高三数学培优《三角函数和解三角形》

高三数学培优《三角函数和解三角形》

1.已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 2、在?ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若a2?b2?2c2，则cosC的最小值为（ ） A. 32 B.

22 C.

12 D. ?12

3、把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

4、在△ABC中，若sin2A?sin2B?sin2C，则△ABC的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 5、 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE?1，连接EC、ED则

sin?CED?（ ） A

31010 B、1010515DC C、510 D、 EA?4B6、 将函数f(x)=sin?x（其中?>0）的图像向右平移

(3?4,0)，则?的最小值是（ ）

个单位长度，所得图像经过点

A B 1 C D 2

33157、当函数y?sinx?3cosx(0?x?2?)取得最大值时，x?___________.

8.已知??0，函数f(x)?sin(?x?

?4)在(?2,?)上单调递减.则?的取值范围是

1

9、在?ABC中，已知AB?AC?3BA?BC． （1）求证：tanB?3tanA； （2）若cosC?

10、已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，acosC?（1）求A （2）若a?2，?ABC的面积为3；求b,c.

3asinC?b?c?0

55，求A的值．

???????????????? 2

11、已知向量a?(co?sx?si?nx,?sixn，b?(?cos?x?sin?x,23cos?x)，设函数

1f(x)?a?b??(x?R)的图象关于直线x?π对称，其中?，?为常数，且??(,1).

2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）若y?f(x)的图象经过点(,0)，求函数f(x)在区间[0,4π3π5]上的取值范围.

12、函数f(x)?6cos2?x2?3cos?x?3(??0)在一个周期内的图象如图所示，A为图

象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且?ABC为正三角形。 （Ⅰ）求?的值及函数f(x)的值域； （Ⅱ）若f(x0)?

835，且x0?(?102,)，求f(x0?1)的值。 33 3

13 设函数f(x)?22cos(2x??42)?sinx。

（I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）设函数g(x)对任意x?R，有g(x?g(x)?12?时， )?g(x)，且当x?[0,]22??f(x)，求函数g(x)在[??,0]上的解析式。

4

高三数学培优4《三角函数和解三角形》参考答案 1、【解析】设最小边长为a，则另两边为

a?2a?4a2a?2a2222a,2a.所以最大角余弦

cos????24

12、由余弦定理知cosC?a?b?c2ab222a?b??2222ab(a?b)?22a?b4ab22?2ab4ab?12，

3、由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos（x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos（x-1)，利用特殊点???????,0?变为??1,0?，选A. ?2??2?24、根据正弦定理可知由sina?b?c2ab222A?sin2B?sin2C,可知a?b?c222，在三角形中

cosC??0，所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选A.

5、【解析】 EB?EA?AB?2，EC??4EB?BC22?4?1?5，

DCCE1555?EDC??EDA??ADC???2?3?4，由正弦定理得

sin?CEDsin?EDC???，

所以sin?CED?6函数向右平移数过点(3?455gsin?EDC?55gsin3?4?1010. ?4)?sin(?x??4得到函数g(x)?f(x?3?4??4)?sin?(x?3?4???4)，因为此时函

,0)，所以sin?(?4)?0，即?(?4)???2?k?,所以??2k,k?Z,

所以?的最小值为2，选D. 5?157、【答案】 8、[,]

624????????????????9、解：（1）∵AB?AC?3BA?BC，∴AB?AC?cosA=3BA?BC?cosBAC?cosA=?B3C。由正弦定理，得cB，即

ACsinB=BCsinA，∴sinB?cosA=3sinA?cosB。

sinA=3?即tanB?3tanA。 cosBcosA2 cosB>0。∴ 又∵00，sinB （2）∵ cosC?55，0

5

∴tan???2。 ????A?B????2，即tan?A?B???2。∴1?tanA?tanB由 （1） ，得

4ant1?3antA2tanA?tanBA解得tanA=1， tanA=???2，

13。 ∵cosA>0，∴tanA=1。∴A=?4。

10、（1）由正弦定理得：

acosC?3asinC?b?c?0?sinAcosC?3sinAsinC?sinB?sinC

?sinAcosC?3sinAsinC?sin(a?C)?sinC? ?3sinA?cosA?1?sin(A?30)????12

?A?30?30?A?60 （2）S?12bcsinA?3?bc?4,a?b?c?2bccosA?b?c?4 b=C=2

22211（Ⅰ）因为f(x)?sin2?x?cos2?x?23sin?x?cos?x??

??cos2?x?3sin2?x???2sin(2?x?π6)??.

π6由直线x?π是y?f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2?π?)??1， 所以2?π?1π6?kπ?π2(k?Z)，即??k2?1356(k?Z)．

又??(,1)，k?Z，所以k?1，故??2π. 所以f(x)的最小正周期是

6π5.

（Ⅱ）由y?f(x)的图象过点(,0)，得f()?0，

4π4即???2sin(?65π25?π6)??2sinπ4??2，即???2. 故f(x)?2sin(x?)?2，

36?π65x?π35π??15π?sin(?x?)?12636]5π由

?1?[?1?0?x?3π，

π6)?有

2?2?26得

2?2sin(2,2?53x?，故函数f(x)在[0,3π5上的取值范围为

2].

12、

6

13、【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。 【解析】f(x)?121222cos(2x??4)?sinx?212cos2x?12sin2x?12(1?cos2x)

??sin2x，

2?2??

12sin2x

（I）函数f(x)的最小正周期T?（2）当x?[0,当x?[??2?2]时，g(x)?12?f(x)?,0]时，(x??2)?[0,?2] g(x)?g(x??2)?12sin2(x?12?2)??12sin2x

当x?[??,??2)时，(x??)?[0,?2) g(x)?g(x??)?sin2(x??)?12sin2x

??1?sin2x(??x?0)??22得函数g(x)在[??,0]上的解析式为g(x)??。

1??sin2x(???x?)??22

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