第三章 工程控制网布设的理论与方法

工程测量学

测绘工程教研室：夏小裕

第三章 工程控制网布设 的理论与方法

第一节 工程控制网的参考基准1、控制网的分类：控制网根据其用途不同分为两大类，即国 家基本控制网和工程控制网。 (1)国家基本控制网的主要作用是提供全国范围内的统一参 考框架。其特点是控制面积大，控制点间距离较长，点位的选 择主要考虑布网是否有利，不侧重具体工程施工利用时是否有 利。它一般分级布设，共分四等，即一、二、三、四等。 (2)工程控制网是针对某项工程而布设的专用控制网，它分 为测图控制网、施工控制网、变形监测网等。 1)测图控制网：是在工程施工前堪测设计阶段建立的测图 控制网，其目的主要是为测绘地形图服务。点位的选择是根据 地形条件来确定的，并不考虑工程建筑物的总体布臵，因而在 点位分布和密度上都满足不了后续工程建设的需要。

2)施工控制网：点位、密度以及精度取决于建设的性质，施 工控制网点的精度一般要高于测图控制网，它具有控制范围小， 控制点的密度大，精度要求高，受施工干扰大等特点。(见课 本) 3)变形监测网：不同于一般工程控制网，它不仅要求解决网 点的静态参数(如点位、方向、距离等),更重要的是求解监 测对象的动态参数(水平位移及其速率、结构内部的应变), 这些参数在一段时间内均会发生微变量， 一般接近于毫米， 因此该种网的特点： <1>一是精度要求高， <2>其次还要求对某一特殊方向或区域的变形要有足够的灵 敏度，以及将网点的物理变形与观测误差而引起的其他模型 误差加以分离的可区分性。4)安装测量控制网：通常是微型边角网，边长较短；

2.控制网的平差： (1)以上各种控制网视其用途不同和选定的坐标系统的不同其 平差方法有所不同。 1)一般测图控制网均采用国家坐标系统，构成非独立网； 2)施工控制网一般较多使用独立网，与国家网进行联测。 这两种控制网均采用经典平差，即控制网中有必要或足够 的起始数据。 3)变形监测网其主要目的是变形观测。对起始点的稳定性要求 较高，故需对监测网的基准点所构成的网进行定期的检测。 <1>一般认为基准点是稳定的或部分点是稳定的； <2>但也不能排除其受外界影响面发生变化; 因此对这种网的平差一般均采用秩亏自由网平差、即以所有 控制点坐标为未知参数进行控制网平差。此时的误差方程和

法方程系数矩阵为秩亏阵。也就是线性代数中方程式个数少于 未知数个数的情况，或虽然方程个数与求解未知数相同，但其 中有相容方程式，故得不到惟一解，即存在着无限多组解。为

了求得一组最佳的确定解，就必须根据控制网设计要求附加一 个基于现有控制点观测信息的基准配臵条件。 4) 在工程控制网中有些专用网如变形网、高精度的施工控制 网不一定与国家大地网或某些特定的坐标系统相连，因此不必 给定这些特定的起算数据。当控制网中没有必要起算数据时， 由上可知其法方程系数阵会出现秩亏，从测量的角度来讲，就 是控制网没有参考基准，网的位臵不能固定。对于这种情况现 代测量平差中提出了两种方法： 第一种是按经典平差方法，假定网点的坐标值或网点坐标 之间的关系即给出必要的起算数据，称为经典自由网平差，

由于这一平差结果只是相对于假定起算数据(基准)而得出的， 假定的数据或条件不同，平差后的坐标也将不同，这样的基准 称为经典自由网平差基准； 第二种方法是在平差时，通过对全部或部分坐标未知数进行 某种约束，这种网的平差称为秩亏自由网平差，其相应的基准 为秩亏自由网平差基准。一、经典自由网平差基准

如果没有足够的起算数据，则上述法方程的系数矩阵 N AT PA 将会秩亏，法方程没有惟一解。这里，L表示观 测向量，v表示观测值改正数，A为网形的设计矩阵，在测 量平差中称为误差方程系数阵，又是未知数，表示网近似 坐标的改正数。所谓基准问题就是选择或假定适当的数据 或条件参与平差，从而求得方程(3-2)的惟一解。 经典自由网平差基准是通过假定某些点的坐标数值或方 位来定义的， 例如： (1)对平面网，在观测方程线性化后，可假定一个点的坐 标等于该点的近似坐标，亦即该点近似坐标的改正数等于0。 (2)可假定在某两个网点之间的方位角等于由线性化过程 中的近似坐标所求得的方位角，即近似方位角改正数为0。

