq，

此时当自变量子集扩大时，RSSq随之减少，如果按之前所说的“RSSq愈小愈好”的原则，选入回归方程的自变量越多越好。这样，“最优”自变量子集应取?。可见，残差平方和还不能直接用作选择自变量的准则。

由于RSSq是随着q增大而下降，为了防止选取过多的自变量，一种常见的作法是，对残差平方和RSSq乘上一个随q增加而上升的函数作为惩罚因子，于是，我们定义

RMSq?1RSSqn?q （4-11）

由RSSq得定义知，RSSq是平均残差平方和其图形大致为图（4-1）由图可知，随着q的增加RMSq先是减少，而后稳定下来，最后又增加，之所以这样，是因为随着q的增加，尽管惩罚因子?n?q?增大了，但此时RSSq减少很多，故总的效果为RMSq是减少的，当自变量的个数增加到一定程度,虽然RSSq还是减少了但不足以抵消惩罚因子?n?q?的增加最终导致了RMSq的增加，因此?n?q?确实体现了对自变量个数的增加所施加的惩罚。

?1?1?1淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 23 页共 41 页

RMSqO 图4-1 RMSq 变化曲线 q

按照RMSq的性质，我们按“RMSq愈小愈好”的原则选取自变量子集，并

称其为“平均残差平方和”准则，或简称为RMSq准则。

4.3 Cp准则

对于选模型（3-4），在任意一点x??x,x'q'r?处，其中x表示x的前q个分量，

'q并且约定第一个分量为1.我们用y?x?q来预测y?x??e的值其中?q为

??????的最小二乘估计。此时MSEP(y)?E(y?y)2可作为度量预测精?q???0,?,?q?1????'q?'?'度的指标对MSEP(y)作分解

??'??'???'???MSEP(y)?E?xq?q?E?xq?q??E?xq?q??y?????? ??2?'??????Var?xq?q???Ee????? （4-12）

由上式可见，预报精度取决于两个方面：一是预报值方差的大小，二是预报值与真值偏离程度。

以“MSEP(y)愈小愈好”为出发点导出的准则，称为Cp准则，它是由Mallows于1964年提出，其定义为：

Cp??22?RSSq??2??n?2q? （4-13）

其中?为在全模型下误差方差的估计。Cp准则按“愈小愈好”的原则选取自变量子集。

4.4 AIC准则

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除上面介绍的RMSq准则和Cp准则外还有一些其它的自变量选择准则。我们介绍其中的AIC准则。

极大似然原理是统计学中估计参数的一种重要方法。日本统计学家Akaike把这个方法加以修正，于1974年提出了一种较为一般的模型选择准则，称为Akaike信息量准则，简称AIC准则，它可以表达为“AIC=-2ln(模型似然度)+2（模型自由参数个数）” （4-14）

2在选模型（4-4）中假设误差e~N?0,?I?，则参数?q???0,?,?q?1?和?q的

2'似然函数为：

L??q,?|y???2??2qn2?2q???1exp??22?q??q?1??y??x?i?jij??i?1?j?1?n2????? （4-15）

2其中xi0?1,2,?,n,而对数似然函数为

n122lnL??q,?q|y???ln?2??q?2?22?qq?1??y??x?i?jij??i?1?j?1? （4-16） n2根据极大似然原理，容易求得?q和?q的极大似然估计为

