南京玄武区外国语学校九年级上册期末精选试卷检测题

南京玄武区外国语学校九年级上册期末精选试卷检测题

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，直角坐标系xOy中，一次函数y kx b

=+的图象

1

l分别与x轴，y轴交于A，B 两点，点A坐标为()

9,0，正比例函数

1

2

y x

=的图象

2

l与

1

l交于点(),3

C m，点(),0

N n

在x轴上一个动点，过点N作x轴的垂线与直线1l和2l分别交于P、Q两点．

（1）求m的值及直线1l所对应的一次函数表达式；

（2）当03

PQ

<时，求n的取值范围；

（3）求出当n为何值时，PQC

?面积为12？

【答案】（1）6

m=；9

y x

=-+；（2）46

n<或68

n

<；（3）2

n=或10．【解析】

【分析】

（1）直接将点C代入正比例函数，可求得m的值，然后将点C和点A代入一次函数，可求得一次函数解析式；

（2）用含n的式子表示出PQ的长，然后解不等式即可；

（3）用含有n的式子表示出△PQC的底边长和高的长，然后求解算式即可得．

【详解】

（1）将点C(m，3)代入正比例函数

1

2

y x

=得：

3=

1

m

2

，解得：m=6

则点C(6，3)

∵A(9，0)

将点A，C代入一次函数y kx b

=+得：

09

36

k b

k b

=+

?

?

=+

?

解得：k=－1，b=9

∴一次函数解析式为：y=－x+9

（2）∵N(n ，0)

∴P(n ，9－n)，Q(n ，

12n ) ∴PQ=192

n n -- ∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --

≤ 解得：46n <或68n <

（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h

第（2）已知：PQ=139922n n n --

=- 由图形可知，h=6n -

∵△PQC 的面积为12

∴12=136922

n n -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()13692

2n n ??-- ??? 解得：n=2或n=10(舍) 情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=

()

136922n n ??-- ??? 解得：n=2(舍)或n=10

综上得：n=2或n=10．

【点睛】 本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．

2．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC ，AB ＝6cm ，BC ＝16cm ，动点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度向点O 运动，直到点O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，与点P 同时结束运动，出发 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；

（2）逆向发散:当运动时间为2s 时，P ，Q 两点的距离为多少？当运动时间为4s 时，P ，Q 两点的距离为多少？

（3）拓展应用：若点P 沿着AO→OC→CB 移动，点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点Q 从点C 移动到点B 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ 的面积为

12cm2？

【答案】（1

）8

5

s或

24

5

s（2）62cm；213cm（3）4s或6s

【解析】

【分析】

(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；

（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；

(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．

【详解】

解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，

由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，

∵点P和点Q之间的距离是10 cm，

∴62+（16﹣5t）2＝100，

解得t1=8

5

，t2=

24

5

，

∴t＝8

5s或

24

5

s.

故答案为8

5

s或

24

5

s

（2）t=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，∴四边形APEB是矩形，

∴PE＝AB＝6，BE＝6，

∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝16﹣6﹣4＝6，

根据勾股定理得

PQ=2262PE EQ +=,

∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；

当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ， ∴四边形APEB 是矩形，

∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4

∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，

根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,

P ，Q 两点的距离为213cm .

（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，

当点P 在AO 上时，S △POQ ＝

2PO CO ?＝(163)62t -?＝12， 解得t ＝4．

当点P 在OC 上时，S △POQ ＝

2PO CQ ?＝(316)22t t -?＝12， 解得t ＝6或﹣23

（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝

2PQ CO ?＝(2223)62

t t +-?＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），

综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．

【点睛】

此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．

3．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A 型销售数量（台）

B 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2 000

（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？

（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；

（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？

【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.

【解析】

解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据

题意得：

5102000,200, {{ 1052500.100. x y x

x y y

+==

+==

解得

答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，

∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，

∴100-m≥2m，

解得：m≤100

. 3

设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.

根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.

∵要使W最大，m需最大，

∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.

此时100﹣m=67.

答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.

（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：1

2

[300a+200(5-a)]≥200×3.

解得：a≥2.

∴至少要购买A型空气净化器2台.

4．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣

（2k+1）x+4（k﹣1

2

）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．

【答案】△ABC 的周长为10．

【解析】

【分析】

分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．

【详解】

当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ?

?-++-= ???

