电大经济数学基础期末复习指导小抄版（精）

经济数学基础

第一部分 微分学

一、单项选择题 1．函数

y?x的定义域是（

lg?x?1?x??1 且x?0）

f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(2x)的定义域是( (??,0] )．

223．下列各函数对中，（ f(x)?sinx?cosx，g(x)?1）中的两个函数相等．

11?1，则f(f(x))=（ 4．设f(x)? ）． x1?xx?1y?ln 5．下列函数中为奇函数的是（ ）．

x?1 6．下列函数中，（y?ln(x?1)不是基本初等函数．

2．若函数

7．下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的． 8. 当x 9. 已知

?0时，下列变量中（

1?2x ）是无穷大量． xf(x)?10．函数

x?1，当（x?0 ）时，f(x)为无穷小量. tanx?sinx,x?0? 在x = 0处连续，则k = ( 1)． f(x)??x??k,x?0?1,x?0 在x = 0处（右连续 ）． f(x)???1,x?0?1112．曲线y?在点（0, 1）处的切线斜率为（? ）．

2x?113. 曲线y?sinx在点(0, 0)处的切线方程为（y = x ）．

1114．若函数f()?x，则f?(x)=（2 ）．

xx15．若f(x)?xcosx，则f??(x)?（?2sinx?xcosx ）． 16．下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（e ）．

11. 函数

x17．下列结论正确的有（x0是f (x)的极值点 ）． 18. 设需求量q对价格p的函数为q(p)二、填空题

?3?2p，则需求弹性为E=（

p?p3?2p ）．

?x?2,?5?x?01．函数f(x)??2的定义域是 [-5，2]

x?1,0?x?2?12．函数f(x)?ln(x?5)?的定义域是(-5, 2 )

2?x223．若函数f(x?1)?x?2x?5，则f(x)?x?6

1324．设函数f(u)?u?1，u(x)?，则f(u(2))??

x410x?10?x5．设f(x)?，则函数的图形关于y轴对称．

26．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6

7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q – 0.25q

2

1

x?sinx? 1 .

x??xsinx9．已知f(x)?1?，当 x?0 时，f(x)为无穷小量．

x?x2?1x?1?10. 已知f(x)??x?1，若f(x)在(??,??)内连续，则a? 2 .

?ax?1?111. 函数f(x)?的间断点是x?0

1?ex112．函数f(x)?的连续区间是 (??,?1)，(?1,2)，(2,??)

(x?1)(x?2)8. limy?x在点(1,1)处的切线斜率是y?(1)?0.5

14．函数y = x + 1的单调增加区间为(0, +?) 15．已知f(x)?ln2x，则[f(2)]?= 0

13．曲线

2

16．函数y?3(x?1)2的驻点是x?1

p的函数为q(p)?100?e?p217．需求量q对价格

，则需求弹性为Ep??18．已知需求函数为q?202?p，其中p为价格，则需求弹性Ep = 33p 2p

p?10三、极限与微分计算题

1x2?3x?2(x?2)(x?1)x?1limlim1．解 lim= = =

x?2x?2(x?2)(x?2)x?2(x?2)4x2?4

x?1x?1= limx?1x2?3x?2x?1(x?1)(x?2)(x?1)11 =lim??

x?12(x?2)(x?1)2．解：limsin2x(x?1?1)sin2x=lim

x?0x?0x?1?1(x?1?1)(x?1?1)sin2x =lim(x?1?1)lim=2?2 = 4

x?0x?0x3．解 lim(x?3)(x?1)x2?4x?34．解 lim=lim

x?3sin(x?3)x?3sin(x?3)x?3?lim(x?1)= 2 = limx?3sin(x?3)x?35．解 limx?1tan(x?1)tan(x?1)?lim

x2?x?2x?1(x?2)(x?1)lim1tan(x?1)11?lim??1?

x?1x?2x?1x?1331125(?2)(3??2)(1?2x)5(3x2?x?2)xxx)

6．解 lim)=lim6x??x??13(x?1)(2x?3)(1?)(2?)6xx(?2)5?33?? =

226 ?

2

7．解：

y?(x)=(2x?xcosx?xsinx?cosx)?=2xln2?xx2ln2?