?q??XXq?Xqy,'q?1????2qRSSqn1?y'?I?Xq(Xq'Xq)?1Xq'?yn （4-17）

把它们带入（4-2）式，得对数函数：

???2??nn?nlnL??q,?q|y?????ln????22?2???n ???ln(RSSq) （4-18）

??2上式中略去与q无关的项，按照（4-11），AIC的统计量为

AIC?nln?RSSq??2q （4-19）

对所有可能的回归自变量的子集，计算相应的AIC之值。

AIC的准则为：选择使（4-13）式达到最小自变量子集为最优回归子集。

4.5 计算所有可能的回归

对于线性回归模型，设存在p-1个自变量x1，x2 ，?，xp?1，且这p-1个自变量的任何一个子集都可以和因变量Y建立一个线性回归方程。为了寻找最优的回归方程及全面了解因变量和自变量之间的结构关系，考虑到把p-1个自变量的所有可能组合，都与Y建立方程，然后按一定准则进行比较，从中得出最优的回归模型，对p-1个自变量的线性回归问题，所有可能的回归有2只含一个自变量的回归有C1p?1?p?1个；

p?1?1个，它们是：

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2只含两个自变量的回归有Cp?1?(p?1)(p?2)个

2??

p?1包含全部p-1个自变量的回归有Cp?1?1个。

10当p很大时，比如p=11，则需要计算的回归方程的个数有2-1?1023个。可

见，计算所有可能的自变量子集的回归，不仅计算量很大，而且这是误差累计也就成为一个不可忽略的问题。因此，我们必须设计一个很合理的计算次序和有效的计算方法，使得从一个自变量子集到另一个自变量子集所需要的计算量比较小，并把误差积累控制在一个适当的范围内。

计算所有可能的回归的方式有

（1）字典型：按字典编排次序计算所有可能回归。该计算方式的优点是占用计算机内存小，当p较大时，也可以考虑此方式。

（2）自然式：按自变量下标的自然顺序计算所有可能的回归，该计算机方式需要占用计算机的存储量大。

5 实例分析

通过以带状区域与面状区域为例来验证的而各种高程拟合的方法，利用最优回归理论来验证模型的精度高地，从而找到最优回归模型，为今后在生产实践中运用到诸如此类的区域可以考虑本文的研究方法与结论。

5.1 实验一

5.1.2 计算方案

试验区位于我国东部地区，面积近50 km2，平均高程160 m，最大高差84 m。在测区内地势较平坦，由GPS测量获得了74个点的平面位置和椭球高，同时用水准测量获得了这些点的正常高（以下简称真值），也就是说，这74点每个点都获取了平面位置和高程异常。测区范围如下图所示：

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5.1.2 计算过程 1 二次多项式法：

先将75个点录入，将其平均分成三组，每一组都能够代表这个区域数据分组使用第一组的数据来建立多项式法中的各种模型，第一组数据（26个点）用来分别寻求二次多项式和加权平均法两种转换方法参数，参数得到后，可以以第二组和第三组的平面坐标代入模型中，求解拟合后的高程异常；对于第二组数据（25个点）来说，此时既有两种拟合算法的高程异常，又有真值，建立二次多项式中的各种模型；而第三组数据（23个点）有真值和的结果，故可以用来检验多项式法拟合的效果。

本文运用Matlab7.0编程完成计算任务。关于二次多项式程序如下

通过第二组数据的验证来得出最优模型，

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通过matlab读出回归系数如下表所示：

回归系数表5-1

模型中的自变量 x,y x,y,xx x,y,xy x,y,yy x,y,xx,xy x,y,xx,yy x,y,xy,yy x,y,xx,xy,yy

14.26755，-2.0085,2.565977

14.63503，-3.04945,2.567719,0.724204 14.47557，-2.30012,2.233375,0.462279 14.37418，-2.01549，2.223649，0.27312 14.86779,-3.39576,2.21797,0.751753,0.486203

14.85262，-3.30615，2.150827，0.896863，0.332941 14.44248,-2.13997,2.149081,0.199559,0.21806

14.89244,-3.37308,2.101279,0.884757,0.294822,0.135233

于是得到模型

Z?14.26755?2.0085x?2.565977yZ?14.63503?3.04945x?2.567719y?0.724204x2Z?14.4755?2.30012x?2.233375y?0.462279x2Z?14.37418?2.01549x?2.223649y?0.27312x2Z?14.86779?3.39576x?2.21797y?0.751753x2?0.486203xyZ?14.85262?3.30615x?2.150827y?0.896863x2?0.332941y2Z?14.44248?2.13997x?2.149081y?0.199559xy?0.21806y2Z?14.89244?3.37308x?2.101279y?0.884757x2?0.294822xy?0.135233y2????????

