高数 二重积分

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________

第十一章 习题一 曲线积分与格林公式

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一．选择题

1．设L为圆周x2?y2?1，L1为该圆周在第一象限的部分，则 （ ） （A）xds?4xds； （B）

LL1???Lyds?4?yds；

L1L1（C）

?Lx2sinyds?4?x2sinyds； （D）?x2cosyds?4?x2cosyds．

L1L22．设L为沿右半圆周x?1?y从点A(0,?1)经点B(1,0)到点C(0,1)的路径，L1为

L上从点B到点C的路径，则积分?|y|dx?y3dy等于 （ ）

L（A）0； （B）2?L1|y|dx?y3dy； （C）2?|y|dx； （D）2?y3dx．

L1L13．设G为一个平面单连通区域，P、Q在G上具有一阶连续偏导数，则积分

?L Pdy?Qdx与路径无关的充分必要条件是 （ ）

（A）

?P?Q?P?Q?P?Q?P?Q??????； （B）； （C）； （D）． ?y?x?x?y?x?y?y?x4．设L为下列曲线所围有界闭区域的边界正向，则可直接使用格林公式计算曲线积分

xdx?ydy ?Lx2?y2的是 （ ）

22|x|?|y|?1．（A）x?y?1；（B）（C）（D） (x?1)2?y2?2；3(x?1)2?y2?2；

5．已知

(x?ay)dx?ydy为某函数的全微分，则a等于 （ ） 2(x?y)（A）?1； （B）0； （C）1； （D）2．

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《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________ 二．填空题

1．设L是从点O(0,0,0)经A(1,1,1)到点B(1,1,?1)的折线段，则ds? ．

L?2．设f(x)是连续函数且f(1)?1，则?22(x?f(x2?y2))ds? ．

x?y?123．设L为从点M(1,3)沿圆(x?2)2?(y?2)2?2右行至点N(3,1)的半圆，则

?sin(yL2)dx?sin(x2)dy? ．

4．已知在全平面上积分

?LPdx?Qdy与路径无关，且

(?2,3)?(x,y)(0,0)Pdx?Qdy?3xy?4x?5y，则?2(1,2) ． Pdx?Qdy? 5．设L为从点A(1,6)沿xy?6至点B(3,2)的曲线段，则

三．计算题 1．求 2．求

?Lex?y(ydx?xdy)? ．

?(x?y)ds，其中L为以O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)为顶点的三角形闭曲线．

L?L(x2?y2)ds，其中L为圆周x2?y2?2y．

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3．求

?ydx，其中L为曲线y?2x?x2上自点B(1,1)到原点(0,0)的一段弧． L4．设有一个空间力场，其中任一点处力的大小与此点到xOy面的距离成反比，方向指向原点．若一质点在此力场中沿螺旋线?：x?acost，y?asint，z?bt（其中，a?0，b?0），从t?0的点运动到t?2?的点，求在此过程中力场所做的功．

3

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________ 5．把第二类曲线积分

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy化为第一类曲线积分，其中L 为圆周

Lx2?y2?1在第一象限的部分，取逆时针方向．

6．计算 7．求I?

4

(x?y)dx?(x?y)dy222，其中L为圆周x?y?a，取顺时针方向． 222?L(x?y)?L(y?2yx)dx?(x2?2x?y2)dy，其中L：由点A(4,0)沿上半圆周

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________ 8．设曲线积分

?L[f(x)?ex]sinydx?f(x)cosydy在整个xOy面上与路径无关，其

中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)?0，求f(x)．

9．求微分方程(x?1)dy?(2xy?cosx)dx?0满足初始条件yx?0?1的特解．

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《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________ 四．证明题

证明：(excosy?2xy2)dx?(2x2y?exsiny)dy在R上有原函数，并求出一个原函数．

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