(3)某两个点之间的边长等于由近似坐标计算而得的边长。 在平差过中，上述假设可以用方程表示。测角三维网， 基准数为7,我们可以固定1点的坐标，1点到2点的方位角， 1点到2点及1点到3点的高度角和1点到2点的距离来定义其 参考基准。

上述假设条件可以用矩阵方程表示为

将(3-3)式称为基准条件方程；将(3-3)式与(3-1)式一并 求解，就可求得网点坐标x的惟一值。(3-3)式表示了三维测 角自由网的参考基准。对于不同的三维网，根据观测值的不 同，可以删除 D T 矩阵中的某些对应行。二、秩亏自由网平差的基准 经典的自由网参考基准实际上是固定某个实际的点的位臵， 固定一个实际的方位角，一条实际的边长等等来定义的。与 经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网点 的坐标或部分网点的坐标进行某种约

束(条件)来定义的，这 种约束实际上是固定某个虚拟点的位臵，固定某个虚拟方向、 虚拟距离等等。

例如， (1)对三维网，这种约束将要求： 1)平差前后网点重心不变(即固定重心点坐标); 2)平差前后控制网相对其重心不绕X,Y,Z轴旋转(即固 定重心与所有网点连线的平均方位角与天顶距); 3)平差前后所有网点相对重心的平均距离不变(即固定与 重心的平均距离)。 (2)对平面网，这种约束将要求： 1)平差前后网点重心坐标不变； 2)平差前后各网点与重心连线的平均方位角不变； 3)平差前后所有网点相对重心的平均距离不变(即固定 与重心的平均距离)。 (3)对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网点的平 均高程保持不变。

这些定义秩亏自由网参考基准的约束条件，可由秩亏自由网平 差的最小范数条件导出。 例如对于二维测角网，有4个基准参数：两个平移参数 (tx,ty),一个旋转参数 ,一个尺度参数 。如果给定其 中一个点的初始坐标 ，该点在一个新坐标系中的 坐标 将可由相似变换确定为：

注：分析第三个条件 设网中重心坐标为: 设 i arctg0 i

1 m 0 x xi m i 1 0

— 0

1 m 0 y yi m i 1

— 0

( y yi ) y ( x xi ) x0 i

0

αi表示重心点至第i点向径的方位角。 对上式按泰勒公式展开，顾及一次项，得αi的改正数△αi为— — 1 i 0 2 { ( yi0 y 0 ) xi ( xi0 x 0 ) yi } ( Si )

(Si0 ) 2 i ( yi0 y ) xi ( xi0 x ) yi

— 0

— 0

(Si 1

m

0 2 i

) i { ( y y ) xi ( x x ) yi }i 1 0 i 0 i

m

— 0

— 0

( y x x yi ) yi 1 m 0 i i 0 i

m

— m 0

x x yi 1 i i 1

— m 0

i

( yi0 xi xi0 yi ) 0i 1

第三个条件说明网中重心点到所有点的向径方位角，以该向径 的距离平方为权的带权平均数不变。 注：分析第四个条件 设网中重心坐标同上，网中任意一点至重心点的距离为：S ( x xi x ) ( y yi y )2 i 0 i 0 i — 0 2 — 0 2

距离改正数为：

— — 1 0 0 0 Si 0 {( xi x ) xi ( yi y 0 ) yi } Si

S Si ( x x ) xi ( y y ) yi0 i 0 i 0 i

— 0

— 0

Si0 Si {( xi0 x ) xi ( yi0 y ) yi } i 1 i 1 m

m

m

— 0

— 0

( xi0 xi yi0 yi ) xi 1 m

— m 0

x y y }i 1 i i 1 i

— m 0

( xi0 xi yi0 yi ) 0i 1

第三个条件说明网中重心点到所有点的向径长度，以该向径的 长度为权的带权平均数不变。

式表示的就是平面测角秩亏自由网参考基准。其中GT称为 附加矩阵,附加矩阵G实际上是N矩阵的零特征值所对应的特

征向量的集合。矩阵中的第1、2行表示对网的重心的约束， 第3行为对网中各点与重心连线的平均方位角的约束，第4行 为对网中各点与重心连线的平均长度的约束。对于平面边角 网或测边网，由于网中已经观测了边长，因此必须解除基准 中对边的约束，即删除GT 中的第4行。如果网中观测了方位 角，则应删除GT中的第3行。如果网中有已知点的则应删除GT 中的第1、2行。

一维高程网的基准也可用式(3-10)形式的方程定义。但相 应的GT应为：

上面的秩亏自由网平差基准是对通过约束所有网点的坐标 来定义的，如果约束只是针对其中的部分网点，即组成G矩阵 时只使用其小的部分网点。则形成的基准就是所谓的拟稳平 差基准，其数学表达式仍然为式(3-10),但G矩阵相应为：

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