第21 讲 数与式中的思想方法

第21讲 数与式中的思想方法

一、学习目标

1．获得知识技能和一些数学学习的基本思想；

2．建立数学思想，掌握思想方法，可以在解题时，寻求出已知和未知的联系，提高分析问题的能力，从而形成解决问题的能力.

考情分析

数学的学习核心是思想方法的学习，数学题海浩瀚无边，问题又可变式发散，所以习题就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是中考考查的重点.

二、基础知识·轻松学

1.整体思想运算简

就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．

【精讲】整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式中，整体思想有很好的应用．

2.分类讨论难化易

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

【精讲】分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.例如:

?a(a?0)?求a时,就分三种情况讨论: a??0(a?0).

??a(a?0)?3.数形结合相宜彰

数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化.

1

【精讲】数与式部分,数形结合表现最多的是数轴与实数的对应关系,利用数轴来描述实数的有关概念和运算,把数与形结合起来,从而把隐蔽的问题明朗化,抽象的问题直观化,复杂的问题简单化,达到快速,形象,有效的解决问题的目的.例如:在数轴上比较实数的大小,先把它们表示在数轴上,利用数轴上右边的数总比左边的大来比较.

4.化归思想巧转化

所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答.

【精讲】实数的运算中,加法与减法,乘法与除法,乘方与开方都互为逆运算,因此可以将减法运算转化成加法运算,将除法运算转化成乘法运算.所有的这些都体现了将新问题转化归结为已经解决的问题的思想方法.例如:单项式乘以单项式可以转化成为实数的乘法和同底数幂的乘法运算,多项式乘以多项式可以转化成单项式乘以单项式.

三、重难疑点·轻松破

1. 整体思想运算简

此方法最典型的应用于代数式的求值问题,关键是已知与求解的相互转化利用. 例1 已知代数式3x2－4x+6的值为9，则x?24x?6的值为 ( ) 3A．18 B．12 C．9 D．7 答案:选D.

解析:因为3x2－4x+6=9,所以3x2－4x=3,x-故选A.

点评:如果利用3x2－4x=3,解一元二次方程,得到x的值，再代入求值，不仅运算麻烦，运算量大，而且因为方程有两个解，需要分别代入.利用整体代入，简单、迅速、准确.

例 2 已知实数x,y满足：

2444x?1,代入x2?x?6,得x2?x?6=7,

33311x?8xy?y??2，求的值. xy3x?4xy?3y解析1：如果还按照上述消元的思想来解，要用字母y来表示x，运算就比较大.对待求分式运用分式的基本性质可得：

11?(?)?8x?8xy?yxy=，这样我们就可以直接利用已知条件求值.

3x?4xy?3y?11??3??x?y???4?? 2

11?(?)?8?2?8xy?5. 所以原式==

?6?4?11??3??x?y???4??解析2：由已知

11??2知道：x?0,y?0， xy于是对在等式两边同时乘以xy处分母得：x?y??2xy，再整体代入待求分式即易获

解.所以原式=

?2xy?8xy?10xy=?5.?6xy?4xy?2xy

点评: 解析是把结论化成已知，然后再把已知整体代入，而解析2刚好相反，但他们都用到了整体的思想.比较起来，解析2还是比较简单.

变式1

（1）如果x?x?1?0，那么代数式x?2x?7的值为（ ） A、6

B、8

C、－6

D、－8

232xy?(x?y)23?23?2（2）已知x?，y?，求代数式的值． 2xy?(x?y)3?23?22.分类讨论难化易

在数与式部分，分类讨论主要体现在去掉绝对值符号，化简二次根式，代入求值等方面. 例3 若ab≠0，则

a|b|?的取值是（ ） |a|bA．0，1，2 B．0，2，-2 C．1，2，-2 D．以上均不对 答案：选B．

解析：由于ab≠0，所以我们用分类思想，分ab＞0，ab＜0两种情况． （1）当ab＞0时，只有a＞0，b＞0或a＜0，b＜0两种情况． ①当a＞0，b＞0时，

a|b|??1?1?2. |a|ba|b|???1?1??2． |a|b②当a＜0，b＜0时，

（2）当ab＜0时，有a＞0，b＜0或a＜0，b＞0两种情况．

3

①当a＞0，b＜0 时，

a|b|??1?1?0 |a|b②当a＜0，b＞0时，

a|b|???1?1?0． |a|b综上所得可能取的值为0，2，-2．

点评：本题看上去好象很是简单，不过是一道小小的选择题，可要想正确求解，则必须咬住规定进行分类求解，才能避免错误.

