信号总结

第一章．

1. 什么是信号？什么是系统？

2. 确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 一维信号与多维信号； 因果信号与反因果信号； 实信号与复信号； 左边信号与右边信号；等等。 例: 判断正弦序列f(k) = sin (βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。

??2π????sin???k?m??sin[?(k?mN)]???????: f (k) = sin (βk) = sin (βk + 2mπ) ，m = 0,±1,±2,···式中β称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：

仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍具有周期性，但其周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。

当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。例: 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin (3πk/4) + cos (0.5πk) （2）f2(k) = sin (2k)

解: （1）sin (3πk/4) 和cos (0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad

由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公

倍数8。 （2）sin (2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin (2k)为非周期序列 。

例： 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin 2t + cos 3t （2）f2(t) = cos 2t + sinπt

（1）sin 2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs

cos 3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s

由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。

（2） cos 2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。

3.取样信号的性质 4.信号的基本运算

冲激函数的性质总结

（1）取样性f(t)δ(t)?f(0)δ(t) （2）奇偶性δ(?t)?δ(t) （3）比例性δ(at)?1δ?t? adε(t)dt（4）微积分性质δ(t)??t??δ(?)d??ε(t)

（5）冲激偶f(t)δ?(t)?f(0)δ?(t)?f?(0)δ(t)

?????????f(t)δ?(t)dt??f?(0)?t??δ?(t)dt?δ(t)δ?(?t)??δ?(t)δ?(t)dt?0序列δ(k)和ε(k)

f(k)δ(k) = f(0)δ(k)

f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)

k????f(k)δ(k)?f(0)

6．? 连续系统与离散系统? 动态系统与即时系统? 单输入单输出系统

yzs(t)??t??f(x)dx与多输入多输出系统? 线性系统与非线性系统? 时不变系统与时变系统? 因果系统与非因果系统? 稳定系统与不稳定系统如下列系统均为因果系统：yzs(t) = 3f(t – 1)(1) yzs(t) = 2f(t + 1) 因为，令t=1时，有yzs(1) = 2f(2) (2) yzs(t) = f(2t)

因为，若f(t) = 0， t < t0，有yzs(t) = f(2t)=0, t < 0.5 t0 。例: 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应

y1(t) = e –t + cos (πt)，t>0； 当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t) = –2e –t +3 cos (πt)，t>0；

求输入f3(t) = +2f1(t–1)时，系统的零状态响应y3f(t) 。

解: 设当x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0–) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。 由题中条件，有

y1(t) =y1zi(t) + y1zs(t) = e –t + cos (πt)，t>0 （1） y2(t) = y2zi(t) + y2zs(t) = –2e –t +3 cos (πt)，t>0 （2） 根据线性系统的齐次性，y2zi(t) = 2y1zi(t)， y2zs(t) =3y1zs(t)，代入式（2）得

y2(t) = 2y1zi(t) +3 y1zs(t) = –2e –t +3 cos (πt)，t>0 （3） 式(3)– 2×式(1)，得

y1zs(t) = –4e –t + cos (πt)，t>0

由于y1zs(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改写成

y1zs(t) = [–4e –t + cos (πt)]ε(t) (4) f1(t) →y1zs(t) = [–4e –t + cos (πt)]ε(t)根据LTI系统的微分特性= –3δ(t) + [4e–t –πsin (πt)]ε(t) 根据LTI系统的时不变特性

f1(t–1) →y1zs(t – 1) ={ – 4e –(t–1) + cos [π(t–1)]}ε(t–1)

由线性性质，得：当输入f3(t) = df1(t)/dt+2f1(t–1)时，y3zs(t) =dy1(t)/dt+ 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4e –t–πsin (πt)]ε(t)

+ 2{–4e –(t–1) + cos [π(t–1)]}ε(t–1)

例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yzs(k) = f (k) f (k –1)

（2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f (– t) 解: (1) 令g (k) = f(k –kd)

T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 )

而 yzs (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 显然 T[{0}，f(k –kd)] = yzs (k –kd) 故该系统是时不变的。

(2) 令g (t) = f(t –td) ， T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yzs (t –td)= (t –td) f (t –td)

显然T[{0}，f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故该系统为时变系统。 (3) 令g (t) = f(t –td) ,

T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而 yzs (t –td) = f [–( t – td)]，显然 T[{0}，f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故该系统为时变系统。

解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1

显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0)

y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；

由于 T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。

（3） yzi(t) = x2(0)，T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yzi(t)不

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