《直线的方向向量与直线的向量方程》课堂导学

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三点剖析

一、直线的方向向量

【例1】 已知点A(1,3,0),B(2,4,3)以AB的方向为正向,建立数轴,试求点P,使得AP∶PB =1∶3.

思路分析：求点P,不妨先设P(x,y,z)再利用条件构造等式. 解：设P(x,y,z)， 由已知PB=3AP， ∴OB?OP=3(OP?OA)， ∴4OP=OB+3OA，

13OB+OA， 4413∴(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)

445133=(,,). 4445133∴x=,y=,z=,

4445133即点P(,,).

444OP=

温馨提示

求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解. 二、平行与垂直

【例2】已知三棱锥O—ABC中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC两两垂直，如何找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB？

思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.

解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).

由BD∥AC,DC∥AB?BD∥AC,DC∥AB,因此

?x??1,?(x,y?1,z)?k1(?1,0,2)???y?1, ??(?x,?y,2?z)?k2(?1,1,0)?z?2.?即D点的坐标为(-1,1,2).

温馨提示

将线(或线段)的关系转化为向量关系,再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键. 三、角和距离问题

【例3】 如下图,SA⊥面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC,求异面直线SC与AB所成角的余弦值.

思路分析:可先建立空间直角坐标系,利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化. 解:以点A为坐标原点,AC为y轴的正向建立空间直角坐标系. 设SA=AB=BC=a, 则B(

22a,a,0),C(0,2a,0),S(0,0,a) 2222a,a,0), 22那么AB=(

SC=(0,2a,-a).

由cos〈AB,SC〉

2a2a32?=. 3a?3a故SC与AB所成角的余弦值为

3. 3温馨提示

在求解有关角或距离的问题时,根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.

各个击破

类题演练 1

已知A(1,1,0),B(2,2,3),且BC=解析:设C(x,y,z).

1OA,求点C坐标. 41OA, 411得OC?OB=OA,OC=

4419∴(x,y,z)=(1,1,0)+(2,2,3)=(

44由BC=

OA+OB,

,

9,3), 4

∴C(

99,,3). 44变式提升 1

已知梯形ABCD中,AB∥CD,其中A(1,1,2),B(2,3,4),若C点(0,1,1),D点为(2,x,y),试求D点坐标.

解析:AB=(1,2,2),CD=(2,x-1,y-1), 则

2x?1y?1??. 122得x=5,y=5.

∴D点坐标为(2,5,5). 类题演练 2

已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=2， 确定P、Q的位置，使得QB1⊥PD1.

解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,设BP=t,

22得CQ=2?(2?t),DQ=2?2?(2?t)，

那么B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),

2Q(2?2?(2?t),2,0).

2从而QB1=(2?(2?t),-2,2),

PD1=(-2,2-t,2).

由QB1⊥PD1?QB1·PD1=0，

2即?22?(2?t)-2(2-t)+4=0?t=1.

故P、Q分别为BC、CD的中点时，QB1⊥PD1； 变式提升 2

棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点. 求证：EF⊥CF.

证明:建立空间直角坐标系O—xyz,

1111),F(,,0),G(1,1,),C(0,1,0), 222211111∴EF=(,,-),CF=(,-,0),

22222则D（0，0，0）,E(0,0,

∴EF·CF=

1111×+×(?)+0=0. 2222∴CF⊥EF.

类题演练 3

知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,求PO的中点M到△PBC的重心N的距离. 解：建立如右图所示的空间直角坐标系，则B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6）,由题意得M（0，0，3），N（0，

4，2）. 3

于是|MN|

=(0?0)?(?0)?(2?3) =

243225. 35. 3故M到△PBC的重心N的距离为

变式提升 3

正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点. (1)求EF与CG所成角的余弦; (2)求CE的长.

解析：建立空间直角坐标系，EF=（

1111，，-），CG=（1，0，），CE=（0，-1，22221）. 2(1)∵EF·CG=

1, 4|EF|=

35，|CG|=. 22∴cos〈EF,OG〉=

1435?22?15. 15(2)|CE|=

5. 2

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