三角函数解三角形题型归类

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三角函数解三角形题型归类

一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . π(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，

180

?180?

?1 rad＝??π?°. ??

1(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr2

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12＝|α|·r. 2

3．任意角的三角函数

（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P(x，y)，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．

（2）任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin αy＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)

x4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念

?k??

1．三角函数诱导公式?π＋α??(k∈Z)的本质 2??

奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan α±tan β(3)tan(α±β)＝. 1?tan αtan β3．二倍角公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα，

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2

2

2

2

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1＋cos 2αcosα＝，

2

2

1－cos α2tan αsinα＝；(3)tan 2α＝. 2

21－tanα2

（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC中，半径)；

＝＝＝2R(其中R是外接圆的sin Asin Bsin Cabca＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； abcsin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R2R2R2．余弦定理及其变形

222

b＋c－aa2＝b2＋c2－2bccos A； cos A＝.

2bcb2＝ ； cos B＝ ； c2＝ . cos C＝ .

3.三角形面积公式:

111abcS△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________＝

2224R1

＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切2

圆的半径)，并可由此计算R，r.

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2．整体法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．

3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．

4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的2π

最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为

|ω|. |ω|

(2016年 全国卷1)

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π

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4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a?c?2，cosA?2，则b? 35，（A）（D）3

2 （B）

3 （C）2

6.将函数y?2sin(2x??)的图象向右平移1个周期后，所得图象

64对应的函数为 （A）y?2sin(2x??)4（C）y?2sin(2x??)4

（B）y?2sin(2x??)

314.已知

tan(??? 是第四象限角，且

．

（D）y?2sin(2x??)

3sin(???4)?35，则

?4)?————————————

(2015年 全国卷1)

8. 函数f(x)?cos(?x??)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）

（A）(k??1,k??3),k?Z

44（B）(2k??1,2k??3),k?Z

44（C）(k?1,k?3),k?Z

44（D）(2k?1,2k?3),k?Z

4417. （本小题满分12分）已知a,b,c分别是?ABC内角A,B,C的对边，sin2B?2sinAsinC. （I）若a?b，求cosB; （II）若B?90，且a?

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2, 求?ABC的面积.

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(2014年 全国卷1) 2.若tan??0，则

A. sin??0 B. cos??0 C. sin2??0 D. cos2??0 7.

在

函

数

6①

y?cos|2x|4，②

y?|cosx| ，

③y?cos(2x??),④y?tan(2x??)中，最小正周期为?的所有函数为

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角?MAN?60?，C点的仰角

?CAB?45?以及?MAC?75?；从C点测学科

网得?MCA?60?.已知山高BC?100m，则山高MN?________m.

(2013年 全国卷1)

9．函数f(x)?(1?cosx)sinx在[??,?]的图像大致为（ ）

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10．已知锐角

?ABC的内角

A,B,C的对边分别为

a,b,c，

23cos2A?cos2A?0，a?7，c?6，则b?

（A）10 （B）9 （C）8 （D）5 16．设当x??时，函数f(x)?sinx?2cosx取得最大值，则

cos??______.

(2012年 全国卷1)

9.已知?>0，直线x=?和x=5?是函数f(x)?sin(?x??)图0????，

44像的两条相邻的对称轴，则?=

πππ3π（A） （B） （C） （D） 432417.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为?ABC三个内角

A,B,C的对边，c?3asinC?csinA.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a=2，?ABC的面积为

3，求b，c.

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三、题型归纳

题型一、三角函数定义的应用

10π

1.若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则

3

y等于( )

33

A.－ B. C.－3 D.3

33变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )

2π11π5πA. B. C.

3663π

D. 4

题型二、三角函数值的符号

2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )

2π11π5πA. B. C.

3663π

D. 4

变式2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且1

cosα＝x，则tanα＝( )

5

433A. B. C．－ D．－3444 3

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题型三、同角三角函数关系式的应用

3.已知tan θ＝2，则sinθ＋sin θcos θ－2cosθ等于( )

4534A．－ B. C．－ D.

3445

15π3π4.已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin

842

2

2

α的值为( )

3333

A．－ B. C．－ D. 2244变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )

22

A．－1 B．－ C. D．1

22题型四 诱导公式的应用 5．(1)已知

?π?1?

sin?－α??＝2，则3??

?π?

?

cos?＋α??＝________. 6??

