材料力学答案第三版单辉祖

1 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能

2-1 试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a 与b 所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q 。

题2-2图

(a)解：由图2-2a(1)可知，

qx qa x F -=2)(N 轴力图如图2-2a(2)所示，

qa F 2m ax ,N =

图2-2a

(b)解：由图2-2b(2)可知，

qa F =R

2

qa F x F ==R 1N )( 22R 2N 2)()(qx qa a x q F x F -=--=

轴力图如图2-2b(2)所示，

qa F =m ax N,

图2-2b 2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A =500mm 2

，载荷F =50kN 。试求图示斜截面m -m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为 100MPa Pa 1000.1m 10500N 105082

63=?=??==－A F σ 斜截面m -m 的方位角， 50-=α故有

MPa 3.41)50(cos MPa 100cos 22=-?== ασσα MPa 2.49)100sin(MPa 502sin 2

-=-?== αστα 杆内的最大正应力与最大切应力分别为

MPa 100max ==σσ MPa 502

max ==στ 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E 、比例极限p σ、屈服极限s σ、强度极限b σ与伸长率δ，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5

解：由题图可以近似确定所求各量。

3

220GPa Pa 102200.001Pa 10220ΔΔ96=?=?≈=εσE

MPa 220p ≈σ, MPa 240s ≈σ MPa 440b ≈σ, %7.29≈δ

该材料属于塑性材料。

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm ，杆长 l =200mm ，杆端承受轴向拉力F = 20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

题2-6图

解： 255MPa Pa 1055.2m 0.010πN

102048223=?=???==A F

σ

查上述εσ-曲线，知此时的轴向应变为

%39.00039.0==ε

轴向变形为

mm 780m 108700390m)2000(Δ4....l εl =?=?==-

拉力卸去后，有

00364.0e =ε， 00026.0p =ε

故残留轴向变形为

0.052mm m 105.2000260(0.200m)Δ5p =?=?==-.l εl

2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F 作用。已知载荷F =32kN ，板宽b =100mm ，板厚=δ15mm ，孔径d =20mm 。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图

解：根据

2.0m)100.0m/(020.0/==b d

查应力集中因数曲线,得

42.2≈K

根据 δd b F σ)(n -=， n

max

σσ

K =

得

4 64.5MPa Pa 1045.60.015m

0.020)(0.100N 103242.2)(723n max =????=-==＝－δd b KF K σσ 2-10 图示板件，承受轴向载荷F 作用。已知载荷F =36kN ，板宽b 1=90mm ，b 2=60mm ，板厚δ=10mm ，孔径d =10mm ，圆角半径R =12mm 。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-10图

解：1.在圆孔处

根据 111100.090m

m 010.0

1.b d ==

查圆孔应力集中因数曲线，得

6.21≈K

故有 117MPa Pa 1017.1m 010.0)010.0090.0(N 10366.2)(8

231

1n 1max 1=?=???===－－δd b F K σK σ

2．在圆角处

根据 1.50.060m m

090.02

1

===b b d D

2.00.060m

m

012.02===b R d R

查圆角应力集中因数曲线，得

74.12≈K

故有 104MPa Pa 1004.10.010m 0.060N

103674.182322

n 2max 2=?=???===δ

b F

K σK σ

3. 结论

MPa 117max =σ（在圆孔边缘处）

2-14图示桁架，承受铅垂载荷F 作用。设各杆的横截面面积均为A ，许用应力均为[]，试确定载荷F 的许用值[F ]。

题2-14图

5 解：先后以节点C 与B 为研究对象，求得各杆的轴力分别为

F F 2N1=

F F F ==N3N2

根据强度条件，要求

][2σ≤A F 由此得 2][][A F σ= 2-15 图示桁架，承受载荷F 作用，已知杆的许用应力为[σ]。若在节点B 和C 的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的α值（即确定节点A 的最佳位置）。

题2-15图

解：1.求各杆轴力

设杆AB 和BC 的轴力分别为N1F 和N2F ，由节点B 的平衡条件求得 αF F α

F F ctan sin N2N1==， 2.求重量最轻的值

由强度条件得

ασF A σF A ctan ][ ]sin [21==，α 结构的总体积为

)ctan sin22(][ctan ][cos ]sin [2211αασFl ασFl αl ασF l A l A V +=+?=+= 由

0d d =α

V 得

01cos 32=-α 由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为

4454opt '= α

2-16 图示桁架，承受载荷F 作用，已知杆的许用应力为[σ]。若节点A 和C 间的指定距离为 l ，为使结构重量最轻，试确定θ的最佳值。

6

题2-16图

解：1.求各杆轴力

由于结构及受载左右对称，故有

θF F F sin 2N2N1== 2.求θ的最佳值

由强度条件可得

θσF A A ]sin [221== 结构总体积为

θσFl θl θσF l A V ]sin2[cos 2]sin [211=?==

由

0d d =θV 得

0cos2=θ 由此得θ的最佳值为

45opt =θ 2-17图示杆件，承受轴向载荷F 作用。已知许用应力[]＝120MPa ，许用切应力[]＝90MPa ，许用挤压应力[bs ]＝240MPa ，试从强度方面考虑，建立杆径d 、墩头直径D 及其高度h 间的合理比值。

