2016年江苏省无锡市锡北片中考数学一模试卷

2016年江苏省无锡市锡北片中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 1．（3分）（2015?徐州）﹣2的倒数是（ D ） A．2

3

3

B．﹣2 C．

6

D．﹣

﹣2

2．（3分）（2009?黄冈）下列运算正确的是（ D ）

A．a+a=a B．2（a+b）=2a+b C．（ab）=ab﹣2 D．a÷a=a 3．（3分）（2016?无锡一模）一次函数y=﹣3x+2的图象不经过（ B ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3分）（2016?无锡一模）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 5．（3分）（2013?苏州）一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 6．（3分）（2016?无锡一模）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

6

2

4

A． B． C． D．

7．（3分）（2011?无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 8．（3分）（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）

A．40° B．30° C．20° D．10° 9．（3分）（2016?无锡一模）如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB?AC=160，有下列四个结论：

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①双曲线的解析式为y=④AC+OB=12

（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；

．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）（2016?无锡一模）如图，将边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE外部的边连续滚动（点Q、点R分别与点A、点B重合），当△PQR第一次回到原来的起始位置时（顶点位置与原来相同），点P所经过的路线长为（ ）

A．

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处）

2

11．（2分）（2016?无锡一模）因式分解：b﹣16= ． 12．（2分）（2016?无锡一模）函数y=

中自变量x的取值范围是 ．

B．

C．8π

D．16π

13．（2分）（2016?无锡一模）无锡梅园是全国著名的赏梅胜地之一．近年来，梅园的植梅规模不断扩大，新的品种不断出现，如今的梅园的梅树约15000株，这个数可用科学记数法表示为 ． 14．（2分）（2011?厦门）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧

2

面积是 cm．

2

15．（2分）（2016?无锡一模）方程x+4x﹣5=0的解是 ． 16．（2分）（2016?无锡一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．

17．（2分）（2016?无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，2），点C是

第2页（共25页）

直线y=﹣4x+20上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为 ．

18．（2分）（2016?无锡一模）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD．当∠DOA=∠OBA时，直线CD的解析式为 ．

三、解答题：（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）（2016?无锡一模）（1）计算：

+2cos60°+（）﹣2011；

﹣1

0

（2）化简 ÷（a﹣）．

；

20．（8分）（2016?无锡一模）（1）解方程：

（2）解不等式组：．

21．（6分）（2016?无锡一模）如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）试说明：AB=CF；

（2）连接DE，若AD=2AB，试说明：DE⊥AF．

22．（8分）（2016?无锡一模）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评

第3页（共25页）

价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；

（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度； （3）请将频数分布直方图补充完整；

（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？ 23．（8分）（2016?无锡一模）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）． （1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标； （2）求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率． 24．（8分）（2016?无锡一模）图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，α=18°．（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） （1）求AB的长（精确到0.01米）；

（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留π）

25．（8分）（2016?无锡一模）某酒厂生产A、B两种品牌的酒，每天两种酒共生产600瓶，每种酒每瓶的成本和利润如下表所示．设每天共获利y元，每天生产A种品牌的酒x瓶． A B 50 35 成本（元） 20 15 利润（元） （1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）如果该厂每天至少投入成本25000元，且生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，

第4页（共25页）

那么共有几种生产方案？并求出每天至少获利多少元？ 26．（10分）（2016?无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，∠CDE=∠CAO，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB． （1）求AC的长和点D的坐标； （2）证明：△AEF∽△DCE；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

27．（10分）（2016?无锡一模）已知抛物线y=x+bx+c与x轴交与A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交与点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交与点D． （1）求抛物线的函数关系式．

（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于点M、N（M点在N点左侧），且MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径．

（3）若点M在第三象限，记MN与y轴的交点为点F，点C关于点F的对称点为点E． ①当线段MN=AB时，求tan∠CED的值；

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点M的坐标．

2

28．（10分）（2016?无锡一模）如图①，将?ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被?ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

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（1）填空：点C的坐标为 ；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？ ；（填“B”或“D”）