=28．解

xsinx?cosx

x21f?(x)?2xln2?sinx?2xcosx?

x9．解 因为

y??(52cosx)??52cosxln5(2cosx)???2sinx52cosxln5

所以 y?(π2)??2sinπ2cosπ 22?5ln5??2ln5

10．解 因为 y??2(lnx)?133(lnx)?

1 ?23x(lnx)?3?23x3lnx 所以 dy?23x3lnxdx

11．解 因为 y??esinx(sinx)??5cos4x(cosx)?

?esinxcosx?5cos4xsinx

所以 dy?(esinxcosx?5cos4xsinx)dx

12．解 因为 y??1(x3)??2?xcos2x3ln2(?x)? ?3x2cos2x3?2?xln2 所以 dy?(3x2cosx3?2?x2ln2)dx 13．解 y?(x)??sin2x(2x)??cosx2(x2)?

??2xsin2xln2?2xcosx2

14．解：

y?(x)?3ln2x(lnx)??e?5x(?5x)?

?3ln2xx?5e?5x 15．解 在方程等号两边对x求导，得 [yln(1?x)]??(exy)??(e2)?

y?ln(1?x)?y1?x?exy(y?xy?)?0 [ln(1?x)?xexy]y???yx?yexy1? ???y?(1?x)yexy故 y(1?x)[ln(1?x)?xexy] 16．解 对方程两边同时求导，得

y?cosy?ey?xeyy??0

(cosy?xey)y???ey

y?(x)=

?ey cosy?xey.

3

17．解：方程两边对x求导，得

y??ey?xeyy?

1?xe当x?0时，y?1 dy 所以，

dxy??eyy

?x?0e11?0?e1?e

18．解 在方程等号两边对x求导，得 [cos(x?y)]??(ey)??(x)?

y)[1?y?]?eyy??1

?sin(x? [e

y?sin(x?y)]y??1?sin(x?y)

1?sin(x?y)

ey?sin(x?y)1?sin(x?y)dx ye?sin(x?y)y???故 dy

四、应用题

1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)求：（1）当x （2）当产量x为多少时，平均成本最小？

?100?0.25x2?6x（万元）,

?10时的总成本、平均成本和边际成本；

1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(x)?100?0.25x2?6x

100C(x)??0.25x?6，C?(x)?0.5x?6

x2 所以，C(10)?100?0.25?10?6?10?185

100?0.25?10?6?18.5， C(10)?10C?(10)?0.5?10?6?11

?100C(x)??2?0.25?0，得x?20（x??20舍去） （2）令

x因为x?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x?20时，平均成本最小.

2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q需求量，

?1000?10p（q为

p为价格）

2．解 （1）成本函数C(q)= 60q+2000．

1q， 10121pqq100?q100q?q． 所以 收入函数R(q)=?=()=

101012q-(60q+2000) （2）因为利润函数L(q)=R(q)-C(q) =100q?1012q-2000 = 40q-1012q-2000)?=40- 0.2q 且 L?(q)=(40q-10 因为 q?1000?10p，即p?100? 4

令L?(q)= 0，即40- 0.2q= 0，得q= 200，它是L(q)在其定义域内的唯一驻点．

所以，q= 200是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数q?2000?4p，其中p为

价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 3．解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p

R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p -250000，且令 L?(p)=2400 – 8p = 0

得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.

（2）最大利润 L(300)

4．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？

2

2

2

?2400?300?4?3002?250000?11000（元）．

?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2 利润函数L?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2 则L??10?0.04q，令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250.

4．解 （1）由已知R因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为

?10?250?20?0.02?2502?2500?20?1250?1230（元）

5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)?0.5q2?36q?9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件

L(250)产品平均成本为多少？ 5. 解 因为 C(q)=

C(q)9800=0.5q?36? （q?0） qq98009800)?=0.5?2 qq C?(q)=(0.5q?36? 令C?(q)=0，即0.5?9800=0，得q1=140，q2= -140（舍去）. q2q1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为

9800=176 （元/件） 140q26．已知某厂生产q件产品的成本为C(q)?250?20q?（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

10C(q)250q6．解 （1） 因为 C(q)== ?20?qq10 C(140)=0.5?140?36?250q2501 ?20?)?=?2?q10q102501 令C?(q)=0，即?2??0，得q1=50，q2=-50（舍去），

q10 C?(q)=( q1=50是C(q)在其定义域内的唯一驻点．

所以，q1=50是C(q)的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．

第二部分 积分学

一、单项选择题

5

1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x + 3 ）． 2. 若

2

?(2x?k)dx= 2，则k =（1）．

013．下列等式不成立的是（ln4．若5.