题2-17图 解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F 的许用值分别为

][4π][2t σd F = (a)

][4)(π][bs 22b σd D F -= (b)

][π][s τdh F = (c)

理想的情况下，

s b t ][][][F F F == 在上述条件下，由式（a ）与（c ）以及式（a ）与（b ），分别得 d h ]

[4][τσ=

7

d D bs ][][1σσ+= 于是得

1:][4][:][][1::bs τσσσ+=d h D 由此得

1:333.0:225.1::=d h D

2-18 图示摇臂，承受载荷F 1与F 2作用。已知载荷F 1=50kN ，F 2=35.4kN ，许用切应力[τ]=100MPa ，许用挤压应力][bs σ=240MPa 。试确定轴销B 的直径d 。

题2-18图

解：1. 求轴销处的支反力

由平衡方程0=∑x F 与0=∑y F ，分别得

kN 25cos4521=-= F F F Bx kN 25sin452== F F By

由此得轴销处的总支反力为

kN 435kN 252522.F B =+= 2.确定轴销的直径

由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）

][π22s τd

F A F τB ≤== 得 m 0150m 10100104.352][263.τF d B =????=≥ππ 由轴销的挤压强度条件

][bs b bs σd F d F σB ≤==δ

δ 得 m 014750m 102400100104.35][63bs ..σδF d B =???=≥ 结论：取轴销直径15m m m 015.0=≥d 。

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN 作用，试求接头的剪切与挤压应力。

8 题2-19图

解：剪应力与挤压应力分别为

MPa 5)m 100.0)(m 100.0(N 10503=?=τ MPa 5.12)

m 100.0)(m 040.0(N 10503bs =?=σ 2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[] =160MPa ，许用切应力[] = 120 MPa ，许用挤压应力[bs ] = 340 MPa ，载荷F = 230 kN 。试校核接头的强度。

题2-20图

解：最大拉应力为 MPa 3.153)m )(010.0)(020.0170.0(N 1023023max =-?=σ 最大挤压与剪切应力则分别为

MPa 2300.010m)5(0.020m)(N 102303bs =?=σ MPa 4.146π(0.020m)5N 1023042

3=???=τ 2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN 作用。已知木杆的截面宽度b =250mm ，沿木纹方向的许用拉应力[σ]=6MPa ，许用挤压应力][bs σ=10MPa ，许用切应力[τ]=1MPa 。试确定

钢板的尺寸δ与l 以及木杆的高度h 。

题2-21图

解：由拉伸强度条件

][)2(σδh b F σ≤-= 得 0.030m m 10625001045][263=???=≥-.σb F δh （a ）

由挤压强度条件 ][2bs bs σb δ

F σ≤=

9 得 mm 9m 0090m 1010250.021045][263

bs ==????=≥.σb F

δ

（b ）

由剪切强度条件 ][2τbl F

τ≤=

得 mm 90m 0900m 101250.021045][263

==????=≥.b F l τ

取m 009.0=δ代入式（a ），得

48mm m 0480m )009.02030.0(==?+≥.h

结论：取

m m 9≥δ，m m 90≥l ，m m 48≥h 。

2-22 图示接头，承受轴向载荷F 作用。已知铆钉直径d =20mm ，许用应力[σ]=160MPa ，许用切应力

[τ]=120MPa ，许用挤压应力][bs σ=340MPa 。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。

题2-22图

解：1.考虑板件的拉伸强度

由图2-22所示之轴力图可知，

4/3 N2N1F F F F ==， ][)(1N1

1σδ

d b F A F σ≤-==

432kN N 104.32N 10160015.0)02002000(][)(56=?=???=-≤.-.σδd b F ][)2(4

32N2

2σδd b F

A F σ≤-== 512kN N 105.12N 10160015.0)040.0200.0(34

][)2(34

56=?=???-=-≤σδd b F

图2-22

2.考虑铆钉的剪切强度 8s F

F = ][π842s

τd F

A F τ≤==

10 302kN N 1002.3N 101200200π2][π25622=?=????=≤.τd F

3．考虑铆钉的挤压强度

][ 4 4 bs b bs b σδδσ≤===d F d F F F kN 408N 1008.4N 103400.0200.0154][456bs =?=????=≤σd F δ