计算各个准则及外符合精度

多项式法各个准则以及外符合精度表5-2 模型中的自变量 x，y x, y ,xx x, y, xy x, y, yy x, y, xx ,xy x, y, xx ,yy x ,y ,xy ,yy x,y, xx, xy ,yy

0.024435

0.024214 0.024428

0.024131

0.024134

0.02348

0.024627 0.024024

0.000597

0.000586 0.000597

0.000582

0.000551

0.000606 0.000577

3.793385

4．349376 4.746168

4.197172

5.193584 4.059937 6.066892 6.000649

-105.488 -105.115 -104.658

-105.293

-104.496 -105.926 -103.446 -104.003

RMS RMSq Cp AIC

外符合精度

0.030844

0.02944 0.030451

0.030251

0.029055

0.02825

0.030176 0.028261

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结果分析

利用各种准则和检验来选取自变量子集RMSq准则，Cp准则，AIC的准则，这三个准则在之前的最优回归理论中已经详细介绍，通过t检验和F检验来验证一下各个模型的参数合不合格。

1.F检验

s0.024214??0.00167414.46495y（5-1）

读出主要统计量，预备统计检验或者开展模型特征的初步分析。相关系数和相关系数的平方和为R=0.998026，R2?0.996056，更稳妥的是，可以采用校正相关系数平方

标准误差：S=0.024214考虑到z的平均值14.46495，容易计算变异系数，数值小于0.1就能接受。总体回归的F统计量为F=1851.887，大于显著性水平为??0.05时的临界值F0.05,3,22?3.05，也大于显著水平为??0.01时的临界值F0.01,3,22?4.82，因此，F值没问题。

2.t检验

从m文件中还可以读出t统计量，完整的二次多项式：

Z?14.89244?3.37308x?2.101279y?0.884757x2?0.294822xy?0.135233y2

?回归系数的t统计量为：

ta1??3.64128,ta2?6.106585,ta3?1.434777,ta4?1.092271,ta5?0.243796

其中ta4,ta5的统计量的绝对值小于??0.1时的临界值t0.1,20?1.3253所以回归系数的t检验不能通过。那么对于选择的最优模型

Z?14.85262?3.30615x?2.150827y?0.896863x2?0.332941y2t的统计量为

?ta1??3.82352,ta2?7.925579,ta3?1.495791,ta4?1.548317,??0.1时的临界值t0.1,20?1.3253所以回归系数的t检全部通过。

对于面状的区域而言我们所选择的最优模型为

再继续选用第三组模型来验证z?a0?a1x?a2y?a3x2?a4y2那么为了验证结论，模型的外符合精度。 5.1.3 验证过程

用第三组实验数据来验证之前得到的模型，我们运用EXCEL来验证，验证方法如下

①打开对话框。沿着主菜单的“工具（T）”—“数据分析（D）…”路径打开数据分析对话

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 29 页共 41 页

②选择回归后输入选项，以四个参数的为例，如果需要建立的模型为

z?a0?a1x?a2y?a3xx则如下图所示，首先将光标置于Y值输入区域，从E1单元格其到E27为止，光标置于X值输入区域从B1单元格其到D27为止,选用作因变量全部数据连同标志，置信度为95%，选中新工作表组，以及残差的全部选项和正态分布。