解得：52k =

当52

k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，

∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；

当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣

12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32

， ∴b +c ＝2k +1＝4．

∵b +c ＝4＝a ，

∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．

∴△ABC 的周长为10．

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．

①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；

②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣

32 ，154） 【解析】

试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；

②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0

{312a b c c b a

++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；

②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形

=12OB?OC+12AD?PD+12(PD+OC)?OD=11131+(3)(3)()222

x y y x ???+++-=333222

x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228

x -++， ∴当x=32-

时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P

（

3

2

-，15

4

）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

6．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．

（1）当y0＝﹣1时，求m的值．

（2）求y0的最大值．

（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围

是．

（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）

51

2

或﹣1；（2）

1

4

；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞

4

3

或

2

3

≤m＜1【解析】

【分析】

（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；

（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；

（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】

解：（1）如图1中，当m＞0时，

∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），

此时最底点P（m，﹣m2+m），

由题意﹣m2+m＝﹣1，

解得m＝

51

+

或

51

-+

（舍弃），

当m＝0时，显然不符合题意，

当m＜0时，如图2中，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），

此时最底点P是纵坐标为m，

∴m＝﹣1，

综上所述，满足条件的m的值为

51

2

或﹣1；

（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣

1

2

）2+

1

4

，∵﹣1＜0，

∴m＝

1

2

时，y0的最大值为

1

4

，

当m＝0时，y0＝0，

当m＜0时，y0＜0，

综上所述，y0的最大值为

1

4

；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，

当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，

∴m＝1或0（舍弃），

∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，

故答案为0＜x1＜1；

（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，

当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，

当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，

观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．

则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，

解得m＞

4

3

，

或﹣m≤2m﹣2＜0，

解得

2

3

≤m＜1（不合题意舍弃），

当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）

时，满足条件．

即或﹣m≤2m﹣2＜0，

解得

2

3

≤m＜1，

综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞

4

3

或

2

3

≤m＜1．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

7．二次函数2

2

(0)

63

m m

y x x m m

=-+>的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．

（1）当m=1时，求顶点P的坐标；

（2）若点Q（a，b）在二次函数2

2

(0)

63

m m

y x x m m

=-+>的图象上，且0

b m

->，试求a的取值范围；

（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．

①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．

【答案】（1）P （2，

13

）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．

【解析】

【分析】

（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =

-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；

（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；

②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．

【详解】

解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =

-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13

）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =

-+>的图象上， ∴2263

m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->， ∴

2263

m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263

a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，

∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；

（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，

∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =

-+， ∴顶点P （2，3

m ）， 当x=0时，y=m ，

∴点A （0，m ），

∴OA=m ；

设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，

把点A （0，m ），点P （2，3

m ）代入，得： 23

m b m k b =???=+??， 解得：3m k b m

?=-???=?，

∴直线AP 的解析式为y=3

m -

x+m ， 当y=0时，x=3，

∴点B （3，0）；

∴OB=3；

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，

且∠OAB+∠FAB =90°，

∴∠DAF=∠OAB ，

在△ADF 和△ABO 中，

DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴△ADF ≌△ABO （AAS ），

∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，

∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；

②由①同理可得：C （m+3，3），

∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，

∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3

22363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2

184m m m -≤，∴218(2)4m m

--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，

当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m

-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2

(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴2

1823m m m ++≥，即218(1)2m m

++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，

当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m

++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；

综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．

【点睛】

本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．

8．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6x (x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；

（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，

当t为何值时，∠BPD的度数最大？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(5

7

，0)，F(0，

5

3

)；（3）t=9﹣15

【解析】

【分析】

（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D点纵坐标是3．

∵D在y=6

x

上，

∴D(2，3)，

将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，

则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直线的解析式为y=﹣

7

3

x+

5

3

，

∴N(

5

7

，0)，F(0，

5

3

)；

（3）设P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=

3

2

t-

，tan∠PBO=

3

t

，

令y=tan∠BPD=

3

23

3

1

23

t t

t t

-

+

-

-

，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0时，

y=

1515

15

-+

-

舍)或y=

1515

15

+

，

∴t=

3

2

﹣

1

2

×

1

y

，

∴t

=9﹣215，

∴P (0，9﹣215)．

【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）△ANM 与ABD ?是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）

【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34

，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为

125． 【解析】

【分析】

（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，

QH=PQcos ∠PQH=

35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055

x x --+，即可求解． 【详解】

解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），

将点D 坐标代入上式并解得：14a =-

， 故函数的表达式为：2113442y x x =-

-+…①， 则点C （0，32

）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，

BD=，

①∠MAN=∠ABD 时，

（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，

直线AD 所在直线的k 值为34

，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4

y x =-

-，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34

，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，

同理可得：点N （-3，0），点M （0，32

）， 故点M （0，32）、点N （34

，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，

（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=

12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32

）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，

AD BD AM AN =

=， 解得：AN=94

， 故点N （14-，0）、M （-1，32

）； 故：点M （-1，

32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34

，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，

3

2

）、点N（-3，0）或N（

1

4

-，0）、M（-1，

3

2

）；

（3）如图所示，连接PH，

由题意得：tan∠PQH=

4

3

，则cos∠PQH=

3

5

，

则直线AD的表达式为：y=

33

42

x-，

设点P（x，2

113

442

x x

--+），则点Q（x，

33

42

x-），

则QH=PQcos∠PQH=

3

5

PQ=

3

5

2

113

(

442

x x

--+

33

)

42

x

-+

=2

339

2055

x x

--+

=2

312

(2)

205

x

-++，

∵

3

20

-<，

故QH有最大值，当x=2

-时，其最大值为

12

5

．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．

10．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．

如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．

如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．

（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积

为；

②若m＝1，点M，N ，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；

（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．

①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；

②当点M ，N ，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；

（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．

【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.

【解析】

【分析】

（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出

和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值

（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标

（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式

【详解】

解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）

则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18

故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；

②∵M（4,1），N（-2,3）∴，

又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24

∴此矩形的邻边长分别为6

，4

∴n=-1或5

（2）如图1，

①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，

结合图象可知：

②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，

分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，

点P的坐标为（，7）或（，-3）

（3

）如图2，y=+或y=+

【点睛】

此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键

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