结论：比较以上四个F 值，得

kN 302][=F

2-23 图a 所示钢带AB ，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F 作用。已知载荷F=6kN ，带宽b=40mm ，带厚=2mm ，铆钉直径d=8mm ，孔的边距a=20mm ，钢带材料的许用切应力[]=100MPa ，许用挤压应力[bs ]=300MPa ，许用拉应力 []=160MPa 。试校核钢带的强度。

题2-23图 解：1．钢带受力分析 分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

铆钉孔所受挤压力F b 等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力F b 相同，钢带的受力如图

b 所示，挤压力则为 N 100.23

N 106333b ?=?==F F 孔表面的最大挤压应力为 ][MPa 125Pa 1025.1)

m 008.0)(m 002.0(N 100.2bs 83b bs σδσ<=?==?==d F 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b ），切应力为 ][MPa 25Pa 105.2)

m 020.0)(m 002.0(2N 100.2273b τδτ<=?==?==a F 钢带的轴力图如图c 所示。由图b 与c 可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2-2的正应力分别为

[]σδσ<=?-?=-==MPa 3.83m)002.0(m)008.02.040m 03(N)106(2)23(231N11d b F A F

[]σδσ<=-?=-==MPa 8.93m)

002.0(m)008.0.040m 0(N 106)(32N22d b F A F

11 第三章 轴向拉压变形

3-2 一外径D=60mm 、内径d =20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm ，两端承受轴向拉力F = 200kN 作用。若弹性模量E = 80GPa ，泊松比μ=0.30。试计算该杆外径的改变量

D 及体积改变量V 。 解：1. 计算

D 由于

EA F D D εEA F εμμε-=-=='=Δ ， 故有 0.0179mm

m 1079.1 m 020.00600(π1080060.01020030.04)(π4Δ5229322-=?-=-???????-=--=-='=-）.d D E FD EA FD

D εD μμ 2.计算V

变形后该杆的体积为

)21()1)(1(])()[(4

π)(222εεV εεAl d εd D εD l l A l V '++≈'++='+-'++=''='ε 故有 337393mm 400m 1000.4 )3.021(m 10

80400.010200)21()2(Δ=?=?-???=-='+=-'=-μE Fl εεV V V V 3-4 图示螺栓，拧紧时产生l ?=0.10mm 的轴向变形。已知：d 1 = 8.0mm ，d 2 = 6.8mm ，d 3 = 7.0mm ；l 1=6.0mm ，l 2=29mm ，l 3=8mm ；E = 210GPa ，[σ]=500MPa 。试求预紧力F ，并校核螺栓的强度。

题3-4图

解：1.求预紧力F

各段轴力数值上均等于F ，因此，

)(π4)(Δ23

3222211332211d l d l d l E F A l A l A l E F l ++=++= 由此得 kN 6518N 108651N )007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ422239233

222

211

..d l d l d l l E F =?=++?????=++=- 2.校核螺栓的强度 514MPa Pa 1014.5m 00680πN 1065.184π482

2322min max =?=???===.d F A F σ 此值虽然超过][σ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

3-5 图示桁架，在节点A 处承受载荷F 作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为1ε= 4.0×10

-4

12 与2ε= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A 1= A 2=200mm 2，弹性模量E 1= E 2=200GPa 。试确定载荷F 及其方

位角θ之值。

题3-5图

解：1.求各杆轴力

16kN N 1061N 10200100.41020046

49111N1=?=?????==--.A εE F

8kN N 108N 10200100.2102003649

222N2=?=?????==--A εE F

2.确定F 及θ之值

由节点A 的平衡方程0=∑x F 和0=∑y F 得

0sin30sin sin30N1N2=-+

F θF F

0cos cos30cos30N2N1=-+θF F F

化简后，成为

θF F F sin 2N2N1=- (a)

及 θF F F cos 2)(3N2N1=+ (b)

联立求解方程(a)与(b)，得 1925.010)816(310)816()(3tan 3

3

N2N1N2N1=?+?-=+-=F F F F θ

由此得

9.1089.10≈=θ kN 2.21N 102.12N 8910sin 210)816(2sin 43

N2N1=?=?-=-= .θF F F

3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为，长度为l ，左、右端的宽度分别为b 1与b 2，弹性模量为E 。试计算板的轴向变形。

题3-6图

解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为 x x b E F

x x EA F

l l l d )(d )(Δ00??==δ (a)

由图可知，若自左向右取坐标x ，则该截面的宽度为

13

x l b b b x b 121)(-+= 代入式(a)，于是得 12120121ln )(d 1Δb b b b E δFl x x l b b b δE F l l -=??? ??-+=?