③读出残差通过计算得到残差 ④计算外符合精度通

?过之前的多项式模型即

Z?14.63503?3.04945x?2.567719y?0.724204x2来预测第二组的的高程异常，

则外符合精度为????vv=0.02944，那么其他的多项式模型的计算如同

n?12z?a0?a1x?a2y?ax3一样，继续建立模型如下

z?a0?a1x?a2yz?a0?a1x?a2y?a3xyz?a0?a1x?a2y?a3y2z?a0?a1x?a2y?a3x2?a4xyz?a0?a1x?a2y?a3x?a4y22

z?a0?a1x?a2y?a3xy?a4y2z?a0?a1x?a2y?a3x2?a4xy?a5y2淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 30 页共 41 页

22z?a?ax?ay?ax?ay01234通过第三组数据验证模型的外符合精度

验证外符合精度表表5-3

x,y

x,y,xx

x,y,xy x,y,yy x,y,xx,xy x,y,xx,yy x,y,xy,yy x,y,xx,xy,yy

0.028525

0.02878

0.02746

0.0274

0.028542

0.027445

0.029281 0.028423

⑤结果分析

仍然是z?a0?a1x?a2y?a3x2?a4y2精度最高所以我们所选择的最优模型为z?a0?a1x?a2y?a3x2?a4y2

2 多面函数法

选择核函数，选择测区的74个点，，将其平均分成三组，每一组都能够代表这个区域数据分组使用第一组的数据的26个点。Cass成图如下：

本文选择71，65,60,2,31这5个点位核函数的节点，运用???kiQ?x,y,xj,yj?j?1n求出待定系数，再利用待定系数预测出第二组合第三组的高程异常。计算过程使用matlab编出。程序如下：

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 31 页共 41 页

经过Matlab编程得出结果

实验结果外符合精度为0.0462 3 BP神经网络法

BP神经网络法属有导师训练类。它是多层映射网络，采用最小均方差的学习方式，是目前工程上使用最广泛的网络。

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 32 页共 41 页

程序如下： clear clc tic

load group1.txt group1 x=group1(:,2:3); xx=x;

target0 =group1(:,4); %数据归一化 minx = min(x); maxx = max(x);

targetmn = [max(target0),min(target0)]; [n, m] = size(x); x0 = repmat(minx,n,1);

x1 = repmat(maxx,n,1); %fuzhi juzhen x = x - x0; dx = x1 - x0; x = x./dx; x = x*0.8+0.1; xp =x(1:26,1:2) xt =x(27:end,1:2);

t=(target0(1:26,1)-min(target0))/(max(target0)-min(target0))*0.8+0.1 p0=xt(:,1:2); t0=group1(27:end,4); tt=group1(1:26,4); p= xp'; p0 =p0'; t =t'; t0= t0';

% 神经网络训练连接权 s1 =12; s2 =1;

%net = newff(minmax(p),[s1,s2],{'tansig','purelin'},'traingdx'); net = newff(minmax(p),[s1,s2],{'logsig','purelin'},'trainlm');

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 33 页共 41 页

net.trainParam.epochs=100; net.trainParam.show=5; net.trainParam.goal=1e-4; net.trainParam.lr=0.1; net.trainParam.lr_inc=1.26; net.trainParam.lr_dec=0.05;

net.IW{1,1}=[5.895050403328252,-7.414683533152447,4.734057716550163,-8.197828715974948,-2.04032257319458,-0.962527989224434,2.64322542080955,-1.575463550551639,1.670657833536203,-2.775201194739378,-0.151813124174271,2.410704714378855;2.90020876825478,-1.066705705723336,-2.408675712605587,-1.360002766847693,1.52121104363236,-0.065219076431366,1.186098521533564,-0.083614381659459,-0.105733308366934,0.292161145572697,2.118349466274663,0.114384863209273;]';

net.b{1,1}=[-2.786445045067222;2.190312242219217;-0.141841564829396;-1.22467405273539;2.059706719508967;-2.741747073583218;0.867827053899379;2.988501548424409;0.808023804665321;-0.569026814968193;1.682606538611846;2.571969317554514;];

net=train(net,p,t); ap=sim(net,p); ap1=sim(net,p0);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %ap= t-ap; ap = ap';

ap= (ap-0.1)*1.25;

ap= ap*(targetmn(1)-targetmn(2))+targetmn(2) v = tt-ap

sigma0 =sqrt(v'*v/26)

