毕业论文 - 基于MATLAB的李萨如图形研究

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目录

1.引言 ................................................................................................................................ 1 2.李萨如图形的物理模型 ................................................................................................ 2 2.1李萨如图形的形成原理 ......................................................................................... 2 2.2两列完全相同的正弦波合成的李萨如图形 ......................................................... 3 2.3李萨如图形的闭合性以及周期性解释 ................................................................. 4 2.4李萨如图形中振子的能量 ..................................................................................... 4 3.MATLAB模拟李萨如图形 ......................................................................................... 6 3.1 MATLAB软件的简单介绍 ................................................................................... 6 3.2 MATLAB模拟两列正弦波合成李萨如图形 ....................................................... 6 3.2.1物理建模 .......................................................................................................... 6 3.2.2程序设计 .......................................................................................................... 6 3.2.3 规律分析以及现象说明 ................................................................................. 9 3.3 广义李萨如图形的合成 ........................................................................................ 9 3.3.1单一方向上信号振幅衰减对李萨如图形的影响 .......................................... 9 3.3.2单一方向上信号频率衰减对李萨如图形的影响 ........................................ 10 3.3.3信号衰减对振子能量的影响 ........................................................................ 12 4.广义李萨如图形在界面设计工具箱中的模拟 .......................................................... 14 4.1 用户界面介绍 ...................................................................................................... 14 4.2 部分主要代码 ...................................................................................................... 15 4.3 操作和程序代码的说明 ...................................................................................... 17 4.4 simulink合成李萨如图形 .................................................................................... 19 结束语 ............................................................................................................................. 20 参考文献 ......................................................................................................................... 20

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基于MATLAB的李萨如图形研究

摘要：质点在相互垂直的分振动频率比成有理数的情况下，合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样与分振动的频率、初相位有关，得出的图形叫李萨如图形。通过MATLAB软件可以绘制李萨如图形，由花样特征以及能量可以判断出信号强度、振幅的衰减。利用MATLAB自带的guide工具箱，设计出了李萨如图形绘制平台，并可以同时绘制含三角波、方波的广义李萨如图形。 关键词：Matlab；李萨如图形；波动 abstract: .

keywords: Matlab； Lissajous figures；Wave

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1.引言

质点在相互垂直的分振动频率比成有理数的情况下，合成振动轨迹为稳定的曲线，曲线的花样与分振动的频率、初相位有关，得出的图形叫李萨如图形（Lissajous figures）[1-3]。法国科学家李萨如最初通过音叉的振动得到李萨如图形。由于李萨如图形的花样与振动频率有关，因此可以通过李萨如图形的花样判断二分振动的频率比，如果知道某一分振动的频率，则由已知频率可测量未知频率，这在光学测量[4]、电学测量[5]、核磁共振[10]技术中占有重要的地位，可以达到很高的精度。电学测量中，我们使用示波器得到李萨如图形，并根据边缘切点的数量比得到待测信号和基准信号的频率比，并由此得出待测信号的频率。

但是在实际的理论研究中，我们希望得到各种频率的花样，甚至得到非理想正弦波情况下的李萨如图形，即广义的李萨如图形[6]。这样的情况下，由于实验设备本身的电漂，温漂，显示图像不稳定，实验不易成功，而且信号的强度、频率都不容易控制，为了方便教学研究，许多教学工作者通过FLASH等软件制作了动画，以便学生能够直观地认识李萨如图形的形成过程以及花样特点，但是对于非正弦型的波动无法合成，这种情况下，用计算机模拟实验就不失为一种简单高效的方法[7]。MATLAB R2010a软件作为模拟仿真实验工具，可以全面、系统地绘制、分析各种李萨如图形。利用MATLAB R2012a的用户界面设计工具箱guide，设计出了界面简单、功能比较全面的模拟仿真平台，用一种更为高效的手段研究李萨如图形的特点。

