《二次函数》达标训练(人教版数学九年级下)

二次函数典型例题

达标训练

基础·巩固

1.已知抛物线的解析式为y=(x-2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是( )

A.(-2,1) B.(2，1) C.(2，-1) D.(1,2) 思路解析：形如y=(x-k)2＋h的抛物线的顶点坐标为(k，h). 答案：B

2.二次函数y=3(x-1)2+2的最小值是( )

A.-2 B.-1 C.2 D.1 思路解析：二次函数y=ax+bx+c(a≠0)中，当a＞0时，函数有最小值，当x

4ac b4a

2

2

b2a

时，y最

小值

=.

答案：C

3.在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b(a≠0，b≠0)的图象的大致位置是(

)

思路解析：a、b的符号确定了抛物线和直线的位置.[来源:学。科。网]

选项A中，由直线的位置可以知道a<0，b>0；由抛物线的开口知道a>0，相互矛盾； 选项B中，由直线的位置可以知道a>0，b>0；由抛物线的开口知道a<0，相互矛盾； 选项C中，由直线的位置可以知道a>0，b>0；由抛物线的位置知a>0，b<0，相互矛盾； 选项D中，由直线的位置可以知道a<0，b<0；由抛物线的位置知道a<0，b<0，两者结论一致； 答案：D

4.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s

1100

v，在一辆车速为100 km/h

2

的汽车前方80 m处，发现停放有一辆故障车，此时刹车________(填“会”或“不会”)有危险. 思路解析：刹车距离指在汽车这段距离中能停下来，因此本题要根据v=100计算出s的值，若s≤80，则刹车没有危险. 当v=100时，s=答案：有

5.(1)圆的面积y(cm)与它的周长x(cm)之间的函数关系为________，是________次函数，自变量的取值范围是________.

(2)菱形的两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积S(cm)与一对角线长x(cm)之间的函数关系为________，是________次函数，自变量的取值范围是________. (1)思路解析：根据题意写出表达式，注意自变量的取值范围. 先写出半径的表达式：r

x2

2

2

1100

×1002=100>80，此时刹车有危险.

，再用面积公式表示y=π·(

x2

)=

2

x

2

4

.[来源:]

二次函数典型例题

答案：y

x

2

4

，二，x>0

(2)思路解析：菱形的面积等于对角线乘积的一半. 答案：S=

12

x(26-x)，或填S=-

12

x2+13x，二，0＜x＜26.

6.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.[来源:学§科§网Z§X§X§K] (1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)、B(1，0)、C(-1，2)； (2)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)，且与y轴交于点(0，-3)； (4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4.

思路解析：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求；

(3)交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求.

解：(1)设二次函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0).由已知，这个函数的图象过(0,-1)，可以得到 a b 1,

c=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点，可以得到

a b 3. a 2,

解这个方程组，得

b 1.

所以所求二次函数的关系式是y=2x2-2x-1.

(2)因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-3， 又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到1=a(0-1)2-3. 解得a=4.

所以所求二次函数的关系式是y=4(x-1)2-3=4x2-8x+1.

(3)因为抛物线与x轴交于点(-3，0)、(5，0)，所以设二次函数的关系式为y=a(x+3)(x-5). 又由于抛物线与y轴交于点(0，3)，可以得到-3=a(0+3)(0-5). 解得a=

15

.

15

所以，所求二次函数的关系式是y=(x+3)(x-5)，即y=

15

x

2

25

x 3.

(4)因为抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为y=a(x-3)2-2.

由已知可知抛物线的对称轴为x=3.

因为抛物线与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0).[来源:初中学习网XK]

把x=1，y=0代入y=a(x-3)-2，得a= 所以y=

12

2

12

.

(x-3)-2，即y=

2

12

x-3x-

2

52

.

二次函数典型例题

综合 应用

2

7.已知二次函数y=x-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是( )

A.先往左上方移动，再往左下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 C.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 思路解析：b的变化影响顶点的位置.找出顶点随b的变化规律. y=x-bx+1=(x-标从-12

2

b2

)+1-b，其顶点为(

22

b2

,1-b).当b从-1到1的变化过程中，顶点的横坐

2

→0→

12

变化，纵坐标恒大于或等于0，从0→1→0变化，即顶点位置在第二象限从

低到高向右移动，到达y轴上的(0，1)，继续向右移动到达第一象限，在第一象限向右下方移动.

实际上，还可以设顶点的横坐标为m，纵坐标为n，则m=点的移动路径满足n=-4m2+1(-12

b2

，n=1-b2，消去b，得到顶

≤m≤

12

)，也是抛物线在第二象限和第一象限的一段，因此

顶点先往右上方移动，再往右下方移动. 答案：C

8.已知y=(k+2)xk2+k-4是二次函数，且当x>0时，y随x的增大而增大.则k=_________，其顶点坐标为_________，对称轴是_________.

思路解析：根据定义，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数.这里x的系数不为0，指数为2.考虑到当x>0时，y随x的增大而增大，还必须x的系数大于0.

k2 k 4 2,

由题意，得 解得k=2.二次函数为y=4x2，则顶点坐标为(0，0)，对称轴

k 2 0.

为y轴.

答案：2，(0，0)，y轴

9.某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.1-6所示，现测得水面宽1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

图26.1-6

思路解析：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=ax2(a<0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式. 解：由题意，得水面与涵洞的一个交点坐标为(0.8，-2.4)，

又因为该点在抛物线上，将它的坐标代入y=ax2(a<0)，得-2.4=a×0.82 所以a

154

.[来源:初中学习网XK]

二次函数典型例题

因此函数关系式是y

154

2x.

