2008年高中数学高考谈函数应用题

专题

2008年高考谈函数应用题

题目：某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？

分析：对于求最值的函数应用题，首先由题意列出合适的函数关系式，然后根据式子的特征，选用基本不等式或单调性法来求得最值。一定要注意自变量的取值范围。 解法一：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S (a 4)(b 2) ab 4b 2a 8 808 2(a 2b). 所以 S 808 42ab 648(m2).

当a 2b,即a 40(m),b 20(m)时,S最大值 648(m). 解法二：设温室的长为xm，则宽为

S (x 2)(

808 4(x

400x

2

2

800x

m，由已知得蔬菜的种植面积S为：

8

800x

4) 800 4x

1600

) 648(当且仅当x

x400x

即x=20时，取“＝”).

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 。

再题:某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+

12

n

)万元（n为正整数）。（1）设从今年起的前n年，若该企

业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？（2004年福建卷理）

分析：转化为数列求和及作差比较大小即可。对于函数y=x(x+1)- ∞）上，x(x+1)和-50

502

n

-10，在（0，+

都是增函数，所以y也是增函数，利用单调性可求得最值。 n2

解：（1）依题设，An=(500-20)+(500-40)+ +(500-20n)=490n-10n2；

12

Bn=500[(1+)+(1+

122

2

)+ +(1+

12

n

)]-600=500n-

5002

n

-100.

（2）Bn-An=(500n-2

500

n

-100)-(490n-10n2) -100=10[n(n+1)-

502

n

=10n+10n-

5002

502

nn

-10].

因为函数y=x(x+1)- -10在（0，+∞）上为增函数，

专题

当1≤n≤3时，n(n+1)- 当n≥4时，n(n+1)-

502

n

502

n

-10≤12-5016

508

-10<0；

-10≥20--10>0.

∴仅当n≥4时，Bn>An.

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dx41.html