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2.李萨如图形的物理模型

在漆安慎的力学教材[2]中，李萨如图形是在波动的章节里介绍了李萨如图形，通过李萨如图形来加深对波动叠加的理解。要得到李萨如图形，机械装置一般选择摆，但是操作难度较大，所以大多情况下，选择示波器来演示李萨如图形。不论选择哪种方式，都是通过两列正弦波（或余弦波）的合成来演示李萨如图形。对于不太复杂的图形，在数学上可以通过参数方程来定义。

图2.1 示波器、计算机绘制、激光演示得到的李萨如图形

2.1李萨如图形的形成原理

假定有一质点独立地参与了两个相互垂直方向的振动，不考虑其势能，并且

在每个方向上满足简谐振动的条件。在两个方向上分别满足如下振动形式

在x方向上

····························································（·2-1）

在y方向上

····························································（·2-2）

我们用两个向量表示x、y方向上质点的振动，如图1所示，两个随时间旋转的向量末端在坐标内确定的点p的轨迹就是李萨如图形。

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X

2.2两列完全相同的正弦波合成的李萨如图形

在李萨如图形的研究中，两列完全相同的正弦波的合成，往往能得到稳定而易于分析的图形花样，而且在理论推导上也具有简明的特点，易于我们做理论分析和实验模拟，在许多版本的力学教材中，也是以两列完全相同的正弦波合成为例，介绍了李萨如图形的花样，以及根据花样确定频率比，相位差等。下面我们以此为例，介绍李萨如图形的方程以及推导过程。假定有一质点独立地参与了两个相互垂直方向上的振动，并且分别满足简谐振动规律。

质点在x方向的位移随时间的变化

································································（2-3）

质点在y方向的位移随时间的变化

·································································（2-4）

式（2-3）（2-4）展开以后并适当变形得到

··················································（2-5） ·················································（2-6）

得到

············································（·2-7）

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得到

·········································（2-8）

式（2-7）平方与式（2-8）平方相加

······································（·2-9）

分析得到如下结果

当

的值为

时，合成的轨迹为长轴为A

（或B），短轴为B（或A）的椭圆，如果A、B相等，则为圆形。

当

率为

。

的值为

时，合成的轨迹为一条线段，斜

备注：此方程的得出，是两个方向的振动频率比为1:1的情况，不具有普遍性[10]

2.3李萨如图形的闭合性以及周期性解释

从质点振动的式（2-1）、式（2-2），我们可以看出，x、y两个方向上，质点的振动都是周期性的，其合成的结果也必定是周期性的。在x方向上，质点的运动周期为

，在y方向上，质点的运动周期

。也就是说，x方向上，

每经过时间质点回到原点，y

方向上，每经过的时间质点回到原点。每经过和的最小公倍数T，质点总能在两个方向上同时回到原点，进而进行下一个周期的循环。这样，质点的轨迹就会形成一条闭合的曲线，就是李萨如图形。

在式（2-9）的结果讨论中当成的轨迹为一条线段，斜率为上述解释。

的值为

时，合

。质点在这条直线上往复运动，同样可以适用

2.4李萨如图形中振子的能量

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我们考虑二维情况下振子的能量，振子的质量设为m，振子所在平面为0势能面。

x、y方向上振子的振动

·································································（·2-5）

·································································（·2-6）

x、y方向上振子的速度

···························································（2-7）

·····························································（·2-8）

则振子的动能

·······························································（·2-9）

一个振动周期内，振子的平均能量

······························································（2-10）

dt

拓展到三维的情况

···········································（2-1

0）

可见，不考虑势能的情况下，振子能量就是线性谐振子的动能。我们可以通过对振子动能的研究，得到振子动力学行为，同时，在广义的李萨如图形中，对振子能量的研究，李萨如图形的衰减特性有很大的帮助。