（2）点B的坐标为 ，n= ，a= ； （3）在平移过程中，求该直线扫过?ABCD的面积y与t的函数关系式．

第6页（共25页）

2016年江苏省无锡市锡北片中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 1．（3分）（2015?徐州）﹣2的倒数是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．﹣ 【解答】解：∵﹣2×（）=1，

∴﹣2的倒数是﹣． 故选D．

2．（3分）（2009?黄冈）下列运算正确的是（ ） A．a3

+a3

=a6

B．2（a+b）=2a+b C．（ab）﹣2

=ab﹣2

D．a6÷a2=a4

【解答】解：A、是合并同类项，结果为2a3

，故不对； B、是去括号，得2（a+b）=2a+2b，故不对； C、是负整数指数幂，即，故不对；

故选D．

3．（3分）（2016?无锡一模）一次函数y=﹣3x+2的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵k=﹣3＜0，

∴一次函数y=﹣3x+2的图象经过第二、四象限， ∵b=2＞0，

∴一次函数y=﹣3x+2的图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y=﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限， 即一次函数y=﹣3x+2的图象不经过第三象限． 故选C． 4．（3分）（2016?无锡一模）若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（A．6 B．7 C．8 D．10

【解答】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）?180=1080， 解得n=8．

∴这个多边形的边数是8． 故选：C． 5．（3分）（2013?苏州）一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5

第7页（共25页）

）

【解答】解：将这组数据从小到大排列为：0，1，2，3，3，5，5，10， 最中间两个数的平均数是：（3+3）÷2=3， 则中位数是3； 故选B．

6．（3分）（2016?无锡一模）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形． 故选A．

7．（3分）（2011?无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补

【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求； B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求； C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；

D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求； 故选A． 8．（3分）（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）

A．40° B．30° C．20° D．10°

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=90°﹣50°=40°，

∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A， ∵∠CA'D是△A'BD的外角，

∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°． 故选：D． 9．（3分）（2016?无锡一模）如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的

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坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB?AC=160，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为y=④AC+OB=12

（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；

．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F， ∵OB?AC=160，A点的坐标为（10，0），

∴OA?CF=OB?AC=×160=80，菱形OABC的边长为10， ∴CF=

=

=8，

在Rt△OCF中， ∵OC=10，CF=8， ∴OF=

=

=6，

∴C（6，8），

∵点D时线段AC的中点， ∴D点坐标为（

，），即（8，4），

∵双曲线y=（x＞0）经过D点， ∴4=，即k=32， ∴双曲线的解析式为：y=

（x＞0），故①错误；

∵CF=8，

∴直线CB的解析式为y=8， ∴

，解得x=4，y=8，

∴E点坐标为（4，8），故②错误； ∵CF=8，OC=10， ∴sin∠COA=

=

=，故③正确；

∵A（10，0），C（6，8），

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∴AC=

∵OB?AC=160， ∴OB=

=

=8+8

， =12

=4，

∴AC+OB=4故选：B．

，故④正确．

10．（3分）（2016?无锡一模）如图，将边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE外部的边连续滚动（点Q、点R分别与点A、点B重合），当△PQR第一次回到原来的起始位置时（顶点位置与原来相同），点P所经过的路线长为（ ）

A．

B．

C．8π

D．16π

【解答】解：如图，

点P运动的路线是10段弧，圆心角为360°﹣60°﹣108°=192°，

×10=

故选：B

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π，

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处）

2

11．（2分）（2016?无锡一模）因式分解：b﹣16= （b+4）（b﹣4） ． 【解答】解：原式=（b+4）（b﹣4）， 故答案为：（b+4）（b﹣4）．

12．（2分）（2016?无锡一模）函数y=【解答】解：由题意得，1﹣x≥0， 解得x≤1．

故答案为：x≤1．

13．（2分）（2016?无锡一模）无锡梅园是全国著名的赏梅胜地之一．近年来，梅园的植梅规模不断扩大，新的品种不断出现，如今的梅园的梅树约15000株，这个数可用科学记数法