?f(x)dx??e?1x?x2?x?xxd(e)?xe（?1xdx?d() ）．

xx1?2?c，则f?(x)=（?e）.

4?e?x?c ）．

1x2 ）．

x6. 若

f(x)edx??e?c，则f (x) =（

1x7. 若F(x)是

f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(?f(x)dx?F(x)?F(a))．

a1ex?e?xdx） 8．下列定积分中积分值为0的是（??12??1dx）． 9．下列无穷积分中收敛的是（?1x210．设R?(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（350 ）．

2x11．下列微分方程中，（y?y?xy?e ）是线性微分方程．

12．微分方程(y?)二、填空题 1．d?x?x?edx?edx

22?y?(y??)3?xy4?0的阶是（1）.

22．函数3．若

?4．若?f(x)dx?F(x)?c，则?e5．

1cos2x + c (c 是任意常数) 2f(x)dx?(x?1)2?c，则f(x)?2(x?1)

f(x)?sin2x的原函数是-

?xf(e?x)dx=?F(e?x)?c

de2ln(x?1)dx?0 ?1dx1xdx?0 6．??1(x2?1)2??17．无穷积分?dx是收敛的（判别其敛散性）

0(x?1)28．设边际收入函数为R?(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. (y??)33q． 2?e?2xy??0是

2 2 阶微分方程.

x3?c 10．微分方程y??x的通解是y?3三、计算题

1xdx??sin1d(1)?cos1?c

⒈ 解

?x2?xxx2xdx2x2．解 ?22d(x)?2x?c ?x?ln23．解 ?xsinxdx??xcosx??cosxdx??xcosx?sinx?c

sin11(x?1)22dx 4．解 ?(x?1)lnxdx=(x?1)lnx??22x

6

12x2?x?c =(x?2x)lnx?245．解

?ln30e1e(1?e)dxlnxxexx2=

?ln30(1?e)d(1?e)ex2x=

1(1?ex)33e1ln30=

56 36．解

?dx??lnxd(2x)?2xlnx??2xd(lnx)

11?2e???2e??7．解

e1e12x2xdx?2e?4xdx?4?2e

e1

?e21x1?lnx1dx=?e211?lnx?1d(1?lnx)=21?lnx?e21=2(3?1)

1112122sin2xdx=cos2x=? =-xcos2xdxxsin2x??0224200e?1e?1e?1x1e?1dx =e?1??(1?)dx 9．解法一 ?ln(x?1)dx?xln(x?1)0??000x?1x?1e?1 =e?1?[x?ln(x?1)]0＝lne=1

8．解 20 解法二 令u

???x?1，则

?e?10ee1ee?e?e?1?1 ln(x?1)dx??lnudu?ulnu1??udu=e?u111u10．解 因为 P(x)??112，Q(x)?x?1 x[?(x?1)e2 用公式

y?e?xdx?xdx1dx?c]?e?lnx[?(x2?1)elnxdx?c]

1x4x2x3xc??c]??? ?[x4242x131c7???， 得 c?1 由 y(1)?4214x3x1?? 所以，特解为 y?42x11．解 将方程分离变量：等式两端积分得 ?ye?ydy??e3xdx

21?y21e??e3x?c 23将初始条件

111y(?1)?3代入，得 ?e?3??e?3?c，c =?e?3

236?y2所以，特解为：3e?2e3x?e?3

12．解：方程两端乘以

1，得 xy?ylnx?? xx2x即

7

ylnx)?? xxylnxln2x?dx??lnxd(lnx)??c 两边求积分，得

x?x2xln2x?cx 通解为： y?2 由y?1，得c?1

x?1 (xln2x?x 所以，满足初始条件的特解为：y?213．解 将原方程分离变量

dy?cotxdx

ylny

两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = e

C sinx

11y?，它是一阶线性微分方程， xlnx11 P(x)??，Q(x)?