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3.MATLAB模拟李萨如图形

3.1 MATLAB软件的简单介绍

MATLAB软件是一款强大的数据处理软件，向量化编程以及强大的作图功能为理论研究提供了重要的帮助。MATLAB在科学计算、建模仿真、实时控制等领域日益发挥着不可或缺的作用。

利用MATLAB的计算机语言进行模拟分析，需要首先建立明确的物理模型，写出相应的方程，然后给出参数并编写程序，经过计算才能最终得到可视化的物理结果。

3.2 MATLAB模拟两列正弦波合成李萨如图形

诸多版本的教材中仍然以正弦波或者与余弦波的合成来介绍李萨如图形，因为简谐振动是物理模型中振动的常见振动形式。在示波器演示李萨如图形的实验中，正是以生活中常见的正弦交流电为基本的模型进行演示，得到对称性非常强的花样。

首先从比较简单的正弦波进行模拟，也能够在原理上深入理解李萨如图形的合成，也能对MATLAB的模拟过程有初步的认识，方便对广义上的李萨如合成的继续研究。 3.2.1物理建模

由式（2-1）、式（2-2）可知，质点独立参与了x、y两个方向上的简谐振动，因此，只需要将x方向上振动的位移作为横坐标，以相同时刻y方向上的位移作为纵坐标，在图形窗口绘制图形，就可以得到李萨如图形。 3.2.2程序设计

程序一的设计考虑率了李萨如图形的实际应用。李萨如图形最初是用来测量音叉的频率，而测量音叉的频率需要一个波形单一而且频率已知的标准音叉，进而通过波形来判断待测音叉与标准音叉的频率比，最后进过相应的计算就能得到待测音叉的频率。

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程序一：

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程序二的设计考虑了教学工作中对于李萨如图形多样化的需求，两列频率互质的振动，合成的李萨如图形在复杂程度上远远超过程序一中的图形，而示波器也由于工作机制的原因难以调制出理想的波形。

程序二：

%程序名称：lsr_2

%程序：两列正弦波合成李萨如图形（m:n型） t=[0:0.001:10]; Ax=1;Ay=1; wx=1;wy=1; phix=0;k=0;p=0; x=Ax*sin(wx*t+phix);

%以下为x轴信号圆频率为2、3、4；y轴信号分别为1、2、3、4、5； figure for i=1:2:9 for j=2:2:10

x=Ax*sin(wx*i*t);

y=Ay*sin(wy*j*t+(j-1)*pi/4); p=p+1; subplot(5,5,p) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(111),y(111),'r*') axis([-1 1 -1 1]) axis equal end end

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3.2.3 规律分析以及现象说明

（1）质点在x、y方向振动的频率比就是李萨如图形的y、x边缘的极值点之比。但是有些图中的极值点并不是那么容易确定。通过仔细观察，发现如果沿着x、y方向各做一条直线，使直线尽可能与图形相交，那么，两条直线的与图形的交点数之比也是两个方向上的频率比。

（2）频率比确定的情况下，图形关于相位差为对称。

（3）花样是闭合的，图中出现的非闭合曲线，实际上是轨迹重叠所致。

3.3 广义李萨如图形的合成

当质点在一个方向上是标准的正弦周期性振动，但另一个方向不再是标准正弦周期性振动时，合成的图形不再是规律的花样，但是从MATLAB的模拟中，我们仍然能找到其中遵循的规律。在一些动力系统的稳定性实时监测过程中，正是基于对李萨如图形的监测来判断系统是否处在平衡中，为进一步的系统调整提供参考。

3.3.1单一方向上信号振幅衰减对李萨如图形的影响

⑴ 程序设计

%程序名称：lsr_3

%程序内容：单一方向信号强度衰减对李萨如图形的影响 clear all clc

t=[0:0.02:50]; Ax=1;