4

表示为 1.5×10 ．

4

【解答】解：15000=1.5×10，

4

故答案为：1.5×10． 14．（2分）（2011?厦门）已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 18π cm．

【解答】解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，

2

∴圆锥的侧面积为π×3×6=18πcm． 故答案为18π．

15．（2分）（2016?无锡一模）方程x+4x﹣5=0的解是 x1=﹣5，x2=1 ．

2

【解答】解：∵x+4x﹣5=0， ∴（x+5）（x﹣1）=0， ∴x+5=0或x﹣1=0， ∴x1=﹣5，x2=1． 16．（2分）（2016?无锡一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= 50° ．

2

2

中自变量x的取值范围是 x≤1 ．

【解答】解：连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°，

∵∠COB=2∠CDB=40°，

第11页（共25页）

∴∠E=90°﹣∠COB=50°． 故答案为：50°．

17．（2分）（2016?无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，2），点C是直线y=﹣4x+20上一动点，若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为 （

，） ．

【解答】解：AB的中点D的坐标是：（设直线OD的解析式是y=kx，则2k=3， 解得：k=，

则直线的解析式是：y=x，

，

），即（2，3），

根据题意得：，

解得：，

则C的坐标是：（故答案是：（

，

，）．

）．

18．（2分）（2016?无锡一模）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD．当∠DOA=∠OBA时，直线CD的解析式为 y=﹣

x+4 ．

第12页（共25页）

【解答】解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA， ∴△BOA≌△CDA，

∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，∴△AOM∽△ABO， ∴∠AMO=∠AOB=90°， ∴OD⊥AB， ∵AO=AD，

∴∠OAM=∠DAM， 在△AOB和△ABD中，

，

∴△AOB≌△ABD（SAS）， ∴OM=DM，

∴△ABD≌△ACD， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴B，D，C三点共线，

设直线AB解析式为y=kx+b， 把A与B坐标代入得：

，解得：，

∴直线AB解析式为y=﹣x+4， ∴直线OD解析式为y=x，

联立得：，

解得：，即M（，），∵M为线段OD的中点，

第13页（共25页）

∴D（，），

设直线CD解析式为y=mx+n， 把B与D坐标代入得：

，

解得：m=﹣，n=4，

x+4．

则直线CD解析式为y=﹣故答案为：y=﹣

x+4

三、解答题：（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤）

19．（8分）（2016?无锡一模）（1）计算：

+2cos60°+（）﹣2011；

﹣1

0

（2）化简 【解答】解：（1）=3+2×+2﹣1 =3+1+2﹣1 =5； （2）

÷（a﹣）．

﹣1

+2cos60°+（）﹣2011

0

÷（a﹣）

=

=

=．

第14页（共25页）

20．（8分）（2016?无锡一模）（1）解方程：

；

（2）解不等式组：．

【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）得， 1=x﹣1﹣3（x﹣2）， 解得x=2，

检验：当x=2时，x﹣2=2﹣2=0， 所以，原分式方程无解； （2）

，

解不等式①得，x≥﹣1， 解不等式②得，x＜2，

所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2． 21．（6分）（2016?无锡一模）如图，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）试说明：AB=CF；

（2）连接DE，若AD=2AB，试说明：DE⊥AF．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF，

∴∠ABE=∠FCE， ∵E为BC中点， ∴BE=CE，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（ASA）， ∴AB=FC；

（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD， ∴AD=DF，

第15页（共25页）

∵△ABE≌△FCE， ∴AE=EF， ∴DE⊥AF．

22．（8分）（2016?无锡一模）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了 560 名学生；

（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 54 度； （3）请将频数分布直方图补充完整；

（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？

【解答】解：（1）调查的总人数是：224÷40%=560（人），故答案是：560； （2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×

=54°，故答案是：54；

（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224=84（人）．

；

（4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×

=1800（人）．

23．（8分）（2016?无锡一模）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为（x，y）． （1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标； （2）求点Q落在直线y=﹣x﹣1上的概率．