3-7 图示杆件，长为l ，横截面面积为A ，材料密度为ρ，弹性模量为E ，试求自重下杆端截面B 的位移。

题3-7图

解：自截面B 向上取坐标y ，y 处的轴力为

gAy F ρ=N 该处微段d y 的轴向变形为

y E gy y EA gAy Δy d d d ρρ== 于是得截面B 的位移为 E gl y y E g

Δl Cy 2d 2 0 ρρ==? )(↓

3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F ，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f ，且f = ky 2，式中，k 为常数。已知地桩的横截面面积为A ，弹性模量为E ，埋入土中的长度为l 。试求地桩的缩短量δ。

题3-8图

解：1. 轴力分析

摩擦力的合力为

3d d 3 0 2 kl y ky y f F l l y ===?? 根据地桩的轴向平衡，

F kl =33 由此得 33l F

k = （a ）

14 截面y 处的轴力为 3d d 3 0 2 0 N ky y ky y f F y y

===***??

2. 地桩缩短量计算

截面y 处微段d y 的缩短量为

EA y F δd d N = 积分得 EA kl y y EA k EA y F δl l 12d 3d 4 0 3 0 N

===??

将式(a)代入上式，于是得 EA

Fl δ4= 3-9 图示刚性横梁AB ，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k ，试求当载荷F 作用时端点B 的铅垂位移。

题3-9图

解：载荷F 作用后，刚性梁AB 倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为N F ，其总伸长为l Δ。

图3-9

以刚性梁为研究对象，由平衡方程∑=0A M 得

)2()(N N b a F b a F a F +=++ 由此得

F F =N 由图3-9可以看出，

)2( b a y +=θ?

)2()(Δ21b a b a a ΔΔl y y +=++=+=θθθ 可见，

l Δy Δ= (b) 根据k 的定义，有

y k Δl k F ==ΔN 于是得 k F k F Δy ==N

3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试计算节点A 的水平与铅垂位移。

15

题3-10图

（a ）解：

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

（拉力）

N2N1F F F == （压力） 2N4F F = 0N3=F

于是得各杆的变形分别为

)( 21伸长EA Fl l l =?=?

)( 2224伸长＝EA Fl EA l F l ?=? 03=?l

如图3－10(1)所示，根据变形l 1与l 4确定节点B 的新位置B ’,然后，过该点作长为l +l 2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A 点的铅垂线相交于A ’,此即结构变形后节点A 的新位置。

于是可以看出，节点A 的水平与铅垂位移分别为

0=Ax Δ

()

EA Fl EA Fl EA Fl EA Fl l l l ΔAy 212222241+=++=?+?+?=

图3-10

（b ）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为

（拉力） N1F F =

0N2=F

于是由图3－10(2)可以看出，节点A 的水平与铅垂位移分别为

EA

Fl l ΔAx =

?=1 EA Fl l ΔAy =?=1 3-11 图示桁架ABC ，在节点B 承受集中载荷F 作用。杆1与杆2的弹性模量均为E ，横截面面积分别为

16 A 1=320mm 2与A 2 =2 580mm 2。试问在节点B 和C 的位置保持不变的条件下，为使节点B 的铅垂位移最小，θ应取何值（即确定节点A 的最佳位置）。

题3-11图

解：1.求各杆轴力

由图3-11a 得 θF F θF

F ctan sin N2N1==，

图3-11

2.求变形和位移

由图3-11b 得 2

222N221211

N11ctan Δ sin22ΔEA θ

Fl EA l F l θEA Fl EA l F l ===＝，

及 )ctan sin sin22(tan Δsin Δ2

21221A θ

θθA E Fl θl θl ΔBy +=+=

3.求θ的最佳值

由0d /d =θΔBy ，得 0csc ctan 2sin 2sin )sin2cos sin cos22(22

2

221=?-+-A θθθθθθθθA

由此得

0)cos 31(cos 2223

1=--θA θA

将21A A 与的已知数据代入并化简，得

003125.4cos 09375.12cos 23=-+θθ 解此三次方程，舍去增根，得

5649670cos .θ= 由此得θ的最佳值为

17 6.55opt =θ

3-12 图示桁架，承受载荷F 作用。设各杆的长度为l ，横截面面积均为A ，材料的应力应变关系为n =B

，其中n 与B 为由试验测定的已知常数。试求节点C 的铅垂位移。

题3-12图 解：两杆的轴力均为

αcos 2N F F = 轴向变形则均为 B l A F l B l l n

n ??? ??===?ασεcos 2 于是得节点C 的铅垂位移为 αα1cos 2cos +=?=n n n n Cy B A l F l Δ

3-13 图示结构，梁BD 为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C 承受集中载荷F 作用。已知载荷F = 20kN ，各杆的横截面面积均为A =100mm 2，弹性模量E = 200GPa ，梁长l = 1 000mm 。试计算该点的水平与铅垂位移。

