数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角 含解析 精品

示范教案

整体设计

教学分析

在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．

已知角x的一个三角函数值求角x时，实际上就是解最简单的三角方程．由于三角函数不是从定义域R→值域[－1,1]上的一一映射，所以已知角x的一个三角函数值求角x时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出[0,2π]内对应的角；第四步，如果要求出[0,2π]以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．

如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．

三维目标

1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．

2．会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[0,2π]范围内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合．

3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题． 重点难点

教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角．

教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识． 课时安排 1课时

教学过程 导入新课

思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．

思路2.(类比引入)前面我们学习函数时知道，给定一个函数值必有一个或多个自变量的1

值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝，你怎样

2求出适合这个式子的x的值呢？在学生探究中引入新课．

推进新课 新知探究

已知正弦值，求角． 提出问题

?1?在函数y＝sinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多少个角和它对应？ ππ

?2?对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y?y∈[－1，1]?，那么，在[－，]上怎样表示x？

22活动：教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示，引导学生得出：在函数y＝sinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，如在[0,2π]上π3π22

有两个角和的正弦值都为，在R上有无穷多个角的正弦值为.但是，在y＝sinx的

4422πππ

单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间[－，]上，只有的正弦值

224等于

2

. 2

ππ

也就是说，正弦函数在区间[0,2π]上不具有单调性．但在[－，]上单调递增．所以在

22ππ

区间[－，]上，满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有且只有一个，而在[0,2π]上满足条件sinx

22＝a(－1≤a≤1)的x一般有两个．

ππ

一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[－，]上有唯

22一的x值和它对应．记为

ππ

x＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－≤x≤)，

22

ππ

即arcsiny(|y|≤1)表示[－，]上正弦等于y的那个角．这个角叫做y的反正弦．

22ππ

讨论结果：(1)有无穷多个；(2)表示为x＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－≤x≤)．

22

应用示例

例1(1)已知sinx＝(2)已知sinx＝(3)已知sinx＝解：由sinx＝2ππ

，且x∈[－，]，求x； 222

2

，且x∈[0,2π]，求x的取值集合； 2

2

，且x∈R，求x的取值集合． 2

2

知x的正弦值是个正值，所以x是第一象限或第二象限的角，如图1，2

π23π2由sin＝，sin＝

4242

可知：

图1

πππ

(1)在[－，]上，x＝；

224π3π

(2)在[0,2π]上，x＝或x＝；

44

π3π

(3)在R上符合条件的角是所有与终边相同的角和所有与终边相同的角．因此x的取

44值集合为

π3π

{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}∪{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}．

44

点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明，π23π22

在本例(1)中，＝arcsin，＝π－arcsin.那么本例(2)中的答案也可写成{arcsin，π－

42422arcsin

222

}．进一步体会－≤arcsina≤(其中－1≤a≤1)．同时强调，如果求得的角是特222

殊角，则最好用特殊角的弧度表示，如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x作为自变量，y是x的函数，记为y＝arcsinx.

1ππ1π

例如：如果sinx＝，x∈[－，]，则x＝arcsin＝；

22226如果sinx＝－

3ππ3π，x∈[－，]，则x＝arcsin(－)＝－； 22223

ππ

如果sinx＝0，x∈[－，]，则x＝arcsin0＝0；

22

ππ

如果sinx＝0.345 8，x∈[－，]，在不要求求出具体的x值时，其中的x可记作arcsin0.345

228，即x＝arcsin0.345 8. 变式训练 π3π 函数y＝sinx，x∈[，]的反函数为( ) 22A．y＝arcsinx，x∈[－1,1] B．y＝－arcsinx，x∈[－1,1] C．y＝π＋arcsinx，x∈[－1,1] D. y＝π－arcsinx，x∈[－1,1] π3πππ解析：因为x∈[，]，所以π－x∈[－，]，且sin(π－x)＝sinx， 2222

所以y＝sinx＝sin(π－x)的反函数是π－y＝arcsinx，即y＝π－arcsinx(x∈[－1,1])．故选D. 已知余弦值和正切值，求角． 提出问题

?1?你能类比反正弦函数的概念，给出反余弦、反正切函数的概念吗？

?2?arccosa?－1≤a≤1?、arctana的范围是多少？

活动：教师引导学生复习余弦函数、正切函数的图象和性质，得出函数y＝cosx在区间[0,2π)上，对y∈(－1,1)的任意一个值，有两个角x与之对应．如果考察自变量x在整个定义域(－∞，∞)上取值，那么对区间[－1,1]上的任意一个值y，有无穷多个x值与之对应，为了使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间[0，π]作为基本范围．在这个闭区间上，符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x＝arccosa，其中x∈[0，π]且a＝cosx.

同样，根据正切函数的图象和性质，为了使符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x有且ππ

只有一个，我们选择开区间(－，)作为基本的范围．在这个开区间内，符合条件tanx＝a(a∈R)

22ππ

的角x，叫做实数a的反正切，记作arctana，即x＝arctana，其中x∈(－，)，且a＝tanx.

22

讨论结果：(1)略．

ππ

(2)0≤arccosa≤π，－

22

应用示例

例2已知cosx＝－

2

，且x∈[0,2π)，求x的取值集合． 2

解：因为余弦函数值是负值，所以x是第二或第三象限的角(图2)．由 3ππ2cos＝－cos＝－

442

图2

3π可知，所求符合条件的第二象限的角x＝.

4ππ2

又由cos(＋π)＝－cos＝－

442

可知，在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角 π5π

x＝＋π＝. 44

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dwwx.html