xlnx11dx??dx??P(x)dxP(x)dx1?用公式 y?eexdx?c] [?Q(x)e?dx?c]?ex[?lnx1?lnx1lnxedx?c] ?x[?dx?c] ?e[?lnxxlnx ?x(lnlnx?c)

15．解 在微分方程y??2x?y中，P(x)?1,Q(x)?2x

14. 解 将原方程化为：

y??由通解公式

y?e??dx(?2xe?dx?c)?e?x(?2xexdx?c)

dx?e?x(2xex?2?exdx?c)?e?x(2xex?2ex?c)

?(2x?2?ce?x)

116．解：因为P(x)?，Q(x)?sinx，由通解公式得

x

y?1??dxex(?lnx?sinxe?xdx1dx?c)

=e1(?sinxelnxdx?c) =(?xsinxdx?c)

x1 =(?xcosx?sinx?c)

x四、应用题

1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

662 ?C?(2x?40)dx=(x?40x)= 100（万元）

44?C?(x)dx?c?又 C(x)?0x0x?36?0， 解得x?6. 令 C(x)?1?2x

36x2?40x?36= =x?40?

xx8

x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

2．已知某产品的边际成本C?(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2．解 因为边际利润 L?(x)?R?(x)?C?(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x

令L?(x)= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 ?L??(10?0.02x)dx?(10x?0.01x)5005502550500 =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 L?(x) =R?(x) -C?(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令L?(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 L

??L?(x)dx??(100?10x)dx?(100x?5x2)10??20

1010121212

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4．已知某产品的边际成本为C?(x)4．解：因为总成本函数为 C(x)?4x?3(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

??(4x?3)dx=2x2?3x?c

2当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)=2x?3x?18

C(x)18?2x?3? 又平均成本函数为 A(x)?xx18令 A?(x)?2?2?0， 解得x = 3 (百台)

x该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

18?9 (万元/百台) 35．设生产某产品的总成本函数为 C(x)?3?x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为R?(x)?15?2x（万

A(3)?2?3?3?元/百吨），求：

(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 5．解：(1) 因为边际成本为 C?(x)令L?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x

?0，得x = 7

由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 ?L887??(14?2x)dx?(14x?x2)7 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）

即利润将减少1万元.

第三部分 线性代数

一、单项选择题

1．设A为3?2矩阵，B为2?3矩阵，则下列运算中（AB ）可以进行.

A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（(ABT)?1?A?1(B?1)T

3．设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（秩(A?B)?秩(A)?秩 ）．

2．设4．设

A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（A?1?I9

）

5．设6．设

A是可逆矩阵，且A?AB?I，则A?1?（I?B ）. A?(12)，B?(?13)，I是单位矩阵，则ATB?I＝（???23??）

?25??7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（AB = AC，A可逆，则B = C ）成立. 8．设

A是n阶可逆矩阵，k是不为0的常数，则(kA)?1?（

1?1A）． k?120?3??3?，则r(A) =（ 2 ）． 9．设A?00?1????24?1?3???13?0?110．设线性方程组AX?b的增广矩阵通过初等行变换化为??00??00为（ 1 ）． 11．线性方程组?130026?14??2?1??00?，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数

?x1?x2?1 解的情况是（无解）．

x?x?02?1?1?2?1?，则当＝（）时线性方程组无解． A???2210??13． 线性方程组AX?0只有零解，则AX?b(b?0)（可能无解）.

12．若线性方程组的增广矩阵为

14．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（无解）． 15．设线性方程组AX二、填空题 1．两个矩阵

?b有唯一解，则相应的齐次方程组AX?O（只有零解）．

A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是A与B是同阶矩阵 ?2?300????12??2．计算矩阵乘积???0?= [4]

011????1?????23?1? ?31?，则AB=???4?62?4．设A为m?n矩阵，B为s?t矩阵，若AB与BA都可进行运算，则m,n,s,t有关系式m?t,n?s

3．若矩阵A =

??12?，B = ?2T

?102???，当

35．设A?a0a?0时，A是对称矩阵.

