立体几何证明题归类

空间直线、平面的平行与垂直问题

一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转

化问题 知识点：

一）位置关系：平行：没有公共点．

相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上． 相交包括垂直相交和斜交．

二）平行的判定：

（１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）

（２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线面平行得面面平行）

（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）平行于同一个平面的两个平面平行．

（５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．三）平行的性质：

定义：两个平行平面没有公共点．（常用于反证）

性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行）性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行）

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）

一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．

夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．

（１）（２）（３）（４）（５）二、 “线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直” 到“线线垂直”及三垂线定理

1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短2、直线与平面所成的角

一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条

直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。0???90?????结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。3、三垂线定理及逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。

其主要作用有：①证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明；

例 题

1、（将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，点E是PD的中点. （Ⅱ）求证：PB//平面AEC；（Ⅱ）求证：EO?PD；

2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//1BC． ?2（1）证明FO//平面CDE；（线面平行时用）

（2）设BC?3CD，证明EO?平面CDF．（线面垂

直时用） 3、（将线面平行转变为面面平行）如图，在长方体

ABCD?A1BC11D1中，E,P分别是BC,A1D1的

中点，M,N分别是

A,E1C的D中点，

AD?AA1?a,AB?2a

（Ⅰ）求证：MN//面ADD1A1；

（Ⅱ）求二面角P?AE?D的大小。 （Ⅲ）求三棱锥P?DEN的体积。 4、（将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上. （Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；

（）

5、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，

PA?1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA⊥BF；

（ⅠⅠ）求O到平面PAB的距离。

6、如图，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，

PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10．

（I） 设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE； （II） 求二面角P-AB-C的大小。

7、如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC; （Ⅱ）求二面角M?AC?B的大小; （Ⅲ）求三棱锥P?MAC的体积.

8、如图，平面ABEF?平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

?BAD??FAB?900,BC//?1AD，BE2//?1AF 2（Ⅰ）证明：C,D,F,E四点共面；

（Ⅱ）设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小；

9、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45? （I）求证：EF?平面BCE；

（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角F?BD?A的大小。

10、已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线； （Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.

D?C?B?A?M?DA?OCBP11. 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，

PD?底面ABCD，AD?PD，E、F分别为

CD、PB的中点．

（Ⅰ）求证：EF?平面PAB； （Ⅱ）设AB?的角的大小

CFEAD2BC，求AC与平面AEF所成

B12、(14分)已知正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点. 求证：（１）C1O//平面AB1D1；(2）A1C?平面AB1D1．

13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，

D1C，AD的中点；

B1A1D1C1NM求证：（1）MN//平面ABCD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）MN⊥平面B1BG．

14.如图

3

所示，在四面体

BAGDCP?ABC中，

PA?BC?6，

PC?AB?10,AC?8,PB?234．F是线段PB上一点，CF?1534，点E在线段AB上，且EF?PB． 17P F E

B

（Ⅰ）证明：PB?平面ＣＥF； （Ⅱ）求二面角B?CE?F的大小．

15．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝

1PA， 2A

图3

C

点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．

16.如图，在三棱柱

ABC?A1B1C1中，

AB?BC,BC?BC1,AB?BC1，E,F,G分别为线段

AC1,AC11,BB1的中点，

求证：（1）平面ABC?平面ABC1；

（2）EF//面BCC1B1； （3）GF?平面AB1C1

17． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形， PD⊥底面ABCD，E是AB上 一点，PE⊥EC. 已知PD?2,CD?2,AE?1,求 2（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离； （Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.

18．已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点， △ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB． (Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值

19、如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，

PD?底面ABCD，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB； （Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

20．如图所示，在长方体ABCD?A1BC11D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M。

21.（06广州市高一质量抽测）如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1； （2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1

22.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上． （Ⅰ）求证：BC?A1D；

（Ⅱ）求证：平面A1BC?平面A1BD； （Ⅲ）求三棱锥A1?BCD的体积

23.如图，在正方体A1B1C1D1—ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点， O是上底面ABCD的中心。 求证：EF⊥平面BB1D。

E为CC1的动点， 24.如图已知正方体ABCD?A1BC11D1中，点

①求证：A1E?BD;

②当E恰为CC1的中点时，求证：平面A1BD?EBD

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