老鬼数学--高考、中考

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直击中考高考之——老鬼数学（张书麟）

一、无理式的处理技巧 1、化简4 2 原式 2 3

2、化简5 26

原式

1 2

1

3 2 2

3 2

2

3 2

x4 6x3 2x2 18x 23

的值 3、若x 8,求2

x 8x 15

解：因为x 8 83 3

4、已知：x

4 2

4 3

x 4 2

2

3 x2 8x 13 0

x 8x 15 2(以下略)

1 2

,y

12 3

，求

1

x 12

1

y 12

的值。

点拔：x

1

3 22 31

2

2 2 3

y

2 32 2

x 1 3 ;y 1 3 3

1

x 12y 12

1

3 33 32

1

1

2

2 3

5、设a 5 ,b 5 ,，求a6 b6的值 点拔：a b 5 5 5 10

2

2

2

2

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a b 5 5 5 20

2

2

22

a6 b6 a2

b a

3

23

2

b2

3

3a2b2a2 b2 400

6、已知：线段a、b、c为三角形的边长。 求证：ac也可以组成一个三角形。 点拔：三角形任意两边之和大于第三边， 有a b c 三角形任意两边之差小于第三边， 有a b c

a b c c a b 又 c b c b c a a

a a

c

2

2

2

2

2

b a

c a b c

同理c c a，得证。

7、若 m 3 m 8 m 3 m 8，求：m的值。

点拔：根据a b a b，上式只有当且仅当a、b同号或a、b至少有一个

为0时成立。

m 3 0

m 8

m 8 0 m 3 0

m 3

m 8 0

8、点拔题：如果a ，需要化简。 一般地说a b应当成为某式的 例如：4 2，令4 2

x y 的完全平方式。用待定系数法求出。

3 x y

2

当m 8时或m 3时，原是成立。

m 3 0或 m 8 0 m 3或m 8.

4 2 x y 2xy x y 4,xy 3

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得

x 1,y 3x 3,y 1

9、若k为正整数，一元二次方程 k 1 x2 px k 0有两个正整数根 求 k p kp k ?

k

点拔：设 、 为 k 1 x2 px k 0的两个正整数根

kk，当且仅当k 1 1时才能使为正整数。 k 1k 1

k 2， 2，所以两个根只能是2和1， 2 1 3

k

p

p k 1

2

k p kp k 2 3 23 1 44

二、求解下列方程 1、x 5

3x 5

23

点拔：a2 b2 2ab x 5

3x 5

2

x 5

3x 5

2

3x 5

当且仅当（a2 b2 2ab）x 5 时

x 5 3 x 2验证后是原方程的根。

2、x2 4x 4 2x3 5x2 8x 4

点拔： x 2 2xx2 4x 4 x2 4x 4

2

x 2 2 2x 22x 1 x 2 4 4 x 2 2 x 1

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注意：千万不要用 x 2 去除

2

x 2 4 4 x 2 2 x 1 02

x 2 0 x 2 22

x 2 x 2 4 x 1 0

x 2 2 4 x 1 0 x2 0，x 0

验证x 2，x 0均是原方程的解。

当然也可以用a2 b2 2ab来做，但不易看出形式来。 点拔：x2 4x 4 x3 5x2 8x 4 可以化成

x 3x 2

2

2

x 2

2

2 x2 3x 2 x 2以下略。

（当且仅当a b时成立）

三、根的判别

1、若：x2 2mx 1 2 m2 1 x2 1 0，在下述条件下根的情况 ①当x2 2x m 0无实数根时； ②当m 1时； （点拔略）

2、m为有理数，问k为何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根为有理数。 点拔Ⅰ：判别式 4m2 6m 4k 4