Ay=[1:-0.0004:0]; wx=1; wy=1; phix=0;

x=Ax*sin(wx*t+phix); for i=1:5

y=Ay.*sin(wy*t+(i-1)*pi/4); subplot(5,3,1+(i-1)*3) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(11),y(11),'r*')

axis([-1 1 -1 1]) axis off

y=Ay(1)*exp([0:-0.0004:-1]).*sin(wy*t+(i-1)*pi/4);

subplot(5,3,2+(i-1)*3) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(11),y(11),'r*') axis([-1 1 -1 1]) axis off

y=Ay(1)*sin(wy*t+(i-1)*pi/4); subplot(5,3,3+(i-1)*3) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(11),y(11),'r*') axis([-1 1 -1 1]) axis equal end

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⑵ 运行结果

⑶ 结果分析

在振幅线性衰减过程中，y方向上的振幅由1衰减到0，可以看出，y方向上的振动逐渐减弱，最终只有x方向上的周期性振动；在振幅指数衰减过程中，y方向上的振幅由1衰减到

，可以看出，图形开始还能与未衰减的情况保持

一致，但是随着时间的推移，y方向的振幅也逐渐减弱，而且振幅的衰减的速度是越来越慢，最后形成几乎闭合的曲线；花样是非闭合的，关于3.3.2单一方向上信号频率衰减对李萨如图形的影响

⑴ 程序设计

%程序名称：lsr_4

%程序内容：单一方向信号频率衰减对李萨如图形的影响

clear all close all t=[0:0.01:20];

对称。

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Ax=1; Ay=1; wx=1;

wy=0.5*[2:-0.001:0];%频率线性衰减 wy1=1*exp(0.05*[0:-0.001:-2]);%频率指数衰减 phix=0;

x=Ax*sin(wx*t+phix); for i=1:5

y=Ay*sin(wy.*t+(i-1)*pi/4);%线性衰减第一列 subplot(5,3,1+(i-1)*3) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(11),y(11),'r*') axis equal axis off

y=Ay*sin(wy1.*t+(i-1)*pi/4);%指数衰减第二列

subplot(5,3,2+(i-1)*3) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(11),y(11),'r*') axis equal axis off

y=Ay*sin(wy(1)*t+(i-1)*pi/4);%无衰减第三列 subplot(5,3,3+(i-1)*3) plot(x,y) hold on

plot(x(1),y(1),'g+',x(11),y(11),'r*') axis equal axis off end

⑵ 运行结果

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⑶ 结果分析

在频率线性衰减过程中，由于衰减较快，图形仅在初期与标准图形相似，很快陷入混乱状态；在频率指数衰减过程中，在初期以及末期，图形与标准图形有一定的相似性；花样是非闭合的，关于3.3.3信号衰减对振子能量的影响

对于一个一般情况下的振子，质量为m，振幅A，圆频率ω，都是时间t的函数，其在x、y方向的振动方程为：

··························································（·3-1）

··························································（·3-2）

x、y方向上速度为：

······················（3-3）

·····················（·3-4）

合速度为：

·····································································（3-5）

振子的瞬时能量为：

·······························································（3-6）

在此理论基础下，我们对3.3.1和3.3.2的运行结果进行了计算，并画出了相应的能量变化曲线（没有考虑相位差）：

对称。

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-4

T

t

图3.1振子振幅的不同衰减模式对振子能量的影响，蓝色区域是未衰减的方向上振子的动能，振幅的衰减导致了振子能量的峰值的不断衰减，可以看出，只要某个方向上能量在衰减，最

终振子的能量会集中在另一个方向上，从而得知，当两个方向上的振动能量之比接近于0或者无限大时，振子的振动为简谐振动。程序名称：lsr_3e.m

-4

T

t

图3.2振子频率的不同衰减模式对振子能量的影响，蓝色区域是未衰减的方向上振子的动能，振子频率的衰减导致振子能量的降低，但是与振幅衰减不同，频率的指数衰减导致能量的逐步降低，但是线性衰减的程中确实在中间时刻出现能量的最小值（频率还未到0），而能量在初末状态时比较大。程序名称lsr_4e.m