(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______

cos(??)sin(????)2变式4.已知角?终边上一点p(-4,3)，则11的?9?cos(??)sin(??)22?值为

题型五、三角函数的图形变换

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6.（1）要得到函数

?π??

y＝sin?4x－??的图象，只需将函数3??

y＝

sin 4x的图象( ) π

A．向左平移个单位

12π

C．向左平移个单位

3

π

B．向右平移个单位

12π

D．向右平移个单位

3

（2）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋

?π??

φ)?ω>0，|φ|

部分数据，如下表： 2πωx＋φ 0 π 错误! 2π X Asin(ωx＋φ) π 30 5 错误! －5 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

π

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y6＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

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变式5.已知函数

?π??

y＝2sin?2x＋?. ?3??

(1)求它的振幅、周期、初相；

?π??

(2)说明y＝2sin?2x＋?x的图象经过怎?的图象可由y＝sin 3??

样的变换而得到．

题型六、三角函数的性质问题 7.（1）函数

?π?

?

y＝2sin?－2x?的单调增区间为________. ?

?3?

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（2）已知函数

??π?π????

f(x)＝cos?ωx＋φ－??ω>0，|φ|

?π??

y＝f?x＋?取得最小值时?6??

分图象如图所示，则( ) A.

x的集合为

??π??

?x|x＝kπ－，k∈Z? 6????

??π??

?B.x|x＝kπ－，k∈Z?

3????

C.

??π??

?D.x|x＝2kπ－，k∈Z?

3????

??π??

?x|x＝2kπ－，k∈Z? 6????

（3）函数

?π??

f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，|φ|＜??的最小正2??

π

周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函

12数，则函数f(x)的图象( )

?π??

A.关于点?，0??对称 2???5π?

?

，0?C.关于点?对称 ??12?

5π

B.关于直线x＝对称

12π

D.关于直线x＝对称

12

π

（4）当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小

4

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值，则函数

?3π??

y＝f?－x??是( 4??

)

?π?

?

A.奇函数且图象关于点?，0?对称 B.偶函数且?

?2?

图象关于点(π，0)对称

C.奇函数且图象关于直线x＝π

2

对称 D.且图象关于点??

π，0????2?

?

对称 变式6.已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．(1)求

f??5π????4??

的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

专业知识编辑整理 偶函数

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题型七、最值与值域问题 8.已知函数f(x)?(sinx?cosx)2?cos2x。 （1）求f(x)的最小正周期；

??（2）求f(x)在区间?0,??上的最大值和最小值。

?2?

变式7、已知函数f(x)?2sin(x??)cos(x??)?sin(2x?3?)，若将函数

33图像向左平移?个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)4??在区间?0,??上的最大值和最小值之和为 。

?2?

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题型八、三角函数的求值、求角问题 9.（1）已知sin??51???则an(t,???0,?,tan??，

523??2?)??= 。

5310

（2）已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，

510则α＋β等于( )

3ππ3ππ

A. B.或 C.

4444π

D．2kπ＋(k∈Z)

4变式8.（1）已知

?π??

cos?θ＋??＝4??

?π?10?

，θ∈?0，?，则?210??

?π??

sin?2θ－??＝________. 3??

510(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为

510锐角，则角β等于( )

5πππ

A. B. C. 1234πD. 6

！ 题型九、三角恒等变换的应用

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10.已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，

?ππ?

?－，θ∈???. 22??

π

(1)当a＝2，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值

4与最小值； (2)若

π2

变式9.函数f(x)＝sin(2x－)－22sinx的最小正周期是

4________．

题型十、利用正、余弦定理解三角形

11 .（1）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a 专业知识编辑整理

?π?

?f??2?＝0，f(π)＝1，求??

a，θ的值．

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3

＝2,c＝23,cos A＝,且b

2

A.3 B.22 C.2 D.3

2π

（2）在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝，则∠B＝________.

3（3）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，π1222

已知A＝，b－a＝c.

42①求tan C的值；

②若△ABC的面积为3，求b的值．

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Ba＋c（4）在△ABC中，cos＝(a，b，c分别为角A，B，C22c2

的对边)，则△ABC的形状为( )

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

变式10.（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，的对边，a＝3bsin A－acos B. ①求角B；

②若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c.

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B，C WORD完美格式

（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，

c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型十一、三角函数的综合应用

12.已知向量m＝(3sin(2π－x)，cos x)，向量n＝

?3π??

－x?sin??，cos(π＋x)，f(x)＝m·n. 2??

①求y＝f(x)的单调递增区间和对称中心；

②在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，1133

若有f(B)＝，b＝7，sin A＋sin C＝，求△ABC的面

214积．

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变式11.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，1

c，且acos C－c＝b.

2

(1)求角A的大小；

(2)若a＝3，求△ABC的周长l的取值范围．

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