题3-13图

解：1.求各杆轴力

由0=∑x F ，得

0N2=F 由∑=0y F ，得

kN 102N3N1===F F F 2．求各杆变形

0Δ2=l 34-693N11Δ0.50mm m 105.0m 10

10010200000.11010Δl EA l F l ==?=?????==- 3．求中点C 的位移

由图3-13易知，

18

图3-13 )(mm 50.0Δ )(mm 50.0Δ11↓==→==l Δl Δy x ，

3-14 图a 所示桁架，承受载荷F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试求节点B 与C 间的相对位移B/C 。

题3-14图

解：1. 内力与变形分析

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

（拉力） 2

4N 3N 2N 1N F F F F F ==== （压力）

5N F F = 于是得各杆得变形分别为

)( 24321伸长EA Fl l l l l =

?=?=?=? )( 225缩短EA

Fl EA l F l =?=? 2. 位移分析

如图b 所示，过d 与g 分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C 的铅垂线相交于e 与h ，然后，在de 与gh 延长线取线段

l 3与l 2，并在其端点m 与n 分别作垂线，得交点C ’，即为节点C 的新位置。 可以看出，

()()EA Fl EA Fl EA Fl l l iC'Ci ΔC B 2222222222235/+=??? ??+=??? ???+?=+=

3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。

19 题3-15图

(a)解：各杆编号示如图3-15a ，各杆轴力依次为 F F F F F F 21

22 22

N3N2N1=-==，，

该桁架的应变能为 )4122(2)4122221(2122223

12

N +=+??==∑=EA l F l F l F EA EA l F V i i

i ε

图3-15

依据能量守恒定律， εV F Δ

=2

最后得 EA Fl

EA l F F Δ4)122()4122(222+=+?= )(→

(b)解：各杆编号示如图b

列表计算如下：

i i F N i l i i l F 2

N

1 F l l F 2

2 0 l 0

3 F l l F 2

4 F l l F 2

5 F 2- l 2 l F 222

∑ l F 2)22(3+

于是，

∑=+==5122

N 2)223(2i i i εEA

l F EA l F

V

依据能量守恒定律，

εV F Δ

=2

可得

)( )223(→+=EA Fl

Δ

3-16 图示桁架，承受载荷F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法求节点B 与C 间的相对位移B/C 。

20

题3-16图

解：依据题意，列表计算如下：

i i F N i l i i l F 2

N

1 2/2F l 22/l F

2 2/2F l 22/l F

3 2/2F l 22/l F

4 2/2F l 22/l F

5 F - l 2 l F 22

∑ l F 2)22(+

由表中结果可得

EA l

F EA l F V i i i ε2)22(22

5

12

N +==∑=

依据

εV W =

得

EA Fl

ΔC B )22(

/+= )(←→

3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为，长度为l ，左、右端的宽度分别为b 1与b 2，弹性模量为E ，试用能量法计算板的轴向变形。

题3-17图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

x x b E F x x EA F V l l d )(2d )(202

N

02N ??==δε (a)

由图可知，若自左向右取坐标x ，则该截面的宽度为

x l b b b x b 1

21)(-+=

将上式代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得

1

21221

212 0 ln )(2d 21b b

b b E δl F x x l b b b δF E V l ε-=??

? ??-+=?

设板的轴向变形为l ，则根据能量守恒定律可知，

21

εV l F =2Δ 或

12122ln )(22Δb b b b E δl F l F -= 由此得 12

12ln )(Δb b b b E δFl l -=

3-19 图示各杆，承受集中载荷F 或均布载荷q 作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA ，试求支反力与最大轴力。

题3-19图

(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

∑=--+=0 ,0Bx Ax x F F F F F

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

图3-19a AC ，CD 与DB 段的轴力分别为

2 , ,3N 2N 1N F F F F F F F F Ax Ax Ax -=-==

由于杆的总长不变，故补充方程为

()()02=-+-+=?EA

a F F EA a F F EA a F l Ax Ax Ax 得

0=-F F Ax

由此得

F F Ax =

F F F F Ax Bx =-=2

杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为

F F =max N,

(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

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