2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 5.2.2 二次函数y=ax2+k,y=a(

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1 5.

2 二次函数的图像和性

质

第2课时 二次函数y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x ＋h )2

的图像和性质

知|识|目|标

1．经历比较同一坐标系中y ＝ax 2和y ＝ax 2＋k 的图像，探究并掌握它们之间的上下平

移规律．

2．通过观察课本“思考与探索”中的两个函数的图像，比较它们的异同，探究并掌握

二次函数y ＝ax 2＋k 的性质．

3．经历比较同一坐标系中y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2的图像，探究并掌握它们之间的左右

平移规律．

4．通过观察课本“思考与探索”中的两个函数的图像，比较它们的异同，探究并掌握

二次函数y ＝a (x ＋h )2的性质．

目标一 掌握二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图

像的平移规律

例1 教材“思考与探索”针对训练写出抛物线y ＝－14

x 2＋3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由抛物线y ＝－14

x 2通过怎样的平移得到的．

【归纳总结】 抛物线平移中的“变”与“不变”

抛物线平移后开口的大小和方向不变，即a 的值不变，上下平移后，其顶点的横坐标不

变，纵坐标发生变化．

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2 目标二 掌握二次函数y ＝ax 2

＋k 的性质

例2 教材补充例题已知函数y ＝x 2－2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围

是( )

A ．x ＜2

B ．x ＞0

C ．x ＞－2

D ．x ＜0

目标三 掌握二次函数y ＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2的

图像的平移规律

例3 教材练习第2题针对训练已知抛物线y ＝－23x 2，y ＝－23(x －4)2，y ＝－23

(x ＋4)2，列表比较它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，并总结它们平移的规律．

【归纳总结】 二次函数图像左右平移的“四字诀”

(1)左负右正：由抛物线y ＝ax 2平移得到抛物线y ＝a (x －h )2时符合h 左负右正(h >0，

向右平移，h <0，向左平移)．

(2)左正右负：由抛物线y ＝ax 2平移得到抛物线y ＝a (x ＋h )2时符合h 左正右负(h >0，

向左平移，h <0，向右平移)．

目标四 掌握二次函数y ＝a (x ＋h )2的图像和性质 例 4 教材补充例题已知二次函

数y ＝－12

(x －2)2. (1)画出函数图像，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；

(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？

知识点一 二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2

的图像的关系

1．二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图像的形状、开口方向________(填“相同”或“不

同”)，但顶点坐标________(填“相同”或“不同”)．

2．抛物线y ＝ax 2――→向上平移k 个单位长度抛物线y ＝ax 2＋k(k>0)；

抛物线y ＝ax 2――→向下平移k 个单位长度抛物线y ＝ax 2－k(k>0)． 口诀：上加下减．

[点拨] 对于二次项系数a 相同的两个二次函数的图像，可以只通过观察顶点的位置来

判断抛物线的平移情况．

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知识点三 二次函数y ＝a (x ＋h ) 与y ＝ax 的图

像的关系

1．二次函数y ＝a(x ＋h)2与y ＝ax 2

的图像的形状、开口方向________(填“相同”或“不同”)，但对称轴和顶点坐标________(填“相同”或“不同”)．

2．抛物线y ＝ax 2――→向右平移h 个单位长度抛物线y ＝a(x －h)2

(h>0)； 抛物线y ＝ax 2――→向左平移h 个单位长度抛物线y ＝a(x ＋h)2(h>0)．

口诀：左加右减．

知识点四 二次函数y ＝a (x ＋h )2

的图像和性质

已知拋物线y ＝－13x 2

＋2，当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是________．

某同学的解答如下：

当x ＝－1时，y ＝5

3

；当x ＝3时，y ＝－1，所以当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是－1

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4 ≤y ≤53

. 上述解答正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确的答案．

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详解详析

【目标突破】

例1 解：抛物线y ＝－14x 2

＋3开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，3)，它是由

抛物线y ＝－14

x 2

沿y 轴方向向上平移3个单位长度得到的．

例2 [解析] D ∵y ＝x 2

－2，

∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴， ∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小． 故选D .

将抛物线y ＝－23x 2向右平移4个单位长度得到抛物线y ＝－23(x －4)2

；

将抛物线y ＝－23x 2向左平移4个单位长度得到抛物线y ＝－23(x ＋4)2

.

例4 解：(1)二次函数y ＝－12

(x －2)2

的图像如图：

抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)． (2)当x ＜2时，y 随x 的增大而增大； 当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．

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6 【总结反思】

[小结] 知识点一 1.相同 不同

知识点二 向上 向下 (0，k) (0，k) y 轴

y 轴 减小 增大 增大 减小 k k

知识点三 1.相同 不同

知识点四 (－h ，0) (－h ，0) x ＝－h x ＝－h 上方 下方 上 下 减小 增大

增大 减小 －h 小 0 －h 大 0 小 大

[反思] 不正确，上述解答没有考虑二次函数图像的特点，在－1≤x ≤3的范围内包含

抛物线的顶点，因而y 的最大值就是抛物线顶点的纵坐标．

正解：由拋物线y ＝－13x 2＋2的二次项系数a ＝－13

＜0，得该抛物线开口向下，当x ＝0时，y 最大＝2；当x ＝－1时，y ＝53

；当x ＝3时，y ＝－1.所以当－1≤x ≤3时，y 的取值范围是－1≤y ≤2.

归纳·演绎： 解答这一类最值问题不能简单地把二次函数自变量取值范围的边界值代入函

数表达式求得的函数值直接作为结果，应根据给出的自变量的范围，找出所对应的图像部分，再结合二次函数的增减性，确定相应的二次函数的最值．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dxlm.html