10.把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x2，求b、c的值.

思路解析：抛物线y=x2的顶点为(0，0)，只要求出抛物线y=x2+bx+c的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值. 解：y=x+bx+c=x+bx+

2

2

b

2

4

b

2

4

c (x

b2

) c

b

2

4

.

向上平移2个单位，得到y=(x+

b2b2

)+c-

2

b

2

4

+2，

再向左平移4个单位，得到y=(x++4)+c-

2

b

2

4

+2，[来源:初中学习网其顶点坐标是(

b2

4，

b

4 0,2 b 22

c 2)，而抛物线y=x的顶点为(0，0)，则 2

4 c b 2 0.

4

b

4 0,2 bb 22

其顶点坐标是( 4，c 2)，而抛物线y=x的顶点为(0，0)，则 2

42 c b 2 0.

4

b 8,

解得

c 14.

方法二 把抛物线y=x+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=x，也就意味着把抛物线y=x2向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线y=x2+bx+c.那么，本题还可以用下列方法来解：

抛物线y=x2向下平移2个单位，得到y=x2-2； 再向右平移4个单位，得到y=(x-4)2-2，即y=x2-8x+14. 所以b=-8，c=14.

11.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后，同学们做了以下三种试验:

22

二次函数典型例题

请根据以上图案回答下列问题:

(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6 m，当AB为1 m，长方形框架ABCD的面积是__________m;

(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6 m，设AB为x m，长方形框架ABCD的面积为S=________(用含x的代数式表示)；当AB=_______m时,长方形框架ABCD的面积S最大;[来源:Z*xx*]

在图案③中，如果铝合金材料总长度为l m，设AB为x m，当AB=________m时,长方形框架ABCD的面积S最大.

(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情形也存在着一定的规律. 探索:如图案④，如果铝合金材料总长度为l m共有n条竖档时,那么当竖档AB多少时，长方形框架ABCD的面积最大.

思路解析：用函数考虑.当AB为x m，列出面积的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.

(1)图案①中，当AB为1 m时，AD=(6-1×2)÷3=

43

2

(m)，面积是=

3

443

(m2).

(2)图案②中，当AB为x(0<x<2)时，AD=(6-3x)÷3=2-x，面积是S=x(2-x);对于S=x(2-x)=-x2+2x，当x=1时，S有最大值. 图案③中，当AB为x(0<x<当x

l8

l4

)时，AD =(l-4x)÷3=

l 4x3

，面积是S=

l 4x3

x

43

(x2-

l4

x)，

时，S有最大值.[来源:学.科.网]

ln

(3)图案④中，当AB为x(0<x<S=

l nx343x

n3

)时，AD =(l-nx)÷3=

l nx3

，面积是

(x-

2

ln

x)，当x

l8

l2n

时，S有最大值.

解：(1)

. (2)-x2+2x，1，

.

l nx3

(3)设AB长为x m，那么AD为l nx3

l2n

n3(x

2

，

ln

x).

当x 时，S最大.

回顾 展望

二次函数典型例题

12.(2010广东广州模拟) 抛物线y=x-1的顶点坐标是( )

A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 答案：B

13.(广西南宁模拟) 函数y=ax2-a与y

ax

2

(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(

)

思路解析：两个函数都只有一个待定系数a，可以讨论a>0和a<0两种情况的图形.

①当a>0时，抛物线y=ax2-a开口向上，与y轴的交点在x轴下方，同时双曲线的位置应该在一、三象限，所以选项B不符合题目要求; ②当a<0时，抛物线y=ax2-a开口向下，与y轴的交点在x轴上方，双曲线的位置应该在二、四象限，所以选项A符合题目要求. 答案：A

14.(广西南宁模拟) 图1是水滴进玻璃容器的示意图(滴水速度不变)，图2是容器中水高度随滴水时间变化的图象

.

给出下列对应：(1)a→e；(2)b→f；(3)c→h；(4)d→g.其中正确的是( )[来源:初中学习网A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.(3)和(4) 思路解析：滴水速度不变，图象中水的高度随时间的变化跟容器的形状有关. 容器a、b是圆柱体形状，其体积与水的高度成正比，所以a→g，b→f. 容器c是圆台形，水的体积相当于圆台，所以c→h.

容器d是圆锥体形状，水的体积相当于倒置的圆锥，d→e.

答案：B

15.(2010吉林长春模拟) 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M(1,-2)、N(-1,6).

二次函数典型例题

(1)求二次函数y=x+bx+c的关系式.

(2)把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，BC=5.将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离. 思路解析：根据点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式.

△ABC平移时，由于CA⊥x轴，所以C的纵坐标总不变.点C平移到抛物线上时，用其纵坐标的值列方程解出横坐标的值，比较平移前后横坐标的变化就能求出三角形平移的距离.

解：(1)∵M(1,-2)，N(-1,6)在二次函数y=x2+bx+c的图象上， 1 b c 2, b 4,∴ 解得

1 b c 6.c 1.

2

二次函数的关系式为y=x-4x+1.[来源:初中学习网XK] (2)Rt△ABC中，AB=3，BC=5，∴AC=4. ∴4=x2-4x+1. 解得x

4 16 12

2

2

7.

2

∵A(1，0)，∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移1 7个单位. 答：△ABC向右平移1 7个单位.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dwe4.html