(2) 群表示理论基础 - 图文

第三节 群表示的基及群的表示

一、基本概念

基（Base）：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。

基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（px，py，pz）

群的表示（Representation）：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。

* 群的表示不是唯一的，一个群原则上有

无限多种表示。

二、群的表示（可约与不可约表示） 1、可约表示（Reducible Representation） 1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。若对每个矩阵进行同样的相似变换： E′=XEX

-1

A′=XAX

-1

B′=XBX

-1

………….. 则（E′，A′，B′……）也是群的一个表示。

证明（封闭性）：若AB = C

A′B′ = (XAX)(XBX) = XA(XX)BX

-1-1

= X(AB)X = XCX = C′

-1

-1

-1

-1

2）可约表示：若能找到矩阵X可把(A、B、C…)变换成(A′、B′、C′…), 而(A′、B′、C′…)

分别为划分为方块因子的矩阵。

a11a12a13a21a22a23a31a32a33an1an2an3a1na2na3nann

b11b12b13b21b22b23b31b32b33bn1bn2bn3b1nb2nb3nbnn c11c12c13c21c22c23c31c32c33cn1cn2cn3c1nc2nc3ncnn 相似变换 00

000 0

若每个矩阵A′，B′，C′, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：

A1′B1′=C1′ A2′B2′=C2′ A3′B3′=C3′

………..

a11a12a13a21a22a23a31a32a33an1an2an3a1na2na3nann

b11b12b13b21b22b23b31b32b33bn1bn2bn3b1nb2nb3nbnn c11c12c13c21c22c23c31c32c33cn1cn2cn3c1nc2nc3ncnn

00

00 00

…………………. ………..

因此各组矩阵E1′，A1′，B1′，C1′, …

E2′，A2′，B2′，C2′, … ……………………. 本身都是一个群的表示。

因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。因此我们称（E，A，B，C, …）为可约表示。

2、不可约表示（Irreducible Representation）

若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。不可约表示具有特殊的重要性。

三、广义正交定理（great orthogonality theorem） 1、向量的正交 1）向量及其标积。 向量的定义： 向量标积：

A?B

A·B = A·Bcosθ

2）向量正交 若A·B = 0，则称A与B正交。 * p维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的p个正交轴上的投影来定义。以三维空间为例：

zA = A1 + A2 + A3A1 = A1iA2 = A2jA3 = A3kA = A1i + A2j + A3kA2A2A3A3A1A1OAyxij = 0ik = 0jk = 0ii = 1jj = 1kk = 1

据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在p维正交空间中：

A·B =(A1+A2+…+Ap)·(B1+B2+…+Bp)

= A1B1+A2B2+ … +ApBp

??AiBii?1p

因此在p维空间中两个向量的正交可表示为：

AB?0?iii?1p

AB= ABcos?????

推论：一个向量的长度平方可写成

A = A·Acos0 = A·A

2

??Aii?1p2

2、广义正交定理（great orthogonality theorem有关构成群的不可约表示矩阵元的基本定理） 1）广义正交定理：

h ~ 群的阶；li ~ 该群第i个不可约表示的维数，也是该表示中矩阵的阶；R ~ 群中的某个操作；Γi(R)mn ~ 在第i个不可

约表示中，与操作R对应的矩阵中第m行和第n列的元素。最后，每逢包括虚数和复数时，等式左端的一个因子取复共轭。

h[Γi(R)mn][Γj(R)m'n']?δijδmm'δnn'?liljR*

δst = 1（s=t）0（s≠t）

GR1a11a12a13a21a22a23a31a32a33R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33R3c11c12c13c21c22c23c31c32c33.......?ix11?jx21x12x22y11y21y12y22z11z21z12z22

向量1的分量：a11, b11, c11, …… 向量2的分量：a22, b22, c22, …… 向量3的分量：x11, y11, z11, …… 向量4的分量：x21, y21, z21, ……

在一组不可约表示矩阵中，若将任意一

组来自每个矩阵的对应矩阵元，看作是h维空间中的某一向量的分量，则所有这些向量都相互正交，且这些向量长度的平方为(h/li)。

h[Γ(R)][Γ(R)]??imnimnliR*

2）广义正交定理的特殊形式

广义正交定理可以简化为三个较简单的

情况:

A、若i≠j，则

?[Γ(R)iR

][Γ(R)]?0mnjm'n'*表明，选自不同不可约表示的向量是正交的。

B、若i=j，且m≠m′，或n≠n′，或同时m≠m′，n≠n′

?[Γ(R)iR

][Γ(R)]?0mnim'n'*表明，选自同一不可约表示的不同向量

也是正交的。

C、若i=j，m=m′，n=n′，则

h[Γ(R)][Γ(R)]??imnimnliR*

表明，任意一个这种向量的长度平方等于h/li。

四、可约表示的约化及表示的直积 1、不等价不可约表示

1）等价表示（equivalent representation）：在点群的表示中，如果有两个表示，它们关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A和B是共轭的，即存在一个方阵X，使XAX = B成立，则这两个表示是等价的。

-1

GR1a11a12a13a21a22a23a31a32a33共轭R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33共轭R3.......??等价c11c12c13c21c22c23c31c32c33共轭x11x12x13y11y12y13y21y22y23y31y32y33??

x21x22x23x31x32x33z11z12z13z21z22z23z31z32z33

* 一个表示中各矩阵的迹称为该表示的特征标 （character）。

点群R1x11x12x21x22R2y11y12y21y22?2iR3z11z12z21z22??i.......矩阵群特征标

??i

两个等价表示关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A和B的特征标相同。

GR1a11a12a13a21a22a23a31a32a33R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33R3........??等价c11c12c13c21c22c23c31c32c33??x11x12x13x21x22x23x31x32x33??y11y12y13y21y22y23y31y32y33??z11z12z13z21z22z23z31z32z33 ??

2）不等价不可约表示：如果两个不可约表示，它们每个对称操作的两个特征标不完全相等

时，则这两个不可约表示是不等价不可约表示。

GR1a11a12a13a21a22a23a31a32a33R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33R3.......??不等价c11c12c13c21c22c23c31c32c33??ix11x12x13x21x22x23x31x32x33?2iy11y12y13y21y22y23y31y32y33??iz11z12z13z21z22z23z31z32z33????j?2j?3j??i??j?2i?2j??i?3j......至少有一对不相等

2、群表示的几条重要性质

1）群的不等价不可约表示的数目，等于群中类的数目。

2）群的不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶。

l?l?l?...?h?i12222i

3）每个群均有一个特征标均为1的一维不可约表示，叫“完全对称表示”。

4) 任一不可约表示的特征标的平方和等于群的阶。

[χ(R)]?h?i2R

GR1a11a12a13a21a22a23a31a32a33R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33R3c11c12c13c21c22c23c31c32c33.......???????? 5）以两个不等价不可约表示的特征标作为分

量的

向量是正交的。

χ(R)χ(R)?0 (i?j)?ijR

GR1a11a12a13a21a22a23a31a32a33R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33R3c11c12c13c21c22c23c31c32c33.......?i??ix11x12x22y11y21?2iy12y22z11z21??iz12z22?jx21??j?2j?3j 6）在一个给定表示中，所有属于同一类操作矩阵的特征标相等。

G??R1a11a12a13a21a22a23a31a32a33R2b11b12b13b21b22b23b31b32b33R3c11c12c13c21c22c23c31c32c33d11d21d31???2??

3、不可约表示特征标的求法。

例：C3V群 {E，C3，C3，σv, σv′, σv′′}, 分为三类{E，2C3，3σv}

2

由性质1）：有三个不等价不可约表示。

由性质

由性质3）：不妨令l1=1，唯一解l1= l2 =1，l3=2

再由性质6）：

2

2）：l1+l2+l3=6

2

2

C3v??????

E1122C31x22x323?v1x23x33

2 22

由性质4）：1+2X22+3X23=6

由性质5）：1×1+2×1×X22+3×1×X23

=0

由上两式得：X22=1，X23=-1

由性质5）：1×2+2×1×X32+3×1×X33=0

1×2+2×1×X32+3×(-1)×

X33=0

由上两式得：X32=-1，X33=0

最后结果：

C3v??????

E1122C311-13?v1-10 4．特征标表 （character tables）

特征标表：将点群的各不等价不可约表示的特征标连同不可约表示的基归在同一表中，则称此表为点群的特征标表。

例：

C3vA1A2E

E1122C33?v11-11-10zx+y ,2222z2(x, y)(x-y, xy)(xz, yz)

A、B：一维表示 E：二维表示 T：

三维表示

G、U：四维表示 H、W：五维表示

维数大于1的不可约表示称为简并不可约表示。

5、可约表示的约化

对于任何相似变换，矩阵的特征标是不变的，因此一个可约表示的特征标必等于由它约化得到的各不可约表示特征标之和，即

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