第16页（共25页）

【解答】解：（1）列表得： 1 2 ﹣1 （1，﹣1） （2，﹣1） ﹣2 （1，﹣2） （2，﹣2） ﹣3 （1，﹣3） （2，﹣3） 则共有6种等可能情况；

（2）∵点Q落在直线y=﹣x﹣1上的有2种， ∴P（点Q在直线y=﹣x﹣1上）==．

24．（8分）（2016?无锡一模）图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，α=18°．（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） （1）求AB的长（精确到0.01米）；

（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留π）

【解答】解：

（1）作AF⊥BC于F． ∴BF=BC﹣AD=0.4米， ∴AB=BF÷sin18°≈1.29米；

（2）∵∠NEM=90°+18°=108°， ∴弧长为

=0.48π米．

25．（8分）（2016?无锡一模）某酒厂生产A、B两种品牌的酒，每天两种酒共生产600瓶，每种酒每瓶的成本和利润如下表所示．设每天共获利y元，每天生产A种品牌的酒x瓶．

第17页（共25页）

A B 50 35 成本（元） 20 15 利润（元） （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）如果该厂每天至少投入成本25000元，且生产B种品牌的酒不少于全天产量的55%，那么共有几种生产方案？并求出每天至少获利多少元？ 【解答】解：（1）由题意，每天生产A种品牌的酒x瓶，则每天生产B种品牌的酒（600﹣x）瓶，

∴y=20x+15（600﹣x）=9000+5x． （2）根据题意得：

，

解得：266≤x≤270，

∵x为整数，

∴x=267、268、269、270， 该酒厂共有4种生产方案：

①生产A种品牌的酒267瓶，B种品牌的酒333瓶； ②生产A种品牌的酒268瓶，B种品牌的酒332瓶； ③生产A种品牌的酒269瓶，B种品牌的酒331瓶； ④生产A种品牌的酒270瓶，B种品牌的酒330瓶；

∵每天获利y=9000+5x，y是关于x的一次函数，且随x的增大而增大， ∴当x=267时，y有最小值，y最小=9000+5×267=10335元．

26．（10分）（2016?无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，∠CDE=∠CAO，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB． （1）求AC的长和点D的坐标； （2）证明：△AEF∽△DCE；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

【解答】解：（1）由题意tan∠ACB=， ∴cos∠ACB=，

∵四边形ABCO为矩形，AB=16，

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∴BC==12，AC==20，

∴A（﹣12，0），

∵点D与点A关于y轴对称， ∴D（12，0）；

（2）∵点D与点A关于y轴对称， ∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO， ∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE， ∴∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当CE=EF时， ∵△AEF∽△DCE， ∴△AEF≌△DCE， ∴AE=CD=20，

∴OE=AE﹣OA=20﹣12=8， ∴E（8，0）；

②当EF=FC时，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∴CE=2ME=2EF?cos∠CEF=2EF?cos∠ACB=EF， ∵△AEF∽△DCE， ∴

=

，即

=

，

∴AE=，

﹣12=

，

∴DE=AE﹣OA=∴E（

，0）；

③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=CAO，即此时点E与点D重合，这与已知条件矛盾，

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综上所述，E（8，0）或（

，0）．

27．（10分）（2016?无锡一模）已知抛物线y=x+bx+c与x轴交与A、B两点（A点在B点左

侧），与y轴交与点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交与点D． （1）求抛物线的函数关系式．

（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于点M、N（M点在N点左侧），且MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径．

（3）若点M在第三象限，记MN与y轴的交点为点F，点C关于点F的对称点为点E． ①当线段MN=AB时，求tan∠CED的值；

②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点M的坐标．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y=x+bx+c与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴c=﹣3， 对称轴为直线x=﹣∴b=﹣2，

∴抛物线的函数关系式y=x﹣2x﹣3；

（2）设圆的半径为r，则直径MN=2r，

①当直线MN在x轴上方时，点N的坐标为（r+1，r），

2

代入抛物线解析式得，（r+1）﹣2（r+1）﹣3=r，

2

整理得，r﹣r﹣4=0， 解得r1=

，r2=

（舍去）；

2

2

2

=1，

②当直线MN在x轴下方时，（r+1）﹣2（r+1）﹣3=﹣r，

2

整理得，r+r﹣4=0， 解得r3=

，r4=

或

2

（舍去），

；

所以该圆的半径为

（3）①令y=0，则x﹣2x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3， ∴点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣（﹣1）=4，