% 反归一化得到最终计算结果 z0 = ap1'; z0 =(z0-0.1)*1.25

z0= z0*(targetmn(1)-targetmn(2))+targetmn(2)

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% dv= z0; dv = t0'-z0; sort(dv)

sigma1= sqrt((dv'*dv)/48)

save kf3 net sigma1= sqrt((dv'*dv)/48) save kf3 net

三种方法比较表 5-4

高程拟合方法

二次多项式

与真值的最大差值

5.2972

与真值的最小差值

-6.4773

差值的平均值 0.2110

标准差 2.817

第二组外符第三组外符合精度（cm）合精度（cm）

0.02825

0.0274

多面函数 0.362094 -5.5086 -2.06524 2.4757 0.0322 0.0401

BP神经网络 3.489 0.236 1.2713 1.57147 0.0246 0.0251

通过三中高程拟合方法的比较得出

1、多项式曲面拟合最为普遍与基础，这种方法就是用多项式函数拟合所测测区的似大地水准面，与多项式曲线拟合不同的是它考虑两个方向的高程异常值。所以它的项数是比较多的，因此通常用二次多项式。利用最优回归理论否定了普遍认为二次多项式曲面采用的固定模型，得出了适合于面状区域的最优模型。即：

z?a0?a1x?a2y?a3x2?a4y2（5-2）

2、在得出的最优模型与其它高程拟合方法的比较得出，神经网络的外符合精度结果较好其次是二次多项式的最优模型，最后的是多面函数法。

3.在使用多面函数法时，在Matlab编程时遇到的光滑系数的问题，没有固定的大小需要通过不同的数据来进行运算，才能得出精度较高的高程拟合的结果。

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4.。由于其数据的多变性和测区概况的不一致性，如果使用其它数据结果不一定一样。但对于本文的面状区域，较为平坦的测区则结果正确。

5.2 实验二

5.2.1 计算方案多项式法

实验一与实验二类似，但是测区是带状区域，那么来算一下的这个模型在多项式中究竟是那一种为最优。该带状区域录入这个实验所选择的19个点，其组成的为带状区域，将这19个数据分成两组，这两组都能够代表这一带状区域，数据的区域分布见图2。

图2 数据的区域分布

计算过程与实验一类似，matlab读出模型中的自变量如表5-5

带状模型中的自变量表

5-5

模型中的自变量 x,y x,y,xx x,y,xy x,y,yy x,y,xx,xy x,y,xx,yy x,y,xy,yy x,y,xx,xy,yy

9.400602,-0.000035,-0.00007

9.560591,0.000105，-0.00011，-0.000000042 11.25529，-0.0005，-0.00034,0.0000000634 9.380294，-0.000023，-0.000092,0.00000000345

10.17458,-0.000076，-0.00019，-0.000000035，-0.0000000219 9.591324,0.000102,-0.000087 ,-0.000000044,-0.0000000034 12.18012,-0.0007,-0.00059,0.0000000981,0.0000000149 12.17936，-0.0007，-0.00059，-1.4E-11，1.49E-08，9.81E-08

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各个模型中的各个准则的大小及外符合精度表表5-6

模型中的自变量 x,y x,y,xx x,y,xy x,y,yy x,y,xx,xy x,y,xx,yy x,y,xy,yy x,y,xx,xy,yy

RMS 0.059353 0.042559 0.052372 0.063482 0.045266 0.04571 0.044495 0.059353

RMSq 0.003523 0.001811 0.002743 0.00403 0.002049 0.002089 0.00198 0.002475

Cp 5.963558 2.391317 4.649832 7.77046 4.139742 4.22142 3.99994 2.99985

AIC -31.026 -37.2198 -33.0702 -29.2225 -35.8098 -35.6144 -36.1533 -34.1533

外符合精度 0.035664 0.067768 0.089734 0.033794 0.541043 0.058707 0.104269 0.104407

结果分析与比较。 T检验

对于z?11.25529?0.0005x?0.00034y?0.0000000634xy模型的t统计量为

ta1??1.855,ta2??2.16345,ta3?1.729343，??0.1时的临界值t0.1,6?1.4398，所有的t的统计量的绝对值大于??0.1时的临界值t0.1,6?1.4398所以回归系数的t检验能通过。对于完整的二次多项式模型

