中考数学第一轮复习第16讲《直角三角形》专题训练含答案

第16讲 直角三角形

命题趋势 直角三角形是中考考查的1．了解直角三角形的有关概念，热点之一，题型多样，多以简单掌握其性质与判定． 题和中档难度题出现，主要考查2．掌握勾股定理与逆定理，并直角三角形的判定和性质的应能用来解决有关问题. 用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力. 考纲要求

知识梳理

一、直角三角形的性质

1．直角三角形的两锐角________． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．

4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 二、直角三角形的判定

1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形．

3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．

4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．

自主测试

1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cos B＝( )

512512A． B． C． D． 1251313

2．如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③2，3，4；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有( )

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

考点一、直角三角形的判定

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．

分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.

解：△MEF是等腰直角三角形．

连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线， ∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC. ∵AB＝AC，

∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°. ∵DF⊥AB，DE⊥AC，

∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°， ∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA. 又∵FB＝FD，∴FB＝EA， ∴△BFM≌△AEM(SAS)， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∵∠AMF＋∠BMF＝90°， ∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°， ∴△MEF是等腰直角三角形．

方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得． 触类旁通1 具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是( )

1

A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝90°－∠C

2

C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A－∠C＝90° 考点二、直角三角形的性质 【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：DC⊥BE.

(1)解：图2中△ABE≌△ACD. 证明如下：

∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 又∵AB＝AC，AE＝AD，

∴△ABE≌△ACD.

(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°. 又∠ACB＝45°，

∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE.

方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质． 考点三、勾股定理及其逆定理

【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED. ∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm. 在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝

AC2＋BC2＝

62＋82＝10(cm)．

∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm， 在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2. ∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3. ∴CD的长为3 cm.

方法总结 1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边． 2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形． 触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．

考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用 【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．

解：设E站应建在距A站x km处，

根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6. 所以E站应建在距A站6 km处．

方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．

触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

1．(2012广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )

3612933A． B． C． D．

525442．(2012浙江湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，

则CD的长是( )

A．20 B．10

5

C．5 D．

2

3．(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )

A．90 B．100 C．110 D．121

4．(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为________°.

5．(2012四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．

6．(2012重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)

1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )

A．3 cm B．6 cm C．32cm D．62cm

1

2．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是( )

2

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( ) A．57 B．25 C．57或25 D．无法确定

4．如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )

A．S1＝S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定

5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重

CE

合，折痕为DE，则的值是( )

BC

24771 B． C． D． 732436．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝25，则BE的长为__________．

A．

7．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．

8．如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.

(1)求证：DE平分∠BDC；

(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.

参考答案

导学必备知识 自主测试

1．C ∵BC2＋CA2＝AB2，∴∠C＝90°，∴cos B＝2．B 3．D 探究考点方法 触类旁通1．D

触类旁通2．解：在Rt△ABD中，BD＝

AD2＋AB2＝42＋32＝5，

在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，

∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°.

1111

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36.

2222触类旁通3．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：

AC2＋BC2＝

BC5

＝. AB13

(1)如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32 m. (2)如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝△ABD的周长为(20＋45) m.

(3)如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，2580则x＝，故△ABD的周长为m.

33

AC2＋CD2＝45，故

品鉴经典考题

1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得：AB＝

AC2＋BC2＝15.

过点C作CD⊥AB，交AB于点D，

11

又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

22AC·BC9×1236

∴CD＝＝＝，

AB155

36

则点C到AB的距离是. 5

2．C 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD的长是5.

3．C 如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，

所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110. 故选C.

4．85 ∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°.

5．等腰直角三角形 由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC的形状为等腰直角三角形．

6．解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠B＝60°.

∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC＝2AB＝4.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝

BC2－AB2＝

42－22＝23，∴△ABC的周长为AC

＋BC＋AB＝23＋4＋2＝6＋23. 研习预测试题 1．D

1

2．A 由a＋c＝2b，c－a＝b，

2

53

可得c＝b，a＝b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．

44

3．C 4．A

5．C 由折叠性质可知，AE＝BE， 设CE为x，则BE＝8－x. 在Rt△BCE中，62＋x2＝(8－x)2，

7

7CE47

所以x＝.故＝＝. 4BC624

6．42 ∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC，

11

∴CD＝AB，DE＝BC，∴AB＝45，BC＝4.

22

1

在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝8，∴CE＝AC＝4.

2

∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝42. 31

7． 根据题意易知CD＝AC＝2，AD＝DE＝(2)2＝2，EF＝AE＝22，AF＝FG＝222

11

×2＝4，AG＝42，所以所求图形的面积S＝S△ABC＋S梯形ACDE＋S梯形AEFG＝×1×1＋×(2

22

1131

＋22)×2＋×(22＋42)×22＝＋3＋12＝.

222

8．证明：(1)在等腰Rt△ABC中， ∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°. ∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC. ∴∠DCA＝∠DCB＝45°.

由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°， ∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.

(2)如图，连接MC.

∵DC＝DM，且∠MDC＝60°， ∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD.

又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°， ∴∠EMC＝∠ADC.

又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°. ∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.

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