随机变量独立性的判断方法探究

1 引言

概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要.

2 相关定义

定义1离散型随机变量 定义在样本空间?上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量???(?)，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量.

定义2 n维离散型随机变量 设?1,?2,???,?n是样本空间?上的n个离散型随机变量，则称n维向量（?1,?2,???,?n）是?上的一个n维离散型随机变量.

定义3 联合分布型 设(?,?)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(ai,bj),i,j?1,2,???，令

P,2,??? ij?P(??ai,??bj),i,j?1称P,2,???)是二维离散型随机变量(?,?)的联合分布列. ij(i,j?1 我们容易证明P(??ai)?P(i?i?1???,2是,?的分布列，同理有

P(??bj)?P,2,???)是?的分布列，称?,?的分布列是（?,?）的联合分布列?j(j?1的边际分布列.

定义4 离散型随机变量独立性 设离散型随机变量?的可能取值为

ai(i?1,2,???，)?的可能取值为bj(j?1,2,???)，如果对任意的ai,bj，有

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P(??ai,??bj)?P(??ai)P(??bj)

成立，则称离散型随机变量?和?相互独立.

定义5 n维离散型随机变量独立性 设?1,?2,???,?n是n个离散型随机变量，

?i的可能取值为aik(i?1,???,n;k?1,2,???)，如果对任意一组(a1k1,???,ankn)，恒有

P(?1?a1k1,???,?n?ankn)?P(??a1k1)???P(?n?ankn) 成立，则称?1,?2,???,?n是相互独立的.

3 随机变量独立性的几种判断方法

3.1利用分布函数判断随机变量独立性

设二维连续型随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),而边缘分布函数为FX(x),FY(y),则X与Y相互独立的充要条件是：对一切x和y，有

F(x,y)=FX(x)FY(y)

例1 设二维随机变量(?,?)具有密度函数

?4e?2(x?y),0?x???,0?y??? p(x,y)???0,其它求分布函数F(x,y)及边际分布函数F?(x),F?(y)，并判断?与?是否独立？

解 F(x,y)??x?????yp(u,v)dudv

xy?2(u?v)?dudv,0?x???,0?y?????0?04e ??

??0,其它?(1?e?2x)(1?e?2y),0?x???,0?y??? 由此即得F(x,y)??

?0,其它 F?(x)??x??????p(u,v)dudv

x??2(u?v)?dudv,x?0??0?04e ??

??0,x?0?1?e?2x,x?0 从而有F?(x)??

?0,x?0【第2 页 共 8 页】

?1?e?2y,y?0 同理可得，F?(y)??

?0,y?0显然有：F(x,y)?F?(x)F?(y).故?与?独立. 3.2 利用概率密度函数判断随机变量独立性

设二维连续型随机变量（X,Y）联合概率密度函数为f(x,y),而关于X与Y的边缘概率密度函数分别为fX(x)，fY(y)，则X与Y相互独立的充要条件是：对任意的x和y，有：

f(x,y)=fX(x)fY(y)

例2 若二维随机变量(?,?)服从N(a1,a2,?12,?22,0)分布，问?与?是否独立？

解 这时(?,?)有密度函数p(x,y)???12??1?21e2??1?e1?(x?a1)2(y?a2)2?????22??22???1?

(x?a1)22?12 p?(x)????p(x,y)dy?

1e 由对称性可得p?(y)?2??2?(y?a2)22?22

显然这时p(x,y)?p?(x)p?(y)成立. 所以?与?相互独立.

3.3 利用密度函数可分离变量判断随机变量独立性

上述两种方法必须求出边缘分布函数或边缘分布密度[3]，下面给出的定理避开了求边缘函数的烦琐过程，使判定随机变量的独立性的工作转化为检查联合概率密度是否为可分离变量的概率密度之积，以及其定义域边界是否为常数的简单工作.

定理1设（X,Y)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为

f(x,y),a?x?b,c?y?d,则随机变量X与Y相互独立的充要条件为：

(1)存在非负连续函数h(x),g(y)，使f(x,y)?h(x)g(y)，

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(2)a和b,c和d是分别与x,y无关的常数. 定理2 设(X1,X2,???,Xn)是连续型随机变量，其联合概率密度函数为

f(x1,x2,???,xn)，满足

??0,ai?xi?bi,i?1,2,???,n f(x1,x2,???,xn)???0,其它?则随机变量X1,X2,???，Xn相互独立的充要条件为

（1） 存在连续函数 hi(xi),i?1,2,???,n；满足

f(x1,x2,???,xn)??hi(xi)

i?1n（2）ai,bi(1?i?n)均为与x1,x2,???,xn无关的实常数

i?1,2,???,n中有若干个为??,bi,i?1,2,???,n推论1 在上述定理2中，如果ai，

中有若干个为??时，则定理2的结果依然成立.

推论2 若定理2的条件成立，则fxi(xi)与hi(xi)成正比例关系， i?1,2,???n.实际上，推论2容易从定理2的证明过程中看到.

推论3 当n=2时，定理2即为：连续型随机变量X1,X2相互独立的充要条件为

（1）f(x1,x2)?fX1(x1)fX2(x2)，ai?xi?bi，i?1,2； （2）a1,b1,a2,b2均为与x1,x2无关的实常数. 例3设(X1,X2,???,Xn)联合概率密度为：

?(x?2x?????nxn)?,xi?0,i?1,2,???,n?n!x1e12 f(x1,x2,???,xn)??

???0,其它试讨论X1,X2,???,Xn的相互独立性.

解 设

?ie?ixi,xi?0?x1e?x1,x1?0 h1(x1)?? hi(xi)??i?2,3,???,n

?0,x1?0?0,xi?0【第4 页 共 8 页】

则有f(x1,x2,???,xn)??hi(xi).又因为ai?0,bi???,i?1,2,???,n，由推

i?1n论1知X1,X2,???,Xn必相互独立.

3.4利用条件数学期望判断离散型随机变量独立性

下面给出的定理借助于条件数学期望给出了离散型随机变量相互独立[5]的充分必要条件和充分条件.

定理3 如果随机变量X和Y都只取两个值，那么它们相互独立的充分必要条件是它们不相关，即E(XY)?(EX)(EY)(1).

定理4 若随机变量X和Y相互独立，则它们一定不相关.反过来，结论不成

（2）立

定理5 设X和Y都是离散型随机变量，分布列分别为：

X a1,a2,???,am Y b1,b2,???,bn p1,p2,???,pm P

P q1,q2,???,qn 其中m,n是有限数或无穷大，则X和Y相互独立的充分必要条件是，对任何有意义的下标i和j，下列二式成立：

P（X?ai,Y?bj)?0 （2.1）

E(XY/X?ai或ai?1,Y?bj或bj?1)?E(X/X?ai或ai?1,Y?bj或bj?1)E(Y/X?ai或ai?1,Y?bj或bj?1)（2.2）

很明显，当随机变量X和Y都只取两个值是，（2.2）式中的条件数学期望就是期

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