z?12.17936?0.0007x?0.00059y-1.4?10-11xy+1.49?10-8x2+9.81?10?8y2的t的统计量为

ta1??0.40996,ta2??0.55214,ta3??0.00014,ta4?0.373903,ta5?0.47062,t的统计量的绝对值小于??0.1时的临界值t0.1,6?1.4398所以回归系数的t检验全部不能通过。

通过对各种准则进行比较及t检验认为选择以及其他各个准则的计算，即利用最优回归理论，对于带状区域选择z?a0?a1x?a2y?a3xy虽然这个模型的外符合精度比较低，但是综合来看还是这个模型较好 Akima插值法

Akima插值法规定在两个实测点之间进行内插，除需要这两个实测值外，还要用这两个点的相近相邻的四个实测的点上的观测值。

使用Matlab编程通过已知的10个点来内插出其余的9个点。如内插出5号点，就选择它周围相近的的六个已知点，来建立模型。程序和结果如下截图

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结果分析与比较

Akima与多项式法结果分析比较表5-7

高程拟合方

法 Akima 多项式法

与真值的最大差值 7.590 6.4477

与真值的最小差值 -15.25 -10.4155

差值的平均

值 -2.8237 2.2055

标准差 7.7309 9.5034

第二组外符合精度（cm） 0.08196 0.089134

与上一种方法的出的最优模型z?a0?a1x?a2y?a3xy比较0.089134大于用Akima插值法得出的0.081962所以对于本次实验研究的带状区域使用Akima插值法的精度较高。

通过对实验一和实验二得出：对于不同的区域（如面状和带状）所选的高程拟合的最优模型不一定一样，之前有的人认为将所有的参数都加入即并也用实验验N?a0?a1dB?a2dL?a3dB2?a4dL2?a5dBdL应该是最好的模型，

证过，但是我们知道，我们所获得数据的不确定性以及各个点位分布的不同，相对位置的不同等等，都会影响最后的结果，所以不能根据摸一次实验的果来确定类似区域的最优模型。我们所得出的结论仅仅是针对我们这次实验的这组数据，而不是一般的数据。所以再去验证其他数据的最又回归模型是，我们需要重新去建模。

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 38 页共 41 页

5.3 小结

本章节通过对几种高程拟合方法，主要介绍了GPS高程转换所采用的几种常用的数学模型，如:加权平均模型、多面函数模型，多项式法等等。对于多面函数模型使用了MATLAB编程。但在这里着重介绍了最优回归理论下的多项式法，通过对各种判断准则的学习获取最优模型，并用实例来说明模型最优性。无论采用不同的模型，高程拟合的基本思想都是相同的，即利用区域内若干同时具有GPS高程和水准高程的重合点，求出这些点上的高程异常值，并按照一定的曲面函数关系，建立高程异常与曲面坐标之间的函数模型关系式，拟合出局部似大地水准面，即求出各点的高程异常值，从而实现将各GPS大地高到正常高的转

淮海工学院二〇一一届本科毕业设计（论文）第 39 页共 41 页

结论

GPS技术以其精度高、速度快、全天候、多功能的优势迅速渗透到我国经济建设和科学研究等相关领域，尤其是在建立高程拟合模型时选择最优的模型对以后的工作研究都有很大的帮助。