分类必须遵循以下原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重复，不 遗漏．

11xx2?2x?1例4 化简 (? )?22xx?1(x?1)?(x?1)解析：由已知得：x≠0，-1.

x(x?1)211xx2?2x?11故(?=， )??xx?1(x?1)2?(x?1)2x(x?1)4x当x＞－1且x≠0时，x+1＞0，

2可知(x?1)=x+1，

故原式=

1x(x?1)1??

x(x?1)4x4x

当x＜－1时，x+1＜0，

2可知(x?1)=－（x+1），

1?x(x?1)111xx2?2x?1???故(?=. )?224x4xxx?1(x?1)?(x?1)x(x?1)点评：本题主要考查分式、根式的化简求值，利用a2?a??要特别注意分式有意义的条件进行讨论，保证分式有意义．

变式2

（1）已知|x|＝3，|y|＝3，且xy＜0，则x＋y的值等于（ ）． A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1 （2）化简，若x?y?z?0,xyz?0，求

?a?02.化简(x?1) ?a?0xyz??的值. y?zz?xx?y 4

3.数形结合相宜彰

数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体.实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中数形结合的重要基础.

例5 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，其中AB＝BC，如果|a|＞|c|＞|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在

A．点A的左边

Cc

B．点A与点B之间 D．点C的右边

C．点B与点C之间

ABb a答案：C．

解析：方法1：∵|a|＞|c|＞|b|，

∴点A到原点的距离最大，点C到原点的距离其次，点B到原点的距离最小， 又∵AB＝BC，

∴原点O的位置在点B与点C之间，且靠近点B的地方． 方法2：若原点在A点左侧，则|c|＞|b|＞|a|，因此排除A选项； 若原点在点A与点B之间，则|c|最大，因此排除B选项；

若原点在点B与点C之间，则|a|最大，此时，若原点靠近点B，则|c|＞|b|，因此C选项符合要求；

若原点在点C的右边，则|a|＞|b|＞|c|，因此排除D选项．

点评：一个数的绝对值的几何意义是指这个数在数轴上表示的点到原点的距离．一个数的绝对值越大，这个数到原点的距离越大，反之亦成立．解决这类问题，经常需要运用数形结合思想，画出数轴进行分析．

当点的位置（或图形位置）不确定时，经常需要运用分类讨论思想，对问题可能出现的情形逐一分析判断．

要注意数形结合和已知条件的灵活运用，忽视图形或AB＝BC这个条件，可能导致无法判断正确选项．

例6 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b）、宽为（a+2b）的大正方形，则需要A类卡片、B类卡片、C类卡片共 张，并在下面的横线上画出拼出的图形：

5

解析：因为（a+3b）（a+2b）=a+12 a b+6b，所以需要A类卡片、B类卡片、C类卡片共12张，所示拼出的图形如图．

点评：此题是利用整式混合运算，结合着一直给出的图形求解，弄清题意是解本题的关键．

数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

变式3

2（1）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则(a?b)?a的化简结果为 ．

22

（2）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点．现要在一村庄建一个活动中心，使各村庄到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）．

A．A处 B．C处 C．G处 D．E处

4.化归思想巧转化

用化归法解题，就是采取“迂回战术”，通过适当的变换，把原题化为一个（或几个）新问题，用已知方法处理新问题，从而使原问题得到解决.数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等.

例7 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .

A 7米 B 8米 答案：56米.

6

解析：7×8=56（㎡）

所以那人从A走到B共走了56米.

点评：假设拖把的宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖1㎡的场地相当于那人向前走了1米，整块场地面积是7×8=56（㎡），所以那人从A走到B共走了56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了.

例8 化简：(3x+2)(x－1)+3(x－1)(x+1).

解析：(3x+2)(x－1)－3(x－1)(x+1)＝3x－3x+2x－2－3x－3x+3x+3＝－x+1. 点评：在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的.本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误.