????23?1???13?6．当a??3时，矩阵A??可逆 ???1a?A,B为两个已知矩阵，且I?B可逆，则方程A?BX?X的解X?(I?B)?1A 8．设A为n阶可逆矩阵，则r(A)= n

?2?12???，则r(A) =2

029．若矩阵A =4????0?33??7．设

10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解 11．若线性方程组??x1?x2?0有非零解，则??-1

?x1??x2?012．设齐次线性方程组Am?nXn?1

?0，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r 10

?1?123??x1??2x3?x4??10?2则此方程组的一般解为?13．齐次线性方程组AX?0的系数矩阵为A?0 (其中x3,x4??x?2x4?20000????由未知量)

是自

0??1201??

114．线性方程组AX?b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为A?042?1????0000d?1??则当d?1时，方程组AX?b有无穷多解.

15．若线性方程组AX?b(b?0)有唯一解，则AX?0只有0解

三、计算题

?102??2??? 1．设矩阵A??124，B??1??????311???0?2?102??0B?2．设矩阵 A??，???1?20???01?3?，求(2I?AT)B． ?3??12???61???，计算BAT?C．

10?2，C?2????02????42????13?6?3????1 3．设矩阵A =?4?2?1，求A．

???11??2??012???，求逆矩阵A?1．

14 4．设矩阵A =1????2?10???63??10?2??12?，计算(AB)

5．设矩阵 A =?，B =????1?20???41???1? 6．设矩阵 A =0???2??2 7．解矩阵方程??3?18．解矩阵方程X??39．设线性方程组

-1

．

1??12?3?-1

?2?，B =?，计算(BA)． ???0?12?0???3???1?． X????4??2?2??1?1????. 5?20????x3?2?x1? ?x1?2x2?x3?0

?2x?x?ax?b23?1讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.

?2x3??1?x1? 10．设线性方程组 ??x1?x2?3x3?2，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.

?2x?x?5x?023?1 11．求下列线性方程组的一般解：

11

?2x3?x4?0?x1???x1?x2?3x3?2x4?0 ?2x?x?5x?3x?0234?1 12．求下列线性方程组的一般解：

?2x1?5x2?2x3??3? ?x1?2x2?x3?3??2x?14x?6x?12123? 13．设齐次线性方程组

?x1?3x2?2x3?0??2x1?5x2?3x3?0 ?3x?8x??x?023?1问?取何值时方程组有非零解，并求一般解.

?x1?x2?x3?1? 14．当?取何值时，线性方程组?2x1?x2?4x3?? 有解？并求一般解.

??x?5x3?1?1?b的增广矩阵经初等行变换化为 1??1?16?3?

A????01?330???00??3??00?问?取何值时，方程组AX?b有解？当方程组有解时，求方程组AX?b的一般解.

三、计算题

15．已知线性方程组AX?100??102????T?1．解 因为 2I?A= 2010??124??????001????311??T

1?3??200??1?13??1???21?=?00?1? =020?0????????002????241?????2?41??1?3??21??1?5??1?T0?1???13?=?0?3? 所以 (2I?A)B=0?????????2?41????03????0?11???212??11???61????0?2???22? T2．解：BA?C=010????????002?????42???20????60???61??01?? =?20? ???2 =0?2?2?????????42????40????02????13?6?3100??114107?????3．解 因为 (A I )= ?4?2?1010?001012 ??????11001??2??211001?? 12

4107??11?1????001012 ?0??????0?1?7?20?13???0?100?130??10??? ?0?10?271?01?4?1?01012?? ?10?271??0?130?02?7?1? 101??1012????00???001012???? 所以 A-1

=??130??2?7?1?

??012????014．解 因为(A I ) =?012100??114010??114??01210?10001????2????0?3?80?2?102?110??1001? ???012100?2?1??0104?21?????? ?00?23?21???00?23?21???12?11? ??00?0104?21?

???001?321?12????11? 所以 A-1

=

?2?4?21?

??321?12????5．解 因为AB =??10?2???63??1?20???12?=??21?

??41??????4?1? (AB I ) =???2110???2110??4?101?????0121? ?????20?1?1???0121????1011? ?22? ?0121???11?所以 (AB)-1

= ??22?

?21???6．解 因为BA=??12?3??0?12??11???0?2?=??5?3???2?

??20???4? (BA I )=???5?310??4201??????1?111? ?4201???3? ???11?1?1?1012? ?0?245??????01?2?52???3所以 (BA)-1?=12??? ??2?52??