只有当 为有理数的完全平方时成立。 即 m2 6m 4k 4为m的一次完全平方式 令 m r m2 2mr r2，其中r为待定系数，

2

与 m2 6m 4k 4对比得出r而确定k值。

44

即2r 6，r2 4k 4，解得k ，既当k 时，方程的根为有理

55

数。

点拔Ⅱ：上述 m2 6m 4k 4，使其为0时的k值则是方程根为有理数的方法，

0即m2 6m 4k 4 0，关于m的二次三项式中，当且仅当判别式为

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0时，命题成立。

42

即： 6 4 4 4k 0，解得k

5

11

1、若：f x x3 3a 1 x2 2a2 f 2a x a2 2a 3

32

①以a求f 2a ；

f x x 2a x2 3a 1 x 2a2 f 2a 解得f 2a a

②若f x 的图像上有两条与y轴垂直的切线，求实数a的范围；

解析：有两条与y轴垂直的f x 的切线，既有f x 有两个极值点。即f x 0

有两个不等的实数根，解出f x 0的两个不等实数根，既是a的取值范围， 有：x2 3a 1 x 2a2 a 0 （f 2a a）

2

3a 1 42a2 a 0 解得a 1

③若f x 中，a 2时，f x 在 0，3 上的最值； i 将a 2代入f x 的表达式 ii 求f x

1352

x x 6x 5的最值，f x x 2x x 3 0 32

看此两点f x 的符号变化情况。 fmi n0 5 fmax 2

x s x 2 2t

t为参数 与抛物线 2、求直线L: 所围成的图形面积。 2

y 2x y 3 2t

29

（0，2）时f x 0 （2，3）时f x 0 3

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解：y x 1 0 y x 1；y 2x2 ； 联立解得交点，x1 1，x2

1； 2

x 1 2x dx s 所求

2

12 1

古人云：豫则立,不豫则废。知止而后有定；定而后能静；静而后能安；安而后能思；思而后能立；立而后能学。。。。。

知道了止,如何发奋向上呢?对此,本人谈点粗浅看法!在以飨大家的时候,也是一个自我鞭策!其实,任何一个人的一生都有如述三种境界,不过不同的是;由于"止"的不同,"豫"的应用程度不同就会有千差万别，所以导致每一个体在社会这个历史舞台上的表现以及表演技巧产生极大的不同俗话说,差之毫厘,谬之千里,说的就是这一现象! 但是,不论如何,做人都要实现以下三种境界

第一:发奋寻觅,(用预测\垂询\计划\预备\借鉴\等有效手段,确定人生的道路行进路线,这是一个可以达到自己目标-- --"止"的必由之路)用一句故词说就是:

昨夜西风凋碧树,独上高楼望尽天涯路.

第二:坚持不懈,念念不忘人生即定目标,苦学上进,不怕任何艰难险阻.用一句故词说就是:

衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴.

第三:拿出勇往直前的精神.沿着崎岖小路不断登攀,就一定能够达到辉煌的顶点.用一句故词说就是:

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众里寻她千百度,蓦然回首那人却在灯火阑珊处

口诀：一看次方二看项，三与公式比比样。 关键：特别熟练地掌握公式，重要公式如下 Ⅰ、 a b 2=a2 2ab b2 Ⅱ、 a b 3=a3 3a2b 3ab2 b3 Ⅲ、a3 b3 a b a2 ab b2 Ⅳ、 a b a b a2 b2

Ⅴ、记住提取公因式，或分组后提公因式

VI、a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) VII、当 a b c 0 时，a3 b3 c3 3abc

方法：如果是高次方，先降幂。一般为1次、6次、8次。

要注意到连续的降幂，这是当学到幂的运算性质后能够反映到的问题。

譬如： a2 13 a3 12 a3 1 a3 1 ...........略

3

2

如此则不易出错。如不然，易出现没有分解完的情况。如果是二次三项式，老师教的方法是“十字相乘”法，事实上，这是“韦达定理”的反用。只有熟练掌握了以后才能得心应手的使用。鉴于目前课业繁重，且练习机会少的原因，“十字相乘”法掌握的不可能很熟。因此，对学此有困难的学生，当学习了一元二次方程后，类此于二次三项式或者二次三项式形成的多项式的因式分解，完全可以靠“求根公式”来进行。