变式4 （1）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（ ） A．

2

2

27?1?2（2）化简：[(x?2y)(x?2y)?(2x?y)?(3x?y)(2x?5y)]???x?．

?3?B．

C． ﹣3

D．

4 774四、课时作业·轻松练

A.基础题组

1.已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是 ．

2.已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当x=2时，ax2+bx的值为 ． 3.已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b= ；a2+b2= ． 4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）

A．

B．a﹣b＞0

C．ab＞0

D．a÷b＞0

5.如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）

A．点A的左边

B．点A与点B之间

7

C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边 6.先化简数代入求值．

7.若（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）?（6，8）= ．

8.下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3?3个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）

A．32 B．126 C．135 D．144

，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的

x x+1 x+2 x+7 x+8 x+9 x+14 x+15 x+16

9.若x?2y?9与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（ ） A． 3

B． 9

C． 12 D． 27

B.提升题组

10.已知实数a满足a2+2a﹣15=0，求

23﹣

2÷的值．

11.已知m?m?1?0，那么代数式m?2m?2010的值是（ ）

Ａ.2010 Ｂ.－2010 Ｃ. 2009 Ｄ.－2009

12.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.

如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．

8

________________________________________________________________________． 这个长方形的代数意义是________________．

13.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中 间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .

14.数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确？（ ）

A．|c|=|b| 15.已知x?A．a?B．|c|=|b| 1a C．|c|=|b| D．|c|=|b|

?a，则4x?x2的值是（ ）

111 B．?a C．a? D．不能确定 aaa0

+2

16.规定：a＝1(a≠0)，若(2a－1)a＝1，则a的值为＿＿＿.

中考试题初体验

?x2?1?2??1.（2013四川达州）如果实数x满足x?2x?3?0，那么代数式?的x?1x?1??2值为_ _.

2.（2013江苏苏州）已知x﹣=3，则4﹣x+x的值为（ ） A. 1 B.

C.D.

2

3.（2013云南曲靖）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）

A.

B. a﹣b＞0 C. ab＞0 D. a÷b＞0

4.（2012安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；?，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．

（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？

（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优

9

惠率为p（p＝情况；

），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化

（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．

五、我的错题本

参考答案

变式练习

变式1（1）Ｃ. 解析：因为x?x?1?0，所以x?x=1，所以x?2x?7=x（x?x）＋x－7=x×1＋x－7=（x?x）－7=1－7=－6，故选Ｃ.

（2） 解析：由已知得??5?26，

22222232y?5?26，???y?10，?y?1，

?原式=

变式2

1?1021?102??101． 99（1）D．解析：∵|x|=3，|y|=7， ∴x=±3，y=±7， ∵xy＜0，

∴①x=3，y=-7，x+y=-4； ②x=-3，y=7，x+y=4， 故选：D．

（2）解析：由已知条件得知x,y,z这三个数的符号只可能有如下几种可能： ①当x,y,z中是两正一负时，不妨记x则原式=

?0,y?0,z?0；

xyz???1?1?1?1 ?x?y?z②当x,y,z中是两负一正时，不妨记x?0,y?0,z?0；

10

则原式=

xyz???1?1?1??1. ?x?y?z变式3 （1）﹣b．解析：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，

2∴(a?b)?a=|a+b|+a=﹣a﹣b+a=﹣b，

故答案为：﹣b．故选B．

（2）B．解析：由题意得G点离城市得距离为(20－4)÷2＋4=12 (千米)． 把题图视为以城市处为原点，向右为正方形的数轴，各点间的距离如图所示，

由于A、E两处在线段的两端，

所以应先排除A、D，然后比较C点和G点， 各村到C点的路程和为：GD+BE+AF=5+9+16=30； 各村到G点的路程和为：BC+AD+EC+FG=5+13+7+8=33． 故活动中心应建在C处．故选B． 变式4

（1）A.解析：∵3x=4，9y=7， ∴3x

﹣2y

=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=

4． 71x) 3故选A．

（2）原式=[(x2－4y2)－(4x －4xy+y)＋(6x －15xy－2xy+5y)]÷(?2

2

2

2

=[x2－4y2－4x＋4xy－y＋6x －15xy－2xy+5y] ÷(?2

2

2

2

1x) 3=( 3x2－13xy) ÷(?=?9x?39y A.基础题组

1x) 31. 6. 解析：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）， 又∵2a﹣3b2=5，

∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5． 故答案为：5．

2.6 . 解析：将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3，

11

将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2（2a+b）=2×3=6． 故答案为6．

3. 5,6. 解析：∵a+b=2，ab=﹣1，

∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（﹣1）=5； a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣1）=6． 故答案为：5，6．

4. A. 解析：由图可知，﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， A、＜0，正确，故本选项正确； B、a﹣b＜0，故本选项错误； C、ab＜0，故本选项错误； D、a÷b＜0，故本选项错误． 故选A．??