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∵MN=AB， ∴MN=×4=3，

根据二次函数的对称性，点N的横坐标为1+=， 代入二次函数解析式得，y=（）﹣2×﹣3=﹣， ∴点N的坐标为（，﹣）， 点F的纵坐标为﹣，

∵点C关于点F的对称点为E，﹣×2﹣（﹣3）=﹣， ∴点E的坐标为（0，﹣），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）， 则解得

， ，

2

∴直线BC的解析式为y=x﹣3， x=1时，y=1﹣3=﹣2，

∴点D的坐标为（1，﹣2）， tan∠CED=

=；

②∵直线BC的解析式为y=x﹣3， ∴∠BCO=45°，

若∠CDE=90°，则△CDE是等腰直角三角形， ∴点F与点D纵坐标相同，为﹣2， ∴点M的纵坐标为﹣2，

22

代入二次函数y=x﹣2x﹣3得，x﹣2x﹣3=﹣2，

2

整理得，x﹣2x﹣1=0， 解得x1=1﹣，x2=1+， ∵点M在第三象限，

∴点M的坐标为M（1﹣，﹣2）；

若∠CED=90°，则点E与点D的纵坐标相同，为﹣2， ∵点C关于点F的对称点为E， ∴点F的纵坐标为∴点M的纵坐标为﹣，

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=﹣，

代入二次函数y=x﹣2x﹣3得，x﹣2x﹣3=﹣， 整理得，2x﹣4x﹣1=0， 解得x1=1+

，x2=1﹣

，

2

22

∵点M在第三象限， ∴点M的坐标为M（1﹣

，﹣），

，﹣2）或（1﹣

，﹣）．

综上所述，点M的坐标为（1﹣

28．（10分）（2016?无锡一模）如图①，将?ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被?ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

（1）填空：点C的坐标为 （3，0） ；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？ B ；（填“B”或“D”） （2）点B的坐标为 （﹣2，0） ，n= 4 ，a=

；

（3）在平移过程中，求该直线扫过?ABCD的面积y与t的函数关系式． 【解答】解：（1）令y=0，则 x﹣6=0，解得x=8， 令x=0，则y=﹣6， ∴点M（8，0），N（0，﹣6） ∴OM=8，ON=6，

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由图2可知5秒后直线经过点C， ∴CM=5，OC=OM﹣CM=8﹣5=3， ∴C（3，0），

∵10秒～a秒被截线段长度不变， ∴先经过点B； 故填：（3，0）；B

（2）由图2可知BM=10， ∴OB=BM﹣OM=10﹣8=2， ∴B（﹣2，0）， 在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD=∴BC=CD=5，

∴?ABCD是菱形， ∵

，

=5，

∴MN⊥CD， ∴n=DO=4

∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度， 平移后的直线解析式为y= （x+t）﹣6， 把点D（0，4）代入得，（0+t）﹣6=4， 解得t=∴a=

， ；

；

故答案为：（1）（3，0），B；（2）（﹣2，0），4，

（3）当0≤t≤5时，y=0； 当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC=t﹣5， ∵直线CD的解析式为：y=﹣x+4， ∴EF⊥CD，

∴△CEF∽△COD， ∴∴∴EF=

， ， ，CE=

，

∴y=××==t﹣12t+30，

2

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当10＜t≤，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB=t﹣10，

∵△BGF∽△COD， ∴∴FG=

，BG=

，

y=S△CEF﹣S△BGF=当

﹣=（10t﹣75）=12t﹣90， ，AG=5﹣

，

时，如图3，BG=

∵△EAG∽△DCO， ∵

=

，

），

）××（5﹣

）=

，

∴DG=×（5﹣∴y=20﹣当t≥

（5﹣

时y=20．

综上所述：

y=．

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第25页（共25页）

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