另外就是看前述的7个公式，比较形式。一般不会同公式一模一

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样，只有诸多相似的地方，这是，想办法通过变化往公式上凑。最终达到和公式的一致性。便可以放心按公式给出最终结果。

譬如：x4 9x2 8;这一式子具备了口诀中的特征点，因此，可以用这种办法演示如下：

因为有高次方（4次）可以降幂，然后去和公式一一比样。 令T x2，原式可写成T2 9T 8,这是一个标准的二次三项式，我们令这一式子为“零”，然后利用求根公式

T2 9T 8 0

T1.2

9 329 7

22

T1 8，T2 1

有 T 8 T 1 ，x2 T代入此式中有下式

x

2

8x2 1 x 8 x 1 x 1

也可以凑公式：利用a2 2ab b2 a b 2去对照

x

原式 x4 9x2 8 x2

2

2x2 1 7x2 1 x2 1 7x2 1

2

2

1 x 1 7 x 1 x 1 x 8

2

2

2

如果是在有理数范围分解因式，上述已完毕，但当题目要求在实数范围内分解因式。则x2 8还可以写成x2 x 8 x 。这是要十分注意的。其实，如果有做题经验，式子x4 9x2 8已完全可以利用“十字相乘”去做，这种做法的本身已将x2看成为一次项，这已经是在降幂了。总之，要多练，才会做得好。

上述所说，是对初学者或者进入中考冲刺而基础打的不牢的同学的补救方法，但愿能起到作用吧。

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举例说明用求根公式分解因式：（在实数范围内分解因式）

例⑴ 3x2 4xy 3y2 ⑵ 2x2 xy y2 4x 5y 6 解⑴：关于x的二次方根3x2 4xy 3y2 0的 两个根是：x1.2

2

2

2

3

y

212 2

3x 4xy 3y 3 x y y x y 333

3x 2y 2y(3x 3y 3y)

解⑵：2x2 xy y2 4x 5y 6 0（原式不变）

求关于x的方程有x1

y 2

x2 3 y 2

1

原式 2 x y 2 x y 3 2x y 2 x y 3

2

（一）导数的概念 1. 导数的定义

定义 设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得改变量△x时，函数y=f（x）取得相应的改变量△y=f（x0+△x）-f（x0），如果当△x→0时，函数的改变量△y与自变量的改变量△x之比的极限

存在，则称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，并称函数y=f（x）在点x0处可导，记作

利用导数定义求导数的解题步骤： （1）求增量△y=f（x0+△x）-f（x0）

（2）算比值

（3）取极限

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左导数 如果当△x→0时，数，记为f’-（x0），即

右导数 如果当△x→0时，数，记为f+’（x0），即

+

-

的极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0处的左导

的极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0处的右导

如果函数f（x）在x0处可导，显然要求在此点左导数和右导数都存在且相等，反之也成立。

导函数

一般地说，设对于开区间（a，b）内的每一点x，函数y=f（x）都有导数，那么称f（x）在（a，b）可导，于是对应于（a，b）内的每一个x值，就有一个导数值f’（x），因此导数是x的函数，此函数叫做导函数。以后为了简便起见，将导函数简称为导数，记作

2.导数的几何意义

设曲线的方程为y=f（x），则由导数的定义可知，函数y=f（x）在某点x0处的导数f’（x0）就是曲线上的点M（x0，y0）处切线的斜率（见图）， 即

由曲线的点斜式方程，易知曲线y=f（x）上的点M（x0，y0）处的切线方程为 y－y0=f'(x0)(x－x0) 3.可导与连续的关系

定理2.1 如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。

由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。

例：

f（x）在x=0处连续。

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∵f'-(0)≠f'+(0)