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4.广义李萨如图形在界面设计工具箱中的模拟

为了研究更为简单，设计一种简单的用户界面十分必要，可以使研究者从冗长的代码以及不断地调试中解脱出来，专心于研究，因此，利用MATLAB自带的用户界面设计工具箱guide设计了用户界面（给出主要代码）。

4.1 用户界面介绍

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图形显示区 运行控制区 模式选择区 参数设置区

图4.1 GUI设计的李萨如图形绘制平台运行窗口

图形显示区：显示绘制的图形，也能显示李萨如图形的形成过程，通过菜单栏的视角工具，能够从不同方向角观察李萨如图形。

运行控制区：运行或者暂停运行。

模式选择区：设置运行时间；选择平面/立体模式；作图/彗星轨迹绘制方式。 参数设置区：设置振幅、圆频率、初相位、振幅衰减、频率衰减等特征参数；选择正弦波/三角波/方波；设置三角波宽度、方波占空比；选择振幅无衰减/指数衰减/线性衰减；选择圆频率无衰减/指数衰减/线性衰减；

4.2 部分主要代码

程序名称：lsr_xyz

程序内容：lsr_guide中的主要代码 %------基本参数设置（x方向）--- Ax=get(handles.slider1,'value');%振幅 wx=get(handles.slider2,'value');%频率 phix=2*pi*get(handles.slider3,'value'); %初相 Axs=get(handles.slider4,'value');%线性衰减率或者指数衰减特征参数

wxs=get(handles.slider5,'value');%线性衰减率或者指数衰减特征参数

widthx=str2double(get(handles.edit17,'String'));%x方向的三角波宽度

dutyx=str2double(get(handles.edit18,'String'));%x方向矩形波占空比

%------基本参数设置（y方向）-------------

Ay=get(handles.slider6,'value');

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wy=get(handles.slider7,'value'); phiy=2*pi*get(handles.slider8,'value'); Ays=get(handles.slider9,'value'); wys=get(handles.slider10,'value');

widthy=str2double(get(handles.edit19,'String'));%y方向的三角波宽度

dutyy=str2double(get(handles.edit20,'String'));%y方向矩形波占空比

%------基本参数设置（z方向）------------- Az=get(handles.slider11,'value'); wz=get(handles.slider12,'value'); phiz=2*pi*get(handles.slider13,'value'); Azs=get(handles.slider14,'value'); wzs=get(handles.slider15,'value');

widthz=str2double(get(handles.edit21,'String'));%z方向的三角波宽度

dutyz=str2double(get(handles.edit22,'String'));%z方向矩形波占空比

%------时间参数设置-------------------------- T=get(handles.slider16,'value');%运行时间 t=0:0.02:T;%运行时间增加矩阵

tt=(1/T)*[T:-0.02:0]; %运行时间减少矩阵 %x，y，z方向上振幅、圆频率衰减模式 popup_sel_index2= get(handles.popupmenu2, 'Value');%x方向振幅衰减模式 switch popup_sel_index2 case 1 Ax=Ax; case 2

Ax=Ax*Axs*tt; case 3

Ax=Ax*exp(-t*0.1*Axs); end

popup_sel_index3= get(handles.popupmenu3, 'Value');%x方向圆频率衰减模式 switch popup_sel_index3 case 1 wx=wx; case 2

wx=wx*wxs*tt; case 3

wx=wx*exp(-t*0.1*wxs); end

popup_sel_index5= get(handles.popupmenu5,

'Value');%y方向振幅衰减模式 switch popup_sel_index5 case 1 Ay=Ay; case 2

Ay=Ay*Ays*tt; case 3

Ay=Ay*exp(-t*0.1*Ays); end

popup_sel_index6= get(handles.popupmenu6, 'Value');%y方向圆频率衰减模式 switch popup_sel_index6 case 1 wy=wy; case 2

wy=wy*wys*tt; case 3

wy=wy*exp(-t*0.1*wys); end

popup_sel_index8= get(handles.popupmenu8, 'Value');%z方向振幅衰减模式 switch popup_sel_index8 case 1 Az=Az; case 2

