高三北师大理科数学一轮复习课时作业数列求和
更新时间:2023-04-27 15:47:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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课时作业(三十) [第30讲 数列求和]
[时间:45分钟 分值:100分]
基础热身
1.[2011·海口调研] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 9=72,则a 2+a 4+a 9的值是( )
A .24
B .19
C .36
D .40
2.[2011·广州二模] 已知数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 10=( )
A .-55
B .-5
C .5
D .55
3.已知函数f (x )=x 2+bx 的图像在点A (1,f (1))处的切线的斜率为3,数列????
??1f (n )的前n 项和为S n ,则S 2 012的值为( )
A.2 0072 008
B.2 0102 011
C.2 0092 010
D.2 0122 013
4.已知函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x )=1-f (1-x ),则f (-2)+f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=________.
能力提升
5.[2011·阳泉一调] 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,令b n =1n
(a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )
A .70
B .75
C .80
D .85
6.[2011·海南省四校二模] 已知数列{a n }的通项公式a n =log 3n n +1
(n ∈N *),设其前n 项和为S n ,则使S n <-4成立的最小自然数n 等于( )
A .83
B .82
C .81
D .80
7.[2011·连云港模拟] 设a 1,a 2,…,a 50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a 1+a 2+…+a 50=9且(a 1+1)2+(a 2+1)2+…+(a 50+1)2=107,则a 1,a 2,…,a 50当中取零的项共有( )
A .11个
B .12个
C .15个
D .25个
8.[2011·安徽卷] 若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=
( )
A .15
B .12
C .-12
D .-15
9.设m ∈N *,log 2m 的整数部分用F (m )表示,则F (1)+F (2)+…+F (1024)的值是( )
A .8204
B .8192
C .9218
D .以上都不对
10.[2011·淮北联考] 对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项为2n ,则数列{a n }的前n 项和S n =________.
11.数列{a n }的通项公式为a n =1
n +n +1
,其前n 项之和为10,则在平面直角坐标系中,直线(n +1)x +y +n =0在y 轴上的截距为________.
12.已知数列{a n }的通项公式是a n =4n -2n ,其前n 项和为S n ,则数列????
??2n S n 的前n 项和T n =________.
13.已知函数f (x )=3x 2-2x ,数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)均在函数f (x )的图像上,b n =3a n a n +1
,T n 是数列{b n }的前n 项和,则使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 等于________.
14.(10分)[2011·厦门质检] 在等差数列{a n }中,a 2=4,其前n 项和S n 满足S n =n 2+λn (λ∈R ).
(1)求实数λ的值,并求数列{a n }的通项公式; (2)若数列????
??1S n +b n 是首项为λ、公比为2λ的等比数列,求数列{b n }的前n 项和T n .
15.(13分)[2011·新余二模] 已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=12
,且[3+(-1)n ]a n +2-2a n +2[(-1)n -1]=0,n ∈N *.
(1)求a 3,a 4,a 5,a 6的值及数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =a 2n -1·a 2n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .
难点突破
16.(12分)[2011·深圳一模] 设数列{a n }是公差为d 的等差数列,其前n 项和为S n .
(1)已知a 1=1,d =2, ①求当n ∈N *时,S n +64n
的最小值; ②当n ∈N *时,求证:2S 1S 3+3S 2S 4+…+n +1S n S n +2<516
; (2)是否存在实数a 1,使得对任意正整数n ,关于m 的不等式a m ≥n 的最小正整数解为3n -2?若存在,求a 1的取值范围;若不存在,请说明理由.
课时作业(三十)
【基础热身】
1.A [解析] S 9=9(a 1+a 9)2
=72,a 1+a 9=16,得a 5=8, 所以a 2+a 4+a 9=a 5-3d +a 5-d +a 5+4d =3a 5=24.
2.C [解析] 由a n =(-1)n (n +1),得
a 1+a 2+a 3+…+a 10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.
3.D [解析] 由题知f ′(x)=2x +b ,
∴f ′(1)=2+b =3,∴b =1,
∴f(n)=n 2+n ,∴1f (n )=1n (n +1)=1n -1n +1
, ∴S n =????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1=n n +1,
∴S 2012=20122013
. 4.3 [解析] 由条件可知f(x)+f(1-x)=1,
其中x +(1-x)=1,
∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1,
设M =f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3),
则M =f(3)+f(2)+f(1)+f(0)+f(-1)+f(-2),
两式相加,得2M =6,即M =3.
【能力提升】
5.B [解析] 由已知a n =2n +1,得a 1=3,a 1+a 2+…+a n =n (3+2n +1)2
=n(n +2), 则b n =n +2,T 10=10(3+12)2
=75. 6.C [解析] S n =log 31-log 32+log 32-log 33+…+log 3n -log 3(n +1)=-log 3(n +1)<-4,解得n>34-1=80.
7.A [解析] (a 1+1)2+(a 2+1)2+…+(a 50+1)2
=a 21+a 22+…+a 250+2(a 1+a 2+…+a 50
)+50=107, ∴a 21+a 22+…+a 250
=39, ∴a 1,a 2,…,a 50中取零的项应为50-39=11个.
8.A [解析] a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
9.A [解析] ∵F(m)为log 2m 的整数部分,
∴当2n ≤m ≤2n +1-1时,f(m)=n ,
∴F(1)+F(2)+…+F(1024)
=F(1)+[F(2)+F(3)]+[F(4)+F(5)+F(6)+F(7)]+…+F(1024)
=0+2×1+4×2+…+2k ×k +…+29×9+10.