∴f（x）=∣x∣在x=0处不可导 （二）曲线的切线方程及法线方程

若函数y=f（x）在点x0处可导，由导数的几何意义，知f’（x0）表示过曲线上点M（x0，y0）的切线斜率。所以，过曲线上点M（x0，y0）的切线方程为 y-y0=f'(x0)(x-x0)

若f'(x0)存在且不等于零，则过点M（x0，y0）的法线方程为

，则f'(0)= 。

例1[9704]设函数f（x）满足

解：

[答]

例2[0303]己知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则 A.0 B.1 C.2 D.4

解：f(x)在点x0处可导，f'(x0)=2

等于（ ）

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[答] D

导数的几何意义

例3[0410]曲线y=e-x在点（0，1）处的切线的斜率k为______. [解析] 本小题主要考查利用导数的几何意义，满分4分。

3

例2［0616］曲线y=x-x在点（1，0）处的切线方程为

解：y'=3x2-1 y'∣x=1=2 y-0=2(x-1)

切线方程为y=2(x-1) [答]y=2(x-1)

上求一点M0,使过点M0的切线平行于直线x-2y+5=0,并求过点

例3[9920]在曲线

M0的切线方程和法线方程。

[解析] 本小题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线方程和法线方程，满分6分。 设M0（x0，y0）

故切线方程为

，即x-2y+1=0

法线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0 （三）导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

μμ

（1）（C）'=0 （2）（x）'=μx-1

（4）

（3）

（5）（ax）'=axlna（a＞0,a≠1） （6）（ex）'=ex （7）

（8）

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（9）（sinx）'=cosx （10）（cosx）'= -sinx （11）

（12）

（13）（secx）'=secx·tanx （14）（cscx）'= -cscx·cotx （15） （17）

（16）（18）

2.导数的四则运算法则 设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有 （1）（u±v）'=u'±v' （2）（u·v）'=u'·v+u·v' （3）（cu）'=c·u'

（4） （5）

（6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w' 3. 复合函数求导法则

如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为

4.反函数求导法则

如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数

例1[0008] 设函数f（x）=sin2+x2+2x，求y'。

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分4分。 f'（x）=（sin2+x2+2x）'=2x+2xln2 例2 [0602]设函数y=e2x+5，则y’= y’=（e2x+5）' =e2x﹒（2x）' =2e2x

例3 [9419]设函数

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[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5分。

例4 [9712] 设函数f（x）=（1+x2）arctanx，求f”(0)。

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5分。 f'(x)=（1+x2）'arctanx+（1+x2）（arctanx）'

=2xarctanx+1 f'（0）=1 例5 [0122]设函数

，求y’

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分6分。

3

例6 [9809]设函数y=sinln（x），则y’= _ [解析]本小题主要考查复合函数求导。满分4分。 解法一：

解法二：

例7 [0010]设函数

，则y’= _______.

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[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分4分。

例8 [0223] 设函数f（x）=ex,g（x）=sinx，且y=f[g'（x）]，求

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分7分。 因为g'（x）=cosx，所以y=f（cosx）=ecosx， 则

（

）

例9 [样题23]设函数y=efsin2x，其中f（u）可导，求y'。

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分8分。

例10 [0318] 设函数

，求y’

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分6分。

例11 [0420] 设函数f（cosx）=1+cos3x，求f'（x）

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分6分。 设cosx=t，则f（t）=1+t3，即f（x）=1+x3， 所以f'（x）=3x2

例12 设f（cosx）=sin2x，求f'（x） f（cosx）=1-cos2x 令cosx=t f（t）=1-t2 f（x）=1-x2

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f'（x）=-2x

例13 设f（ex）=1+ex+e2x，求f'（x）

f（ex）=1+ex+（ex）2 f（x）=1+x+x2 f'（x）=1+2x

5.分段函数的导数

例14 讨论

解：f（0）=0

在x=0处的导数。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dyej.html