华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案一

《高等数学》（下册）测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1．设有直线

x 3y 2z 1 0

L:

2x y 10z 3 0

及平面 :4x 2y z 2 0，则直线L（ A ）

A．平行于平面 ； B．在平面 上；

C．垂直于平面 ； D．与平面 斜交.

xy

,(x,y) (0,0) 22

x y2．二元函数f(x,y) 在点(0,0)处（ C ） 0, (x,y) (0,0)

A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在； C．不连续、偏导数存在； D．不连续、偏导数不存在.

3．设f(x)为连续函数，F(t)

dy

1

tt

y

f(x)dx，则F (2)＝（ B ）

A．2f(2)； B．f(2)； C． f(2) D．0.

xy

z 1由x 0，y 0，z 0所确定的三角形区域，则曲面积分 23

(3x 2y 6z)dS＝（ D ）

4．设 是平面

A．7； B．

x

21

； C．14； D．21. 2

5．微分方程y y e 1的一个特解应具有形式（ B ）

A．aex b； B．axex b； C．aex bx； D．axex bx.

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1．设一平面经过原点及点(6, 3,2)，且与平面4x y 2z 8垂直，则此平面方程为

2x 2y 3z 0；

2．设z arctan

2

x y

，则dz|1

xy

2

＝2dx dy

； 4

L

3．设L为x y 1正向一周，则

2

2

exdy ；

2

4．设圆柱面x y 3，与曲面z xy在(x0,y0,z0)点相交，且它们的交角为

π

，则正6

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数Z0

3 ； 2

5．设一阶线性非齐次微分方程y P(x)y Q(x)有两个线性无关的解y1,y2，若

y1 y2也是该方程的解，则应有 .

u

u v v x ecosv

三、（本题7分）设由方程组 确定了，是，的函数，求及与. uvxyu

x x y y esinvuu

dx ecosvdu esinvdv

解：方程两边取全微分，则 uu

dy esinvdu ecosvdv

xdx ydy u u

du ecosvdx esinvdy x2 y2

解出du,dv,

dv e usinvdx e ucosvdy xdy ydx x2 y2

从而

ux v y vx

2, , 22222

xx y xx y yx y

四、（本题7分）已知点A(1,1,1)及点B(3,2, 1)，求函数u ln3xy 2z3在点A处沿方向的方向导数.

212 解：AB 2,1, 2 ,AB ,,

333

3y3x 6z2

gradu ,,，graduA 3,3, 6 333

3xy 2z3xy 2z3xy 2z ,, 3,3, 6 2 1 4 7 从而2

411y

edy dxxeydy）.

2yy2

x

x

u

AB 21 332 3

五、（本题8分）计算累次积分

解：依据上下限知，即分区域为

1

dx1

D D1 D2,D1:1 x 2,1 y D2:2 x 4,

2

x

y 2

作图可知，该区域也可以表示为D:1 y 2,y x 2y

从而

2

1

dx1

4122y121yyy

edy dxxedy dy 2edx e2 ey dy

21yy1yy2

xxx

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ey e

2

y

21

2e2 e2 e2 e1 e

22

zdxdydz，其中是由柱面x y 1及平面z 0,z 1

六、（本题8分）计算I 围成的区域.

11

2

dxdy z 1dz Dz

解：先二后一比较方便，I zdz

z2

2

1

2

七．（本题8分）计算

3222

，其中是抛物面被平面z 2所截(x y z)dS2z x y

下的有限部分. 解：由对称性

3

2

xdS 0, ydS xdS

322

x2 y2

z)dS

(x2 y2)dS 从而 (x y z)dS (2

2

2

2

(x y

D4

22 d r

2 r

4

t 1 1 3 15

0

2xx2x2x2ππ

cos)dx 2cosdy，L是点A(,)到点B(π,2π)八、（本题8分）计算 (4x

Lyyyy22

在上半平面(y 0)上的任意逐段光滑曲线.

Q x2x2 2xx22x3x2

2cos 2cos 3sin 解：在上半平面(y 0)上

x x yy yyyy

P 2xx22xx22x3x2 Q

(4x cos) 0 2cos 3sin 且连续， y yyyyyyy x

从而在上半平面(y 0)上该曲线积分与路径无关，取C(π,)

π

2

2

4x2x24 24 2152

(4x cos)dx cosdy 1 2 LAC CB y2 y

2

2

九、（本题8分）计算

(x y)dydz (y z)dzdx (z x)dxdy，其中 为半球面

222

z x2 y2上侧.

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解：补 1:z 0取下侧，则构成封闭曲面的外侧

(x y)dydz (y z

2

22

)dzdx (z x2)dxdy

2

1

1

2x2 y23

1 1 1 dv xdxdy 3dv xdxdy 3 1 dxdy

32 1 DD1

2

2

2

1419 3

d rdr 2 r 04400

1

2y 2ys

十、（本题8分）设二阶连续可导函数y f(x)，求y f(x)． x 适合2 42 0，

t t s

y s y1解： f 2, f

tt st 2y s 2s s 2y 1 1

2f 3f f 2 ,2 f 2f 2 t t t s t t t t s 2y 2y2s4 s

由已知2 42 0, 3f f 2 2f 0,

t st t t

即x 4f x 2xf x 0, x 4f x 0,x 4f x c1

2

2

2

2

2

f x

c1c1x

,fx arctan c2 x2 422

十一、（本题4分）求方程的y 4y cos2x通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为r 4 0,r1,2 2i

x

非齐次项f x cos2x,，与标准式f x e Pm x cos x Pl x sin x

2

比较得n max m,l 0, 2i,对比特征根，推得k 1，从而特解形式可设为

xy* xk Qxcos x Qxsin xe axcos2x bxsin2x, 1n2n

y* (a 2bx)cos2x (b 2ax)sin2x,y* ( 4a 4bx)sin2x (4b 4ax)cos2x代入

方程得 4asin2x 4bcos2x cos2x, a 0,b

1

4

y c1cos2x c2sin2x

2

1

xsin2x 4

2

2

2

十二、（本题4分）在球面x y z a的第一卦限上求一点M，使以M为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

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解：设点M的坐标为 x,y,z ，则问题即V 8xyz在x y z a 0求最小值。

2

2

2

2

令L 8xyz x2 y2 z2 a2，则由

Lx 8yz 2x 0,Ly 8xz 2y 0,Lz 8xy 2z 0,x2 y2 z2 a2

推出x y z

，M

的坐标为 附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）

( 1)n 1

1．判别级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

n 1[ln(1 n)] n

解：由于un

11

~, n ，该级数不会绝对收敛，

[ln(1 n)] nn

显然该级数为交错级数且一般项的un单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

n2 1n

x的收敛区间及和函数. 2．求幂级数 n

n 02 n!

ann2 12n 1 (n 1)!2 (n 1)

limn lim 解：R lim2n an 2 n!n 12 2

n 1 1n 1 1 n n

n2 1n n 1 1 x 1 x

x 从而收敛区间为 , ， n 2 n!n 1! 2 n 0n! 2 n 0n 1

1 x 1 x 1 x

n 2n 2! 2 n 1n 1! 2 n 0n! 2

n

n

n

n

1 x n 0n! 2

n 2

1 x n 0n! 2

n 1

x

1 x x2x 2

1 e n 0n! 2 42

0,0 a x π

3．将f(x) Hπ，0 x a展成以2π为周期的傅立叶级数.

Hπ, a x 0

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。an 0

bn

2

2H 1 cosna 2H

f x sinnxdx H sinnxdx cosnx

0nn0

2

a

a

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f x

n 1

2H 1 cosna

n

sinnx,x a

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