设S =1×2+2×22+…+k ×2k +…+9×29,①
则2S =1×22+…+8×29+9×210,②
①-②得
-S =2+22+…+29-9×210=2(1-29)1-2
-9×210=210-2-9×210=-213-2, ∴S =213+2,∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=213+12=8204.
10.2n +1-2 [解析] ∵a n +1-a n =2n ,
∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1
=2n -1+2n -2+…+22+2+2
=2-2n
1-2
+2=2n -2+2=2n .
∴S n =2-2n +
11-2
=2n +1-2. 11.-120 [解析] 由已知,得a n =1
n +n +1=,故选A n +1-n ,则 S n =a 1+a 2+…+a n =(2-1)+(3-2)+…+(n +1-n)=n +1-1,
∴n +1-1=10,解得n =120,即直线方程化为121x +y +120=0,故直线在y 轴上的截距为-120.
12.3·2n -12n +1-1 [解析] 根据公式法S n =4(1-4n )1-4-2(1-2n )1-2=13(4n +1-3·2n +1+2)=13(2n +1-1)(2n +1-2)=23
(2n +1-1)(2n -1), 故2n S n =32·2n
(2n +1-1)(2n -1)
. 由于(2n +1-1)-(2n -1)=2n ,
所以2n S n =32·(2n +1-1)-(2n -1)(2n +1-1)(2n -1)
=32???
?12n -1-12n +1-1, 所以T n =32121-1-122-1+122-1-123-1+…+12n -1-12n +1-1=321-12n +1-1
=3·2n -12n +1-1
. 13.10 [解析] 由S n =3n 2-2n ,得a n =6n -5,
又∵b n =3a n a n +1=12????16n -5-16n +1, ∴T n =121-17+17-113+…+16n -5-16n +1=121-16n +1<12
, 要使12????1-16n +1<m 20
对所有n ∈N *成立, 只需m 20≥12
,∴m ≥10, 故符合条件的最小正整数m =10.
14.[解答] (1)∵a 2=S 2-S 1=(4+2λ)-(1+λ)=3+λ,
∴3+λ=4,∴λ=1.
∴a 1=S 1=2,d =a 2-a 1=2,
∴a n =2n .
(2)由已知,∵λ=1,∴1S n
+b n =1×2n -1=2n -1, ∴b n =2n -1-1n (n +1)=2n -1-????1n -1n +1, ∴T n =(1+21+22+…+2n -1)-????????1-12+????12-13+…+????1n -1n +1
=1-2n 1-2-????1-1n +1=(2n -1)-1+1n +1=2n -2n +1n +1
. 15.[解答] (1)由已知得a 3=3,a 4=14,a 5=5,a 6=18. 当n 为奇数时,a n +2=a n +2,则a n =n ;
当n 为偶数时,a n +2=12
a n , 则a n =a 2·????12n 2-1=????12n 2
.
因此,数列{a n }的通项公式为a n =????? n ,n =2k -1,????12n 2,n =2k .
(2)因为b n =a 2n -1·a 2n ,则
S n =1·12
+3·????122+5·????123+…+(2n -3)·????12n -1+(2n -1)·????12n , 12
S n =1·????122+3·????123+5·????124+…+(2n -3)·????12n +(2n -1)·????12n +1, 两式相减得
12S n =1·12+2122+…+12
n -(2n -1)·????12n +1 =12+2????14-????12n +11-12
-(2n -1)·????12n +1 =32
-(2n +3)????12n +1, ∴S n =3-(2n +3)·???
?12n . 【难点突破】
16.[解答] (1)①∵a 1=1,d =2,
∴S n =na 1+n (n -1)d 2
=n 2, S n +64n =n +64n ≥2n ×64n
=16, 当且仅当n =64n
,即n =8时,上式取等号, 故S n +64n
的最小值是16. ②证明:由①知S n =n 2,
当n ∈N *时,n +1S n S n +2=n +1n 2(n +2)2=14???
?1n 2-1(n +2)2, 2S 1S 3+3S 2S 4+…+n +1S n S n +2
=14????112-132+14????122-142+ (14)
???1n 2-1(n +2)2 =14112+122+…+1n 2-14132+142+…+1(n +1)2+1(n +2)2
=14???
?112+122-1(n +1)2-1(n +2)2, ∵1(n +1)2+1(n +2)2
>0, ∴2S 1S 3+3S 2S 4+…+n +1S n S n +2<14????112+122<516
. (2)对任意n ∈N *,关于m 的不等式a m =a 1+(m -1)d ≥n 的最小正整数解为c n =3n -2, 当n =1时,a 1+(c 1-1)d =a 1≥1;
当n ≥2时,恒有????? a 1+(c n -1)d ≥n ,a 1+(c n -2)d (3d -1)n +(a 1-3d )≥0,(3d -1)n +(a 1-4d )<0. 从而????? 3d -1≥0,(3d -1)×2+(a 1-3d )≥0,3d -1≤0,(3d -1)×2+(a 1-4d )<0,?d =13,1≤a 1<43 . 当d =13,1≤a 1<43 时, 对任意n ∈N *,且n ≥2时,当正整数m 有a 1+m -13 , 所以a 1+m -13 ?1,43.
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