5.D. 解析：∵|a|＞|b|＞|c|，

∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小， 又∵AB=BC，

∴原点O的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠近点C的地方． 故选D． 6. 5. 解析：原式===

+，

=5．

×

+

当a=2时，原式=

7. 64 解析：∵（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2， ∴（4，5）?（6，8）=4×6+5×8=64， 故答案为64．

8.D.解析:设圈出的9个数中，最小的数为x, 最大的x+16[ 根据“最大数与最小数的积为192”得到x?x?16??192

12

解得x1?8,x2??24（舍去）

这9个数的和：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，所以本题正确答案是D. 9.D解析：∵x?2y?9与|x﹣y﹣3|互为相反数， ∴x?2y?9+|x﹣y﹣3|=0，

∴??x?2y?9?0①?x?y?3?0②，

②﹣①得，y=12，

把y=12代入②得，x﹣12﹣3=0， 解得x=15， ∴x+y=12+15=27． 故选D． B.提升题组 10.解析：

﹣

÷

=

﹣

?

∵a2+2a﹣15=0， ∴（a+1）2=16， ∴原式=

=

2=﹣=，

11. D.解析：∵m?m?1?0，?m?-m?1 ?m?-m?m

232?m3?2m2?2010??m2?m?2m2?2010?m2?m?2010?1?2010??2009

答案选D.

12.解析：（1）

a+3ab+2b=（a+b）（a+2b），

2

2

或

故答案为a+3ab+2b=（a+b）（a+2b）；

（2）1号正方形的面积为a，2号正方形的面积为b，3号长方形的面积为ab，

13

2

2

22

所以需用2号卡片3张，3号卡片7张， 故答案为3，7．

13.解析:设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次为1+x,2+x,3+x,根据题意得： （2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1， 解得x=4.

所以矩形色块图的面积为13×11=143. 14.A.解析：∵C在AB上，AC：CB=1：3， ∴|c|=又∵|a|=|b|， ∴|c|=|b|． 故选A．

15.B.解析：将已知等式两边平方，得x?所以x?2?，

22221?2?a． a1?a． a1． a2两边再平方，得x2?4x?4?a2?2?1??所以4x?x??a??．

a??22所以4x?x2?a?因为x≥0，所以1． a1a≥a．

11所以a≤，所以4x?x2??a．

aa故选B．

16.答案：－2、0、1.

解析：要求a的值，此时由规定，则必须对等式(2a－1)a＝1的成立条件进行分情况

+2

讨论.所以我们分三种情况：

①指数a+2＝0，即a＝－2时，底数2a－1≠0，这时值为1； ②底数2a－1＝1，即a＝1时，指数a+2＝3，这时值也为1；

14

③底数2a－1＝－1，即a＝0时，指数a+2＝2，这时值同样也为1. 综上所述，a的取值应为－2、0、1.

中考试题初体验

x2?2x?2?(x?1)?x2?2x?2＝5。 1.解析：由知，得x?2x＝3，原式＝

x?122.解：∵x﹣=3，即x﹣3x=1， ∴原式=4﹣（x﹣3x）=4﹣=． 故选D．

3.解析：由图可知，﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1， A、＜0，正确，故本选项正确； B、a﹣b＜0，故本选项错误； C、ab＜0，故本选项错误； D、a÷b＜0，故本选项错误． 故选A．

4.解析：（1）根据题意得： 510﹣200＝310（元）

所以顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元． （2）p与x之间的函数关系式为p＝

2

2

200，p随x的增大而减小； x（3）设购买商品的总金额为x元，（200≤x＜400）， 则甲商场需花x﹣100元，乙商场需花0.6x元， 由x﹣100＞0.6x，得：250＜x＜400，乙商场花钱较少， 由x﹣100＜0.6x，得：200≤x＜250，甲商场花钱较少， 由x﹣100＝0.6x，得：x＝250，两家商场花钱一样多．

15

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