目前GPS技术已广泛应用于建立线路首级高精度控制网，然而工程应用领域一般只是利用了GPS测量中的平面位置信息，浪费了高程信息，未能充分发挥GPS测量可提供三维坐标的优越性，而GPS高程拟合问题是目前制约GPS高程应用的关键技术。本论文利用最优回归理论，处理大地水准建模时所用到的多项式模型，得到最优的回归模型，以期提高似大地水准面的建模精度。论文要求深入学习GPS测定正常的理论方法，在此基础上，将最优回归理论融入到建模中来，对几种高程拟合的方法进行了研究得出如下结论：

1.最优回归理论在运用于高程拟合时较设用于纯数学理论下的各种模型 2、对于面状区域中文章使用的多项式法得出的最优模型并不是传统中认为的二次多项式模型N?a0?a1dB?a2dL?a3dB2?a4dL2?a5dBdL，二是杜宇不同的测区概况而定的。

3、对于带状区域，选择的两种方法即Akima插值法与多项式法进行比较的出，Akima的拟合精度由于多项式法中得到的最优模型

4、BP神经网络的精度较高，但是其拟合的结果具有振荡性，有的时候拟合效果好有的时候并不理想。

5、多面函数选择，核函数是关键，对于任何一个测区，当使用多面函数法时，一定要去不断地选择核函数，从而得到较高精度的高程拟合。

利用全球定位系统（GPS）测定水平控制具有很高的精度，是一种最有效的方法。但用来测定高程控制，有许多问题需要研究，最近几年和当前的一个热门课题。

GPS 高程方面的研究是一个热点,能否利用GPS 水准代替常规的水准测量是人们关注的问题之一。GPS水准高程拟合模型研究的目的就是在于运用不同的数学模型，选出最优的模型，实现GPS大地高和正常高之间的转换，进而提高GPS水准精度，其技术意义和实用价值都是十分深远的。

当然对于最优回归理论在高程拟合中的应用范围还有待各位学者与专家进行研究，并不是所有的高程拟合的方法都可以用最优回归理论来研究，所以期望在今后的进一步学习中，来对这个问题进行深入的探讨。

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致谢

时光的河如海流，终于走到毕业时刻。大学，巍巍云台山下的淮海园里的四年，一段青春光阴，风华正茂的年华，如白驹过隙，离别的季节，难免恍惚、惆怅。

感谢培育我的淮海工学院，母校浓郁的学术气氛和舒适的学习环境给我搭建了良好的学习舞台，是淮海工学院培育我从一个青涩的小丫头走向成熟。如今，我也如愿考取了研究生，淮海工学院带给我的一切美好，我必将用一生去铭记。

感谢测绘工程学院的全体教职员工，是他们教会了各种专业知识，让我打下坚实的基础，才能顺利完成学业；是他们的谆谆教诲，使我能够不断收获知识，茁壮成长；是他们的辛勤劳作，才有了桃李满园，人才辈出。在此，仅以我个人名义，向孜孜不倦耕耘的教师们表达深切的敬意和感激。愿你们身体健康，教育工作一切顺利、顺心。

感谢我的指导教师：王继刚讲师，本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！感谢他对我的倾囊赐教和鞭策鼓励。感谢黄大宁同学对我编程的指导，导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。

大学四年的生活其实很简单，简单的学习，上课，课外活动，而现在看来，它们是如此令人深深怀念，铭记于心。毕业，是一个形容词，表达当我们独自离开校园时，那种复杂的、难以用言语表达的一种心情；毕业，也是一个动词，是我们挥一挥双手时的那个瞬间，那个状态。毕业了，突然发现，我们身边的那些人，没有我们想象的那么讨厌，甚至，我们已经开始怀念。毕业时刻，我们也懂得感恩，谢谢一路走来，陪伴我们身边的所有人。

饮水思源，祝母人才辈出，永创辉煌；祝老师身体健康，工作顺利；祝同学们前程似锦，愿我们的情意长存。

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参考文献

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