Az=Az*Azs*tt; case 3

Az=Az*exp(-t*0.1*Azs); end

popup_sel_index9= get(handles.popupmenu9, 'Value');%z方向圆频率衰减模式 switch popup_sel_index9 case 1 wz=wz; case 2

wz=wz*wzs*tt; case 3

wz=wz*exp(-t*0.1*wzs); end

%============================= %---------------模型选择模式----------------- popup_sel_index1= get(handles.popupmenu1, 'Value');%选择x方向波形模式 switch popup_sel_index1

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case 1

x=Ax.*sin(wx.*t+phix); case 2

x=Ax.*sawtooth(wx.*t,widthx); case 3

x=Ax.*square(wx.*t,dutyx); end

popup_sel_index4= get(handles.popupmenu4, 'Value');%选择y方向波形模式 switch popup_sel_index4 case 1

y=Ay.*sin(wy.*t+phiy);%正弦波 case 2

y=Ay.*sawtooth(wy.*t,widthy); case 3

y=Ay.*square(wy.*t,dutyy); end

popup_sel_index7= get(handles.popupmenu7, 'Value');%选择z方向波形模式 switch popup_sel_index7 case 1

z=Az.*sin(wz.*t+phiz);%正弦波 case 2

z=Az.*sawtooth(wz.*t,widthz); case 3

z=Az.*square(wz.*t,dutyz); end

%============================= %-------------运行模式的选择---------------- popup_sel_index10= get(handles.popupmenu10, 'Value');%平面/立体模式

popup_sel_index11= get(handles.popupmenu11, 'Value');

if popup_sel_index10 == 1 switch popup_sel_index11 case 1

axes(handles.axes1); plot(x,y) case 2 comet(x,y) end

elseif popup_sel_index10 == 2 switch popup_sel_index11 case 1

axes(handles.axes1); plot3(x,y,z) box on case 2

comet3(x,y,z) box on end end

4.3 操作和程序代码的说明

程序设计的说明：由于考虑了振幅和频率的衰减，因此，振动的规律必然要发生变化，下面给出程序中信号衰减时的振动方程（以y方向上的衰减为例，x，z方向遵循同样的规律）。

1.y方向上振幅线性衰减

2.y方向上振幅指数衰减

3.y方向上频率线性衰减

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4.y方向上频率指数衰减

5.y方向上三种波形模式

Sawtooth Wave Draw by Matlab

y

-10

-8-6-4-2

0t

246810

图4.2 sawtooth函数绘制的锯齿波

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Square Wave Draw by Matlab

y

-10

-8

-6

-4

-2

0t

2

4

6

8

10

图4.3 square函数绘制的矩形波

运行程序的说明：程序有两种运行方式，plot和comet，分别是绘图和彗星轨迹绘图，plot可以直观展示李萨如图形，comet可以直观地看到李萨如图形的形成过程。运行时间决定了程序的运行时间，运行时间过短会导致图形的不完整，过长消耗时间，运行时间的大小需要根据所设定的参数来决定。

4.4 simulink合成李萨如图形

作为matlab中的另一个模块，simulink也提供了一种更为简单的方式来模拟李萨如图形，这在工科类的研究中经常见到。在此给出一个基本的框架，利用自带的封装模块，通过连线使各个模块之间联系起来，来实现自己想要的结果。

图4.1的模型是有两个正弦波生成器，产生正弦信号之后，输入到模块XY Plot中，显示李萨如图形；生成的正弦信号，同时输入向量合成器中，然后再输入模块Scope中，显示两列正弦信号的波形。

通过上述过程，我们可以对正弦波设置不同的参数，通过模块XY Plot观察李萨如图形，通过模块Scope观察两列信号的波形，对李萨如图形的合成更加深入地理解。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dxue.html