13

0?0?1? ??7．解 因为???2?34?3?1 ???0?110110??111??3401???11??1???3?2???01? ?1?043? ?1?3?2?3???2?3??4?即 ? ???4??3??3?2?3???1??2??4所以，X =?=?? ?????3?2??2???1?10??1210??12?10?52?8．解：因为????0?1?31? ??013?1?

3501???????1?12???52??即 ???3?1?

35?????1?1??12? 所以，X =?????20??35??1012??1???9．解 因为 12?10?0??????21?ab???0?1=??1?1???52???83???3?1?= ??104?

20??????012?2?2?2?? 1?a?2b?4??12??10??

?1?1 ?01????00?a?1b?3??所以当a 当a 当a??1且b?3时，方程组无解；

??1时，方程组有唯一解；

??1且b?3时，方程组有无穷多解.

10．解 因为

02?1?2?1??1?10????01?11?

1?32 A??1??????0?2??2?15??0?11??102?1??? ?01?11 ???3??000?所以 r(A) = 2，r(A) = 3.

又因为r(A) ? r(A)，所以方程组无解. 11．解 因为系数矩阵

02?1?2?1??1?10?102?1?????01?11???01?11?

?32 A??11????????0???2?15?3???0?11?1???000? 所以一般解为??x1??2x3?x4 （其中x3，x4是自由未知量）

?x2?x3?x412．解 因为增广矩阵

14

?2?52?3??12?13??10?191?????0?94?9???01?491?

2?13 A?1?????????00???214?612???018?818???00?1?x?x?1??193所以一般解为 ? （其中x3是自由未知量）

?x?4x?123?9?13．解 因为系数矩阵

2??1?32??1?3?10?1???????01?1?

1?1 A =2?53?0??????????3?8????01??6???00??5??所以当? = 5时，方程组有非零解. 且一般解为

?x1?x3 （其中x3是自由未知量） ??x2?x314．解 因为增广矩阵

11??1111??11?1?4????0?1?6??2? A?2????62????1051????01??10?5?1??62? ?01??????000? 所以当?=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：

?x1?5x3?1 ?

x??6x?23?215．解：当?=3时，r(A)

(x3是自由未知量〕

?r(A)?2，方程组有解.

?1?16?31??10301?????01?330?

1?330 当?=3时，A?0??????000??00??00000???x1?1?3x3 一般解为?， 其中x3,x4 为自由未知量.

x?3x?3x34?2

四、证明题

四、证明题

1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA． 1．证 因为A = A，B = B，(AB) = AB 所以 AB = (AB) = B A = BA 2．试证：设

T

T

T

T

T

T

A是n阶矩阵，若A3= 0，则(I?A)?1?I?A?A2．

?A)(I?A?A2)

?A?A2?A?A2?A3 =I?A3= I

2．证 因为 (I =I

15

?A)?1?I?A?A2

12?13．已知矩阵 A?(B?I)，且A?A，试证B是可逆矩阵，并求B

21122223. 证 因为A?(B?I)?(B?2B?I)，且A?A，即

44121(B?2B?I)?(B?I)， 422?1得B?I，所以B是可逆矩阵，且B?B.

所以 (I

4. 设n阶矩阵4. 证 因为 所以

5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．

A满足A2?I，AAT?I，证明A是对称矩阵.

A?AI=AAAT?IAT=AT

A是对称矩阵.

AT?A，BT?B，且

TTTTTTT (AB?BA)?(AB)?(BA)?BA?AB ?BA?AB?AB?BA

5．证 因为

所以 AB＋BA是对称矩阵．

16

?A)?1?I?A?A2

12?13．已知矩阵 A?(B?I)，且A?A，试证B是可逆矩阵，并求B

21122223. 证 因为A?(B?I)?(B?2B?I)，且A?A，即

44121(B?2B?I)?(B?I)， 422?1得B?I，所以B是可逆矩阵，且B?B.

所以 (I

4. 设n阶矩阵4. 证 因为 所以

5．设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．

A满足A2?I，AAT?I，证明A是对称矩阵.

A?AI=AAAT?IAT=AT

A是对称矩阵.

AT?A，BT?B，且

TTTTTTT (AB?BA)?(AB)?(BA)?BA?AB ?BA?AB?AB?BA

5．证 因为

所以 AB＋BA是对称矩阵．

16

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